徐洪業(yè)，李楊民，李祥春

（1.天津理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384；2. 香港理工大學(xué) 工程學(xué)院 工業(yè)與系統(tǒng)工程學(xué)系，香港 999077）

0 引言

Hunt[1]提出了3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，可實(shí)現(xiàn)兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和一個(gè)平動(dòng)，直到現(xiàn)在都在被廣泛研究和應(yīng)用。微操作機(jī)器人技術(shù)是由微定位技術(shù)與機(jī)器人技術(shù)結(jié)合而產(chǎn)生的，其相關(guān)技術(shù)還可以帶動(dòng)機(jī)器人技術(shù)、精密加工、微電子、光纖對(duì)接、纖維醫(yī)學(xué)等技術(shù)的發(fā)展[2]。同時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有定位準(zhǔn)確、剛度高和較高的承載能力遠(yuǎn)超過(guò)了串聯(lián)機(jī)構(gòu)[3]。相比較于傳統(tǒng)的鉸鏈，柔性鉸鏈屬于可逆的支撐結(jié)構(gòu)，作為一種體積小無(wú)摩擦損失、無(wú)間隙運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)的高靈敏度傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，具有體積小無(wú)摩擦損失、無(wú)間隙、無(wú)潤(rùn)滑、易于加工制造、運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)和分辨率高等優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于航空工業(yè)、自動(dòng)化工業(yè)、生物醫(yī)藥等領(lǐng)域[4]。由于壓電陶瓷具有響應(yīng)快、輸入力大、分辨率高，無(wú)機(jī)械損耗、無(wú)污染、無(wú)磁場(chǎng)等優(yōu)點(diǎn)，微動(dòng)平臺(tái)通常選用壓電陶瓷作為驅(qū)動(dòng)器。但由于壓電陶瓷的輸出范圍小，一般只有幾微米至幾十微米，所以需要微位移放大機(jī)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)壓電陶瓷輸出位移的放大與傳遞。目前，通常采用的微位移放大機(jī)構(gòu)主要有兩種：差式放大機(jī)構(gòu)和橋式放大機(jī)構(gòu)[5,6]。本文基于3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種柔性并聯(lián)微操作平臺(tái)，采用橋式微位移放大機(jī)構(gòu)作為并聯(lián)微動(dòng)平臺(tái)的移動(dòng)副P(pán)。利用閉環(huán)矢量法和解析法對(duì)微動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，并對(duì)微動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)逆解仿真。

圖1 微動(dòng)平臺(tái)模型

1 微動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)模型的建立

微動(dòng)平臺(tái)的三維模型和原理圖如圖1所示，圖1(a)為微動(dòng)平臺(tái)的三維模型，圖1(b)為原理圖。微動(dòng)平臺(tái)三個(gè)支鏈為120°對(duì)稱(chēng)分布，定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)分別為等邊三角形。坐標(biāo)系的建立如圖1(b)所示，設(shè)定平臺(tái)的外接圓半徑為R，動(dòng)平臺(tái)的外接圓的半徑為r；在定平臺(tái)上建立定坐標(biāo)系O-xyz，x軸與A1A2平行，y軸的負(fù)方向過(guò)A3點(diǎn)；在動(dòng)平臺(tái)上建立動(dòng)坐標(biāo)系O′-x′y′z′，x′軸與B1B2平行，y′軸的負(fù)方向過(guò)B3點(diǎn)。

則旋轉(zhuǎn)矩陣[7]為：

公式中：α，β，γ為繞定坐標(biāo)系O-xyz的x，y，z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角度，s-sin，c-cos，由于微動(dòng)平臺(tái)的位移很小，所以轉(zhuǎn)動(dòng)角度也很小，所以sinα≈α，sinβ≈β，sinγ≈γ；cosα=cosβ=cosγ≈1 ，則公式(1)可化簡(jiǎn)為：

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)位置逆解

由圖1(b)可知，定平臺(tái)中，各基底Ai在定坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)可表示為[xAi，yAi，zAi]T。

在動(dòng)平臺(tái)中，各點(diǎn)Bi在動(dòng)坐標(biāo)系O′-x′y′z′中的坐標(biāo)可表示為則：

在定坐標(biāo)系O-xyz中，支鏈底端A1，A2，A3到對(duì)應(yīng)各球面副的矢量為：

其中：p1，p2，p3為各球副到定平臺(tái)的距離，則各桿件的長(zhǎng)度為pi/cos10°（i=1,2,3）。根據(jù)閉環(huán)矢量法[8,9]，如圖2所示，R為旋轉(zhuǎn)矩陣，bi是動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)O′到各球面副的向量，C為定坐標(biāo)系到動(dòng)坐標(biāo)系的向量，ai為定坐標(biāo)系原點(diǎn)O至各轉(zhuǎn)動(dòng)副的向量，Li為各支鏈的長(zhǎng)度，ni為各支鏈的方向向量。則：

圖2 矢量關(guān)系圖

對(duì)支鏈1：

展開(kāi)得：

對(duì)支鏈2：

展開(kāi)得：

對(duì)支鏈3：

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)位置逆解

由圖1(b)可知，定平臺(tái)中，各基底Ai在定坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)可表示為[xAi，yAi，zAi]T。

在動(dòng)平臺(tái)中，各點(diǎn)Bi在動(dòng)坐標(biāo)系O′-x′y′z′中的坐標(biāo)可表示為則：

在定坐標(biāo)系O-xyz中，支鏈底端A1，A2，A3到對(duì)應(yīng)各球面副的矢量為：

其中：p1，p2，p3為各球副到定平臺(tái)的距離，則各桿件的長(zhǎng)度為pi/cos10°（i=1,2,3）。根據(jù)閉環(huán)矢量法[8,9]，如圖2所示，R為旋轉(zhuǎn)矩陣，bi是動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)O′到各球面副的向量，C為定坐標(biāo)系到動(dòng)坐標(biāo)系的向量，ai為定坐標(biāo)系原點(diǎn)O至各轉(zhuǎn)動(dòng)副的向量，Li為各支鏈的長(zhǎng)度，ni為各支鏈的方向向量。則：

圖2 矢量關(guān)系圖

對(duì)支鏈1：

展開(kāi)得：

對(duì)支鏈2：

展開(kāi)得：

對(duì)支鏈3：

展開(kāi)得：

在給出動(dòng)平臺(tái)沿Z軸方向的行程z和繞x和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度α和β后，結(jié)合上述方程可求出三個(gè)移動(dòng)副的行程。此解即為運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆解。

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解推導(dǎo)

根據(jù)位置封閉的方法[10,11]求解。假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R的軸線u1，u2，u3與定坐標(biāo)系Y軸的夾角分別為1=30°，2=330°，3=90°，Ai在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為[xAi，yAi，zAi]T，各桿與定平臺(tái)的夾角分別為λi（i=1,2,3）。假設(shè)球鉸中心Bi與動(dòng)平臺(tái)解除約束作用，則Bi繞其軸線ui以Ai為圓心，以伸長(zhǎng)后的桿長(zhǎng)Li'=Li+?Li為半徑旋轉(zhuǎn)。由解析幾何可推導(dǎo)出動(dòng)平臺(tái)各球鉸中心Bi（i=1,2,3）在定坐標(biāo)系中的表達(dá)式：

設(shè)動(dòng)平臺(tái)的邊長(zhǎng)為b，則：

將式(14)帶入式(15)得：

Ai～Ei為并聯(lián)機(jī)構(gòu)已知的幾何參數(shù)及輸入變量的代數(shù)式，通過(guò)化簡(jiǎn)可求得λi(i=1,2,3)，即可求得球鉸Bi在定坐標(biāo)系的坐標(biāo)。

由三角形的形心定理動(dòng)平臺(tái)O'在O-xyz中的坐標(biāo)：

平移變換矩陣T（xB，yB，zB)可表示為：

則動(dòng)平臺(tái)上各點(diǎn)Bi在定坐標(biāo)系O-xyz中的其次表達(dá)式為：

其中，xO'，yO'，zO'分別表示動(dòng)坐標(biāo)系O′-x′y′z′中心點(diǎn)O′在動(dòng)坐標(biāo)系中的位置矢量。

將式(17)代入式(20)～式(22)中，即可獲得相應(yīng)動(dòng)坐標(biāo)系3個(gè)坐標(biāo)軸方向的旋轉(zhuǎn)角α，β，γ。

2 雅可比矩陣

將式(6)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：

將式(23)左乘式(24)得到：

根據(jù)混合向量積的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)式(25)：

式中：Jinv為3×3矩陣；

Jinv為3×3矩陣。

所以并聯(lián)矩陣的速度映射矩陣為：

式中：

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

利用ADAMS軟件能夠建立和測(cè)試虛擬樣機(jī)，實(shí)現(xiàn)在計(jì)算機(jī)上仿真分析復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)性能[12,13]。將在SolidWorks中建好的三維模型導(dǎo)入ADAMS軟件中，對(duì)微動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解進(jìn)行求解。三個(gè)驅(qū)動(dòng)桿上施加運(yùn)動(dòng)：?L1=4.6296×10-4×cos(0.04×pi×time)，?L2=4.6296×10-4)×cos(0.04×pi×time+10)，?L3=4.6296×10-4×cos(0.04×pi×time)-10時(shí)，位移隨時(shí)間的變化曲線如圖3所示。當(dāng)三個(gè)驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)成周期性變化時(shí)，輸出位移也成周期性變化，位移曲線充分說(shuō)明了微動(dòng)平臺(tái)只有Z向一個(gè)位移。

圖3 位移-時(shí)間變化曲線

當(dāng)三個(gè)驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)成周期性變化時(shí)，動(dòng)平臺(tái)的線速度變化曲線和角速度變化曲線如圖4和圖5所示。當(dāng)輸入為余弦函數(shù)時(shí)，動(dòng)平臺(tái)輸出的線速度和角速度也成正/余弦函數(shù)規(guī)律變化，說(shuō)明并聯(lián)微動(dòng)平臺(tái)可應(yīng)用于對(duì)速度變化規(guī)律要求高的場(chǎng)合。說(shuō)明了該微動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)可靠性。

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種空間3-DOF柔性并聯(lián)微操作平臺(tái)，該微動(dòng)平臺(tái)可實(shí)現(xiàn)繞X軸和Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)以及沿Z軸方向的移動(dòng)。應(yīng)用閉環(huán)矢量法和解析法對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)正解和逆解進(jìn)行了推導(dǎo)，并用ADAMS軟件對(duì)微動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的仿真，說(shuō)明了該平臺(tái)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的可靠性。同時(shí)，也對(duì)該微動(dòng)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)的研究打下了基礎(chǔ)。

圖4 速度-時(shí)間變化曲線

圖5 角速度-時(shí)間變化曲線

[1]K.H.Hunt,“Structural kinematics of in-parallel-actuated robot arms,”ASME Trans[J].Mech. Trans.Autom.Des.105(1983):705-712.

[2]李楊民,湯暉,徐青松,等.面向生物醫(yī)學(xué)應(yīng)用的微操作機(jī)器人技術(shù)發(fā)展態(tài)勢(shì)[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2011,23(47):1-13.

[3]Yangmin Li, QingsongXu. Kinematic analysis of a 3-PRS parallel manipulator[J].Robotics and Computer-Integrated Manufacturing2007,23:395-408.

[4]張景柱,徐誠(chéng),趙彥峻.新型柔性鉸鏈的柔度計(jì)算[J].工程力學(xué),2008,25(11):27-32.

[5]Tang Hui, Li Yangmin, Huang Jiming. Design and analysis of a dual-mode driven parallel XY micromanipulator for micro/nanomanipulations[J].Proceedings of the Institutionof Mechanical Engineers, Part C,Journal of Mechanical En-gineering Science,2012,226(12):3043-3057.

[6]于靖軍,畢樹(shù)生,宗光華.全柔性微位移放大機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)技術(shù)研究[J].航空學(xué)報(bào),2004,25(1):74-78.

[7]Bin Li, Yangmin Li, Dynamics Analysis of a Novel Overconstrained Three-DOF Parallel Manipulator[J]Proceedings of International Conference on Mechatronics andAutomationTianjin,China 2014,August 3-6:818-833.

[8]謝哲東,賈雨璇,邵琦,等.一種微型3一PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、雅克比矩陣及運(yùn)動(dòng)奇異性分析[J].中國(guó)農(nóng)機(jī)化學(xué)報(bào),2016,37(11):116-121.

[9]邵珠峰,唐曉強(qiáng),王立平,黃鵬.平面柔性3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)自標(biāo)定方法[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2009,45(3):150-155.

[10]梁崇高,榮輝.一種Stewart平臺(tái)型機(jī)械手位移正解[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),1991,27(2):26-30.

[11]周寒英.空間3-DOF柔性微動(dòng)操控平臺(tái)的設(shè)計(jì)和分析[D].湖南大學(xué),2015:35-41.

[12]楊春光,趙世平,陸水龍,等.基于虛擬樣機(jī)技術(shù)的攀爬機(jī)分析[J].機(jī)械,2009, 36(2):73-75,78．

[13]王丹,楊蘭松,郭輝.3-RPS并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,2007,(3):120-122.