邵旭馗，王素萍

(隴東學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 慶陽 745000)

記Sn-1為Rn(n≥2)中的單位球面，其上裝備了Lebesgue 測度dσ=dσ(z′).設定義在Rn×Rn上的函數(shù)Ω(x,z)∈L∞(Rn)×Lr(Sn-1)(r≥1), 滿足

(1)

其中

?z∈Rn{0}.

設Ω滿足條件

Ω(x,λz)=Ω(x,z),?x,z∈Rn,?λ>0,

(2)

稱函數(shù)f(x)∈Lipν(Rn)，如果滿足

(3)

定義Marcinkiewicz積分μΩ如下

(4)

Stein[1]首次定義了Marcinkiewicz積分μΩ，得到當Ω∈Lip(Rn)時μΩ的(p,p)有界性;Torchinsky等[2]又證明了μΩ與函數(shù)b∈BMO(Rn)的交換子μΩ,b加權有界性.其中

(5)

王婭昕[3]研究了b∈Lipβ(Rn)時交換子μΩ,b的有界性;Mo等[4]進一步考慮了多線性的情形.

(6)

先給出一些定義與記號：設k∈Z, 令Bk=B(0,2k)={x∈Rn:|x|≤2k},Ck=BkBk-1，并記χk=χCk為集Ck的特征函數(shù).

(7)

其中

(8)

(9)

其中：S′(Rn)表示Rn上的緩增廣義函數(shù)空間，G(f)是f的Grand極大函數(shù).

定義4[15]設α∈R,1

suppα?B(0,r)={x∈Rn:|x|≤r}，

定理1設Ω(x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1)滿足(2)式，α∈R,b∈Lipβ(Rn)，其中

1 定理的證明

并且有

其中：上式中下確界是在f的所有分解上取得.

引理2設

如果Ω(x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1)，b∈Lipβ(Rn)，有

引理2的證明參見文[3].

引理3設b∈Lipβ(Rn),0≤β<1,有

其中

證明

≤

當0

當p>1時,由α∈R,有

因此

以下估計I1,因為

所以，有

由x∈Ck,有

由于x∈Ck，y∈Bj,且j≤k-3,故|x-y|～|x|～|x|+2j+1.由H?lder不等式、Minkowski不等式及αj的性質,有

對x∈Ck，y∈Bj,且j≤k-3,Ω(x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1),0<ν≤1,有

可得

對于E2,由于x∈Ck，y∈Bj,且j≤k-3,又因為Ω(x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1),應用Minkowski不等式可得

其中

因此對任意的x∈Ck,有

對任意的λ>0，設K0是滿足下列條件的最大正整數(shù),有

故對任意的k>K0,有

因此,有

綜合E1,E2的估計,可得

故可得

至此,定理1證畢.

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