，，，

(昆明理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

0 引言

雙足步行機(jī)器人技術(shù)的關(guān)鍵就是要實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定步行，必須能夠像人類一樣穩(wěn)定行走[1]，因此研究雙足機(jī)器人穩(wěn)定性和能耗性具有重要意義。第一位給出穩(wěn)定性精確數(shù)學(xué)定義的人是俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫[2]，但該方法不太適用于構(gòu)造一般的非線性系統(tǒng)，因此只能憑借經(jīng)驗(yàn)和技巧來處理穩(wěn)定性問題；Grizzle等人運(yùn)用龐加萊映射分析了三連桿模型雙足機(jī)器人的步行穩(wěn)定性問題[3]；Goswami等人提出了控制質(zhì)心角動(dòng)量變化率的3個(gè)策略[4]；Vukobratovic重新對(duì)ZMP進(jìn)行定義[5]，這使得ZMP理論日趨完善。Hase等人研究足端軌跡規(guī)劃對(duì)能量消耗的影響[6]；Schiehlen等人用最優(yōu)控制理論的方法來降低能耗[7]； Uemura[8]，Singh[9]等人通過節(jié)能的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)來降低能耗。Ahmed[10]等人利用機(jī)器人在擺動(dòng)階段機(jī)械能守恒的特點(diǎn)，設(shè)定機(jī)器人的目標(biāo)能量，通過反饋控制使機(jī)器人的能量收斂到參考能量范圍內(nèi)從而起到節(jié)省能耗作用。

雙足機(jī)器人穩(wěn)定性與能耗的研究取得了很大的進(jìn)步，但是依然存在著很多未解決的問題。在此，以模塊化類人機(jī)器人為研究對(duì)象，在UG中建立了虛擬樣機(jī)，通過建立穩(wěn)定性和能耗模型，在ADMAS虛擬樣機(jī)中以不同的工況對(duì)其穩(wěn)定性、能耗性進(jìn)行計(jì)算分析，并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證仿真計(jì)算的有效性。

1 雙足機(jī)器人模型建立

1.1 穩(wěn)定性建模

以模塊化類人機(jī)器人為物理樣機(jī)，在 UG 中建立雙足步行機(jī)器人模型如圖1所示。由于將三維模型數(shù)據(jù)導(dǎo)入到ADAMS會(huì)丟失零部件的裝配關(guān)系，因此模塊化類人機(jī)器人可直接通過設(shè)置材料來確定該模型的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[11]。

圖1 雙足步行機(jī)器人分析模型

在雙足步行機(jī)器人的動(dòng)態(tài)行走過程中，對(duì)其進(jìn)行受力分析，其合力并不是時(shí)刻都在支撐區(qū)域內(nèi)[12]，因此很難評(píng)價(jià)雙足機(jī)器人行走時(shí)的穩(wěn)定性。在ZMP穩(wěn)定性判據(jù)、龐加萊回歸映射穩(wěn)定性理論、質(zhì)心角動(dòng)量判據(jù)中，由于ZMP穩(wěn)定性判據(jù)可以通過判斷雙足機(jī)器人的關(guān)節(jié)位置來確定雙足機(jī)器人行走的穩(wěn)定性，因此本文采用該判據(jù)。ZMP又稱零力矩點(diǎn)，使雙足機(jī)器人在地面反力的合力矩在x，y軸分量為零。在動(dòng)態(tài)行走時(shí)，零力矩點(diǎn)ZMP是否落在支撐域內(nèi)決定了其步行的穩(wěn)定性。

ZMP原理基本公式為：

(1)

雙足機(jī)器人行走系統(tǒng)的主要特點(diǎn)為多變量、高階非線性，與倒立擺系統(tǒng)非常相似，因此采用倒立擺模型對(duì)模塊化類人機(jī)器人的行走運(yùn)動(dòng)進(jìn)行步態(tài)規(guī)劃，將模型近似簡(jiǎn)化為質(zhì)量點(diǎn)與無質(zhì)量腿組成的一級(jí)倒立擺模型[13]。經(jīng)過簡(jiǎn)化后的雙足機(jī)器人行走系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)如圖2所示，該系統(tǒng)的坐標(biāo)原點(diǎn)為踝關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)中心處。

圖2 雙足機(jī)器人倒立擺系統(tǒng)簡(jiǎn)圖

結(jié)合一級(jí)倒立擺模型，對(duì)式(1)進(jìn)行簡(jiǎn)化可得：

(2)

xzmpd為理論步態(tài)規(guī)劃x方向上的理論坐標(biāo)值；yzmpd為理論步態(tài)規(guī)劃y方向上的理論坐標(biāo)值；m為機(jī)器人的總質(zhì)量；X，Y和Z分別為機(jī)器人重心的坐標(biāo)分量。

通過在足底安裝六維力傳感器測(cè)量相關(guān)參數(shù)，從而計(jì)算出雙足機(jī)器人X，Y方向坐標(biāo)值，其計(jì)算公式為：

(3)

Xzmpa為仿真過程中X方向的坐標(biāo)值；Yzmpa為仿真過程中Y方向的坐標(biāo)值；Txi，Tyi為第i個(gè)傳感器在X，Y方向的力矩；Fzi為第i個(gè)傳感器在Z方向的作用力；Xi，Yi為第i個(gè)傳感器在X，Y方向的坐標(biāo)。

在設(shè)計(jì)穩(wěn)定性能函數(shù)時(shí)，主要是確定在一定的時(shí)間內(nèi)ZMP坐標(biāo)仿真值與理論值之間偏差的絕對(duì)值，故雙足步行機(jī)器人穩(wěn)定系數(shù)的計(jì)算公式為：

(4)

Kfall_x為雙足步行機(jī)器人在x方向上的穩(wěn)定系數(shù)；Kfall_y為雙足步行機(jī)器人在y方向上的穩(wěn)定系數(shù)；N為步數(shù)；Ts為每步的周期；ls為單步步長(zhǎng)。

1.2 能耗建模

在雙足步行機(jī)器人能耗的計(jì)算中，可以通過測(cè)量電源的功耗來計(jì)算雙足機(jī)器人行走的能耗，但是這要在物理樣機(jī)上才能實(shí)現(xiàn)，而且結(jié)果容易受到如摩擦力等環(huán)境因素的影響。本文通過考慮模塊化類人機(jī)器人的穩(wěn)定性，來進(jìn)行能耗的計(jì)算，其理論計(jì)算如下。

P=F×V

(5)

P為機(jī)器人消耗功率；F為關(guān)節(jié)行走時(shí)的力；V為機(jī)器人行走速度。雙足機(jī)器人步行時(shí)，相當(dāng)于連桿一定程度上的轉(zhuǎn)動(dòng)，那么：

V=W×R

(6)

V為機(jī)器人步行速度；W為關(guān)節(jié)角速度；R為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑。

T=F×R

(7)

T為扭矩；F為關(guān)節(jié)行走時(shí)的力；R為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑。

由式(5)、式(6)、式(7)得：

P=T×W

(8)

通過ADAMS與MATLAB聯(lián)合仿真，利用PID控制，可以測(cè)量出機(jī)器人每一個(gè)關(guān)節(jié)的力矩曲線。所以能耗性能目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)就可以這樣計(jì)算出來，即關(guān)節(jié)消耗的能量的總和除以所步行的總時(shí)間，算出所有關(guān)節(jié)單位時(shí)間內(nèi)的功率，計(jì)算公式為：

(9)

2 雙足機(jī)器人特性研究及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 穩(wěn)定性分析

通過已規(guī)劃的各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡，以樣條文本的方式導(dǎo)入到 ADAMS 中，然后調(diào)用樣條插值函數(shù)AKIMA 規(guī)劃出虛擬樣機(jī)每個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并將其輸入到相應(yīng)的關(guān)節(jié)上進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)穩(wěn)定性能函數(shù)(式4)，其中步長(zhǎng)50 mm，求出不同行走速度(50 mm/s， 100 mm/s ，150 mm/s，200 mm/s， 250 mm/s)和不同摩擦系數(shù)(0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7)下雙足機(jī)器人的Kfall_x和Kfall_y。不同摩擦系數(shù)下，Kfall_x和Kfall_y隨速度變化的曲線如圖3所示。不同速度下，Kfall_x和Kfall_y隨摩擦系數(shù)變化的曲線如圖4所示。

圖3 不同摩擦系數(shù)下Kfall_x和Kfall_y 隨速度變化的曲線

由圖3可知，同一摩擦系數(shù)情況下，Kfall_x和Kfall_y隨機(jī)器人行走速度的增加而增大，穩(wěn)定性變差；相同速度下，Kfall_x和Kfall_y隨摩擦系數(shù)增大而減小，穩(wěn)定性變好。由圖3可知，摩擦系數(shù)大于0.6，X方向與Y方向的穩(wěn)定性變化不大，行走速度大于200 mm/s，機(jī)器人穩(wěn)定性變得更差，所以該機(jī)器人在不同摩擦系數(shù)的情況下行走，最高行走速度為200 mm/s時(shí)，最低摩擦系數(shù)為0.6，雙足機(jī)器人穩(wěn)定性較好。

由圖4可知，機(jī)器人在不同速度的情況下行走，最低摩擦系數(shù)0.6時(shí)，最高行走速度為200 mm/s，雙足機(jī)器人穩(wěn)定性最好。

圖4 不同速度下Kfall_x和Kfall_y隨摩擦

分析XY2個(gè)方向上的穩(wěn)定性參數(shù)，可知不同速度都有保持機(jī)器人穩(wěn)定性的最低摩擦系數(shù)，低于摩擦系數(shù)最低要求，機(jī)器人穩(wěn)定性降低，機(jī)器人行走速度過快，穩(wěn)定性能也會(huì)下降。得出本文研究機(jī)器人在盡可能提高工作效率且保持穩(wěn)定的情況下，速度200 mm/s左右速度最佳，而200 mm/s保持穩(wěn)定最低摩擦系數(shù)為0.6。

2.2 能耗分析

根據(jù)設(shè)計(jì)的能耗函數(shù)(式5)，在步長(zhǎng)為50 mm，單步周期為0.5 s，行走速度為100 mm/s的工況下，繪制能量變化折線圖。可得到不同摩擦系數(shù)和不同速度下能耗的變化如圖5所示。其中，摩擦系數(shù)取0.3，0.4，0.5，0.6，0.7；行走速度取50 mm/s，100 mm/s，150 mm/s，200 mm/s，250 mm/s。

圖5 能耗變化

由圖5可知，同一摩擦系數(shù)下，能量都是隨速度的增加而增大，當(dāng)行走速度超過200 mm/s時(shí)，能耗速率變得更快，則考慮節(jié)能時(shí)得保證最高行走速度為200 mm/s；相同速度下，能耗隨摩擦系數(shù)增大而減少，摩擦系數(shù)大于0.6時(shí)，能耗消耗變化不大，只有最低摩擦系數(shù)0.6才能達(dá)到節(jié)能效果。所以本機(jī)器人從工作的高效性考慮，結(jié)合穩(wěn)定性計(jì)算分析結(jié)果，機(jī)器人最高步行速度200 mm/s時(shí)保證最低摩擦系數(shù)為0.6，是機(jī)器人所能達(dá)到在保持能耗增速變化不大下的最佳條件。

2.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在能耗實(shí)驗(yàn)中，通過給機(jī)器人安裝電流傳感器，并檢測(cè)每個(gè)電機(jī)在不同速度下的實(shí)際工作電流，根據(jù)電機(jī)的額定電壓估算每個(gè)電機(jī)在不同速度下的工作功率，從而估算出機(jī)器人整體在不同速度下的工作功率。以左下肢為例，其接線和電流檢測(cè)如圖6所示。

圖6 速度100 mm/s時(shí)左下肢電流檢測(cè)

以摩擦系數(shù)為0.6，額定電壓為12 V，測(cè)出不同行走速度下各位置電流值和功率值如表1所示。表1中，左右相同位置電流接近，所以只列出左側(cè)，即總電流是左側(cè)電流2倍。

表1 不同行走速度下的電流值和功率值

由表1可知，仿真值較實(shí)驗(yàn)值整體偏低但是最大誤差為15.6%，同時(shí)可以看出機(jī)器人步行速度超過200 mm/s，能耗消耗加快。結(jié)合穩(wěn)定性與能耗分析，驗(yàn)證了仿真200 mm/s左右為該模塊化類人機(jī)器人能耗比較好的速度，從而驗(yàn)證仿真及設(shè)計(jì)能耗函數(shù)的合理性。

3 結(jié)束語

建立了雙足機(jī)器人的穩(wěn)定性模型，計(jì)算了不同速度及摩擦系數(shù)下的穩(wěn)定性能參數(shù)，得出模塊化類人機(jī)器人在保持穩(wěn)定的情況下，速度為200 mm/s左右最佳，而最低摩擦系數(shù)為0.6。

建立了雙足機(jī)器人能耗模型，針對(duì)雙足步行機(jī)器人的能量消耗，從該機(jī)器人工作的穩(wěn)定性與能耗考慮，得出該雙足機(jī)器人行走速度為200 mm/s，摩擦系數(shù)為0.6時(shí)，其性能最佳。

通過能耗實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)穩(wěn)定性函數(shù)、能耗函數(shù)的合理性，以及仿真結(jié)果的有效性。

[1] Harada K, Kajita S, Kaneko K, et al. An analytical method on real-time gait planning for a humanoid robot[C]//IEEE/RAS International Conference on Humanoid Robots,2004:640-655.

[2] 曾癸銓.李雅普諾夫直接法在自動(dòng)控制中的應(yīng)用[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1985.

[3] Grizzle J W, Abba G, Plestan F. Asymptotically stable walking for biped robots: analysis via systems with impulse effects[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,2001,46(1):51-64.

[4] Goswami A, Kallem V. Rate of change of angular momentum and balance maintenance of biped robots[C]//IEEE International Conference on Robotics and Automation, 2004:3785-3790.

[5] Vukobratovic M, Juricic D.Contribution to the synthesis of biped gait[J].IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 1969, BME-16 (1):1-6.

[6] Hase T, Huang Q.Energy-efficient trajectory planning using inequality state constraint for biped walking robot with upper body mass[C]// IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems,2006:5913-5918.

[7] Schiehlen W,Iwamura M.Minimum energy control of multibody systems utilizing storage elements[C]//ASME 2009 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference,2009:1919-1926.

[8] Uemura M, Lu G, Kawamura S, et al.Passive periodic motions of multi-joint robots by stiffness adaptation and DFC for energy saving[C]//SICE Annual Conference, 2008:2853-2858.

[9] Singh S P, Dutta A, Saxena A. Design of a biped robot with torsion springs at the joints for reduced energy consumption during walk[C]// ASME 2009 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference,2009:987-992.

[10] Ahmed I, Aris I B,Marhaban M H,et al.Energy consumption analysis procedure for robotic applications in different task motion[J]. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2015,99(1):1-8.

[11] 李軍,邢俊文,覃文潔,等.ADAMS實(shí)例教程[M]. 北京:北京理工大學(xué)出版社, 2002.

[12] 王春雨.仿人型機(jī)器人步行穩(wěn)定性研究和步態(tài)設(shè)計(jì)[D].上海:上海交通大學(xué),2011.

[13] 李建.雙足機(jī)器人的倒立擺模型及其控制研究[D].濟(jì)南:山東大學(xué),2010.