張圍

【摘 要】數(shù)學中兩大研究對象“數(shù)”與 “形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學發(fā)展的內在因素，數(shù)形結合是貫穿于數(shù)學發(fā)展歷史長河中的一條主線，并且使數(shù)學在實踐中的應用更加廣泛和深入。一方面，借助于圖形的性質可以將許多抽象的數(shù)學概念和數(shù)量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉化為代數(shù)問題，以獲得精確的結論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學問題開辟了一條重要的途徑。因此，數(shù)形結合不應僅僅作為一種解題方法，而應作為一種重要的數(shù)學思想，它是將知識轉化為能力的“橋”。

【關鍵詞】數(shù)學；數(shù)形結合；運用

數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的科學（恩格斯語）。數(shù)學中兩大研究對象“數(shù)”與 “形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學發(fā)展的內在因素，數(shù)形結合是貫穿于數(shù)學發(fā)展歷史長河中的一條主線，并且使數(shù)學在實踐中的應用更加廣泛和深入。一方面，借助于圖形的性質可以將許多抽象的數(shù)學概念和數(shù)量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉化為代數(shù)問題，以獲得精確的結論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學問題開辟了一條重要的途徑。因此，數(shù)形結合不應僅僅作為一種解題方法，而應作為一種重要的數(shù)學思想，它是將知識轉化為能力的“橋”。而課堂中多媒體的應用更有利于體現(xiàn)數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，有利于突破教學難點，有利于動態(tài)地顯示給定的幾何關系，為學生創(chuàng)設愉快的課堂教學氣氛，激發(fā)學生的學習興趣，使學生喜歡數(shù)學，愛學數(shù)學。

一、“數(shù)”“形”結合是推動數(shù)學發(fā)展的動力

（1）“數(shù)”產生于各種“形”的計算， “數(shù)”又借助于“形”得以記錄、使用、計算。解決“形”的問題可使用“數(shù)”作為工具，而“數(shù)”的關系可以用“形”來證明。

例如解析幾何中幾何問題的代數(shù)化，就是用代數(shù)方法解決幾何問題，如關于直線斜率、關于距離、關于線段定比分點等等?！敖馕鰩缀巍边@個名詞本身就意味著“解析方法”與“幾何方法”的結合，而正是這種結合開創(chuàng)了數(shù)學的新局面。

（2）對“形”的相互關系的比較、度量，促進了“數(shù)”的概念的發(fā)展，豐富了計算方法。典型例子是無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)：正方形的邊長與其對角線的長度之間不存在公度線段，即不存在一條線段？琢，用它去量一個正方形的邊長及其對角線的長都正好得到整數(shù)倍，由此導致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。一些代數(shù)恒等式也可由幾何方法給出證明，例如，利用下圖，可以導出代數(shù)恒等式

二、數(shù)形結合在教學中的運用

“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微”道出了數(shù)形結合的辯證關系，數(shù)形結合簡言之就是：見到數(shù)量就應想到它的幾何意義，見到圖形就應想到它的數(shù)量關系。在數(shù)學教學中，數(shù)形結合對啟發(fā)思路，理解題意，分析思考，判斷反饋都有著重要的作用。數(shù)形結合滲透在中學數(shù)學的每個部分，根據(jù)數(shù)形結合的觀點，可以通過對數(shù)量關系的討論來研究圖形的性質，也可利用圖形的性質來反映變量之間的相互關系，因此數(shù)形結合可以使數(shù)和形相互啟發(fā)、相互補充、相互印證。為了培養(yǎng)學生形成數(shù)形結合的思維習慣，在初一代數(shù)教學中就要有意識地滲透數(shù)形結合的思想和方法。

在《有理數(shù)》一章中，數(shù)軸就是把數(shù)和形結合在一起的內容。這樣，在討論相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的幾何意義時，形象易記。下面具體分析一下。

（1）利用圖象，創(chuàng)造學習負數(shù)情境。初一學生通過溫度計引出數(shù)軸概念，能夠具體、直觀地掌握負數(shù)的意義。利用數(shù)軸把點與數(shù)的對應關系揭示出來，這樣數(shù)量關系常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述。

（2）相反數(shù) 在數(shù)軸上，相反數(shù)就是在原點兩旁到原點距離相等的兩個點所表示的數(shù)。零的相反數(shù)是它本身即原點。如圖：

（3）絕對值在數(shù)軸上，一個數(shù)的絕對值表示這個數(shù)的點離開原點的距離。在下圖中，A點到原點的距離比B點到原點的距離大。

（4）倒數(shù)在數(shù)軸上表示a與1的位置關系?？梢越Y合數(shù)軸來加以分析，把0、+1、-1作為分界點，然后再作討論。

觀察是人們認識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征。例如，利用數(shù)軸可以比較兩個有理數(shù)大小，學生在學習兩個負數(shù)比較大小時，常常轉不過符號關，利用數(shù)軸學生可以準確、快速地確定結論。相反數(shù)概念的引入、理解，都依賴“數(shù)軸”，特別是教材第一次出現(xiàn)字母表示數(shù)：數(shù)？琢的相反數(shù)是-？琢時，學生會出現(xiàn)思維難點，利用數(shù)軸可以幫助學生理解：？琢可以是正數(shù)、0、負數(shù)。

數(shù)、形在一定的條件下的相互轉化是數(shù)學中最常見的規(guī)律之一，在高中數(shù)學教學的內容中，把數(shù)和形結合起來研究的方法貫穿始終。在介紹函數(shù)概念時，介紹集合-用文氏圖表示集合的關系；用數(shù)軸的全體或部分來表示定義域、值域，也是幾何形象；函數(shù)關系與圖象--用平面點集組成的曲線來描述函數(shù)的性質：奇偶性--關于原點或坐標軸的對稱性，單調性--圖象的走勢升降，最大值-最高點，最小值-最低點，有界性--是否存在平行線或直線，周期性--圖象能否有規(guī)律地重復出現(xiàn)或疊合等等。在代數(shù)的核心內容函數(shù)教學中，充滿了幾何語言、幾何形象的描述及其對我們理解應用的幫助。

三角函數(shù)、復數(shù)、微積分與立體幾何等內容中，都可以利用數(shù)形結合，幫助我們更快、更好地解決問題。在中學數(shù)學教學中，數(shù)形結合已成為一條重要的教學原則。

三、數(shù)形結合在解題中的運用

作為解題方法，“數(shù)形結合”實際上包含兩方面的含義：一方面對“形”的問題，引入坐標系或尋找其數(shù)量關系式，用“數(shù)”的分析加以解決；另一方面對于數(shù)量間的關系問題，分析其幾何意義，借助形的直觀來解。

1.善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關系。

2.正確繪制圖形，以反映圖形中相應的數(shù)量關系。

3.切實把握“數(shù)”與“形”的對應關系，以圖識性，以性識圖。

四、多媒體技術為數(shù)形結合的實施架設了橋梁

對于一些較復雜、抽象、需有一定想象能力、老師光用嘴和筆說不清的問題，借助于多媒體將數(shù)學實驗引入課堂教學，可以活躍課堂氣氛，減輕教學負擔，激發(fā)學生的探究欲望，培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想、發(fā)現(xiàn)的能力。多媒體技術使數(shù)學的實驗手段豐富起來。計算機強大的計算、圖形、圖像、動畫等能力，能為抽象思維提供直觀模型，使數(shù)學關系的靜態(tài)結構表現(xiàn)為時空中的動態(tài)過程。數(shù)學實驗能使學生加深對數(shù)學概念的理解，通過相應的技術手段，為數(shù)學的學習提供了絕好的工具和途徑。學生通過實驗，能探索數(shù)學規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學命題，提高創(chuàng)新能力。

例如，利用《幾何畫板》畫圖后，馬上就可以測算出數(shù)值，并能把圖形變化過程中的數(shù)量關系的變化（哪怕是微小的變化）直觀地顯示出來，數(shù)與形的變化同時進行，數(shù)形結合，為數(shù)學的學習提供了絕好的試驗工具，這在傳統(tǒng)數(shù)學教學中根本無法辦到，《幾何畫板》是幫助學生學通數(shù)學的有效工具。

例如，利用計算機做下列數(shù)學實驗，學生一人一機，機內裝有顯示一般正弦函數(shù)y=Asin（？棕x+？準）的圖象的應用軟件（操作界面見圖2）。啟動該軟件后，學生可用鼠標任意改變畫面中的點C、點J、點F的位置，亦即改變參數(shù)A、？棕、？準的值，使圖象產生相應的變化。學生手、眼、腦并用，通過考察函數(shù)式y(tǒng)=Asin（？棕x+？準）中三個參數(shù)A、？棕、？準對函數(shù)圖象的影響，對圖象的振幅變換、周期變換、相位變換產生感性認識。整個過程直觀、形象，充分顯現(xiàn)數(shù)與形相互依賴的變化過程，對于學生更好的理解和掌握正弦函數(shù)的圖象和性質，從理論上探究相關的數(shù)學規(guī)律打下堅實的基礎。

下面是一例發(fā)現(xiàn)三角形內接矩形的面積變化規(guī)律的“數(shù)學實驗”的做法。如圖3，在△ABC中，E是OB邊上的任意一點，以E為頂點作△ABC的內接矩形EFGH，使矩形的一邊EH在OB上，使點E在OB上運動，矩形面積隨之變化。設OE為x，建立x與矩形面積間的函數(shù)關系，讓學生觀察，當x變化時，矩形面積的變化特點及是否有最大值。然后顯示當E點運動時，對應的動點K（x，S）（S為矩形面積）的運動軌跡（其軌跡為開口向下的一段拋物線）。最后改變△ABC的形狀，研究△ABC的底邊BC或BC邊上的高變化時，對拋物線形狀有什么影響。計算機強大的圖形、圖像功能，把“數(shù)”與“形”緊緊結合在一起，使抽象的數(shù)學變得形象、生動、有趣，大大激發(fā)了學生的學習興趣和認知主體作用的發(fā)揮。

總之，教師可以通過各種形式有意識的使學生領會到“數(shù)形結合”方法具有形象、直觀易于說明等優(yōu)點，并初步學會用“數(shù)形結合”觀點去分析問題，解決問題。但如何進一步提高數(shù)形結合法解題的能力，必須積累解題的經驗，才能享受到成功的喜悅。

參考文獻：

[1]劉志偉.淺析數(shù)形結合思想在高中數(shù)學教學中的應用[J].數(shù)學學習與研究，2012

[2]杜路敏.試論高中數(shù)學的“數(shù)”與“形” 《學周刊》，2013

[3]宋玉軍.高中數(shù)學有效運用數(shù)形結合思想的教學研究[D].東北師范大學，2010