陳 龍, 吳龍飛, 劉 凱

(杭州電子科技大學(xué) 電子信息學(xué)院, 浙江 杭州 310018)

倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng),具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、物理參數(shù)易于調(diào)整、成本低等諸多優(yōu)點(diǎn)[1-4],是進(jìn)行變結(jié)構(gòu)控制、自適應(yīng)控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等控制理論教學(xué)及開(kāi)展各種控制實(shí)驗(yàn)的理想實(shí)驗(yàn)教學(xué)平臺(tái)[5-8]。對(duì)倒立擺的研究能夠直觀有效地反映控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、魯棒性、快速性等,從而檢驗(yàn)控制算法是否具有較強(qiáng)的處理非線性和不穩(wěn)定性問(wèn)題的能力,其相關(guān)控制算法已應(yīng)用于軍工、航天、機(jī)器人以及一般工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程等諸多領(lǐng)域[9-10]。因此,對(duì)該系統(tǒng)的深入研究具有重要的理論及實(shí)踐應(yīng)用的意義。

針對(duì)目前倒立擺實(shí)驗(yàn)平臺(tái)體積大、價(jià)格昂貴、開(kāi)放性低等缺點(diǎn),對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化,設(shè)計(jì)了一種環(huán)形倒立擺實(shí)驗(yàn)教學(xué)平臺(tái)。該平臺(tái)具有機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、制作成本低、操作便捷等特點(diǎn)。在Matlab環(huán)境中利用LMI(線性矩陣不等式)輔助設(shè)計(jì)一種滑模變結(jié)構(gòu)控制器,并對(duì)倒立擺控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真和分析,在此基礎(chǔ)上對(duì)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行實(shí)際測(cè)試,驗(yàn)證了倒立擺在控制器作用下的穩(wěn)定性。該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)成功應(yīng)用于自動(dòng)控制課程實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)控制系統(tǒng)建模、控制器設(shè)計(jì)等理論知識(shí)的理解,提高了學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力。

1 系統(tǒng)基本組成及工作原理

環(huán)形倒立擺實(shí)驗(yàn)教學(xué)平臺(tái)主要包括底座、水平旋臂、垂直擺桿、電機(jī)、控制電路板、旋臂和擺桿位置檢測(cè)電路板等,其3D模型見(jiàn)圖1。在綜合考慮支架穩(wěn)定性、電機(jī)和傳感器安裝位置、旋臂轉(zhuǎn)動(dòng)空間、重量以及美觀性等諸多因素的基礎(chǔ)上,選用鋁合金、亞克力板等材料進(jìn)行設(shè)計(jì)制作。

圖1 環(huán)形倒立擺實(shí)驗(yàn)教學(xué)平臺(tái)3D模型

系統(tǒng)總體方案框圖如圖2所示,輸入量為水平旋臂和垂直擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角度期望值,單片機(jī)采集旋臂和擺桿的實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)位置信號(hào),與期望值進(jìn)行比較,通過(guò)設(shè)計(jì)的控制器輸出控制信號(hào),再由電機(jī)驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)直流電機(jī)使旋臂在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),旋臂通過(guò)轉(zhuǎn)軸使擺桿在垂直平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),最終使水平旋臂轉(zhuǎn)角α和垂直擺桿轉(zhuǎn)角β穩(wěn)定在期望值,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制。該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中單片機(jī)通過(guò)串口與PC端上位機(jī)進(jìn)行實(shí)時(shí)雙向通信,上位機(jī)軟件可顯示實(shí)驗(yàn)平臺(tái)實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)以及發(fā)送相關(guān)指令至單片機(jī),方便進(jìn)行系統(tǒng)調(diào)試。

2 系統(tǒng)硬件電路設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)硬件電路實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)的控制以及獲取旋臂和擺桿的實(shí)時(shí)位置信號(hào),主要包括單片機(jī)最小系統(tǒng)、電機(jī)驅(qū)動(dòng)、旋臂和擺桿位置檢測(cè)電路、電源電路等部分。

圖2 環(huán)形倒立擺實(shí)驗(yàn)教學(xué)平臺(tái)總體方案框圖

2.1 單片機(jī)最小系統(tǒng)設(shè)計(jì)

本實(shí)驗(yàn)教學(xué)平臺(tái)選擇單片機(jī)型號(hào)為飛思卡爾半導(dǎo)體公司生產(chǎn)的32位微處理器MK60DN512ZVLQ10,其主頻為100 MHz,內(nèi)部集成16位模數(shù)轉(zhuǎn)換模塊、12位數(shù)模轉(zhuǎn)換模塊、8通道PWM模塊、周期中斷定時(shí)器,支持UART、SPI、IIC等通信方式,能滿足系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求。將單片機(jī)能夠正常運(yùn)行的基本電路設(shè)計(jì)制作為最小系統(tǒng)PCB板,保證其穩(wěn)定工作,提高系統(tǒng)調(diào)試、故障處理的便捷性,電路主要包括單片機(jī)芯片、50MHz有源晶振、復(fù)位按鍵以及電源管理、濾波電路等部分。

2.2 電機(jī)驅(qū)動(dòng)電路設(shè)計(jì)

采用永磁直流電機(jī)ZYTD-60SRZ-7F1為水平旋臂提供轉(zhuǎn)矩,其額定電壓為直流24 V,額定轉(zhuǎn)矩為0.059 N·m,堵轉(zhuǎn)力矩為0.294 N·m,設(shè)計(jì)H橋電機(jī)驅(qū)動(dòng)電路對(duì)其進(jìn)行控制。圖3為電機(jī)驅(qū)動(dòng)電路原理圖,其中IR2104是半橋柵極驅(qū)動(dòng)芯片,柵極提供電壓范圍為10～20 V,兼容3.3、5、15 V邏輯電壓,內(nèi)置死區(qū)時(shí)間,典型值為520 ns；功率MOS管選用IRFB4110,其VDSS=100 V,其ID=120 A,導(dǎo)通電阻典型值為RDS[ON]=3.7 mΩ,符合驅(qū)動(dòng)器設(shè)計(jì)參數(shù)要求。

圖3 電機(jī)驅(qū)動(dòng)電路原理圖

通過(guò)控制4個(gè)MOS管的導(dǎo)通、關(guān)斷狀態(tài)和時(shí)間可以實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)的轉(zhuǎn)向和轉(zhuǎn)速的控制。當(dāng)端口PWM1為高電平、端口PWM2為低電平時(shí),Q1和Q4導(dǎo)通,Q2和Q3關(guān)斷,驅(qū)動(dòng)電路電流的方向?yàn)镻ower→Q1→Motor→ Q4→GND,電機(jī)正轉(zhuǎn)。同理,當(dāng)端口PWM1為低電平、端口PWM2為高電平時(shí),Q2和Q3導(dǎo)通,Q1和Q4關(guān)斷,驅(qū)動(dòng)電路電流的方向?yàn)镻ower→Q2→Motor→Q3 →GND,電機(jī)反轉(zhuǎn)。在PWM1和PWM2分別輸入脈寬調(diào)制信號(hào),改變PWM信號(hào)占空比可以改變MOS管導(dǎo)通時(shí)間,施加在電機(jī)電樞兩端的電壓也隨之改變,實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速的控制。

2.3 旋臂和擺桿位置檢測(cè)電路設(shè)計(jì)

選用精密電位器進(jìn)行分壓來(lái)反饋旋臂和擺桿的位置信息,通過(guò)單片機(jī)內(nèi)部16位A/D模塊讀取數(shù)據(jù),電路原理圖見(jiàn)圖4。精密電位器R1和R2獨(dú)立線性精度為0.1%,機(jī)械旋轉(zhuǎn)角度為0°～360°,對(duì)應(yīng)阻值為0 kΩ～1 kΩ。

當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)故障時(shí),需要關(guān)斷電機(jī)驅(qū)動(dòng)器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行保護(hù)。為此,在水平旋臂上安裝陀螺儀傳感器對(duì)其旋轉(zhuǎn)速度進(jìn)行實(shí)時(shí)檢測(cè)并作為輔助反饋信息。電路原理圖見(jiàn)圖5,陀螺儀傳感器為意法半導(dǎo)體公司生產(chǎn)的芯片LPR510AL,2.7 V～3.6 V單電源供電,輸出量為模擬值,可檢測(cè)X、Y兩個(gè)維度角速度,每個(gè)維度可選擇單倍輸出和4倍輸出,為提高檢測(cè)靈敏度,該電路中單片機(jī)讀取Y軸方向4倍輸出值作為反饋量。

圖4 旋臂和擺桿位置檢測(cè)電路原理圖

圖5 水平旋臂角速度檢測(cè)電路原理圖

2.4 電源電路設(shè)計(jì)

選用24 V直流電源供電,系統(tǒng)中各電路模塊工作電壓不同,其中IR2104需直流15 V供電,單片機(jī)最小系統(tǒng)板需直流5 V供電,精密電位器、陀螺儀、OLED顯示屏均需直流3.3 V供電。設(shè)計(jì)電源電路實(shí)現(xiàn)對(duì)不同模塊的穩(wěn)定供電,圖6為電源電路原理圖,線性穩(wěn)壓芯片LM7815實(shí)現(xiàn)24 V降壓到15 V,輸出電流可達(dá)1 A,具有過(guò)載、短路過(guò)流保護(hù)功能；開(kāi)關(guān)穩(wěn)壓芯片TPS5430實(shí)現(xiàn)24 V降壓至5 V,5.5～36 V寬電壓輸入,最高持續(xù)輸出電流可達(dá)3 A；線性穩(wěn)壓芯片MIC39100實(shí)現(xiàn)5 V降壓至3.3 V,低壓差,輸出電流可達(dá)1 A。

3 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

牛頓力學(xué)分析法和歐拉-拉格朗日法是目前建立環(huán)形倒立擺數(shù)學(xué)模型的主要方法。選用歐拉-拉格朗日法對(duì)環(huán)形倒立擺數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析[11],建立如圖7所示的倒立擺系統(tǒng)模型分析坐標(biāo)系,α為水平旋臂在x-y平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)角度,β為垂直擺桿在豎直平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)角度。

(1)

(2)

式(1)和式(2)中各參數(shù)物理意義及實(shí)測(cè)值見(jiàn)表1。

圖6 電源電路原理圖

圖7 倒立擺系統(tǒng)模型分析坐標(biāo)系

表1 參數(shù)物理意義及實(shí)測(cè)值

將各參數(shù)代入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式(1)和式(2)中,可得到系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為:

(3)

y=Cx

(4)

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式,可計(jì)算得系統(tǒng)特征值為λ1=0，λ2=-8.590 4，λ3=-0.264 3，λ4=8.294 2。其中λ4位于復(fù)平面右平面,由李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)可知系統(tǒng)不穩(wěn)定,需設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)倒立擺在平衡點(diǎn)附近穩(wěn)定。

4 基于LMI的滑模控制器設(shè)計(jì)

滑模變結(jié)構(gòu)控制具有算法簡(jiǎn)單、魯棒性好和可靠性高等諸多優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)中。本部分借助于Matlab中矩陣不等式(LMI)工具設(shè)計(jì)滑模控制器[12]。

對(duì)倒立擺狀態(tài)空間表達(dá)式,假設(shè)系統(tǒng)不確定性和干擾為f(t),則式(3)可寫(xiě)為

(5)

其中|f(t)≤δf|。

定義滑模函數(shù)為

s=BTPx

(6)

通過(guò)設(shè)計(jì)4×4階正定矩陣P使得s=0。

設(shè)計(jì)滑?？刂破鳛?/p>

u=-(BTPB)-1BTPAx-(BTPB)-1·

[|BTPB|δf+ε]sgn(s)

(7)

其中ε>0。

(8)

sBTPAx+sBTPBu+sBTPBf(t)=

-s[|BTPB|δf+ε]sgn(s)+sBTPBf(t)=

-|s||BTPB|δf-|s|ε+sBTPBf(t)≤-|s|ε≤0

(9)

由李雅普諾夫直接法可判斷此時(shí)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近是穩(wěn)定的。

采用LMI工具解得矩陣P為

將矩陣P代入式(6)可求得系統(tǒng)控制器具體表達(dá)式。

5 系統(tǒng)仿真與分析

仿真結(jié)果(垂直擺桿角度響應(yīng)、角速度響應(yīng),水平旋臂角度響應(yīng)、角速度響應(yīng))如圖8—圖11所示。由擺桿和旋臂的響應(yīng)波形可知仿真環(huán)境下系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定在平衡位置附近,證明所設(shè)計(jì)的滑?？刂破髂軌蚴瓜到y(tǒng)收斂穩(wěn)定。

6 系統(tǒng)實(shí)測(cè)結(jié)果及分析

采用KEIL軟件開(kāi)發(fā)環(huán)境編寫(xiě)單片機(jī)程序?qū)Φ沽[實(shí)驗(yàn)教學(xué)平臺(tái)進(jìn)行實(shí)際測(cè)試,圖12為倒立擺主程序流程圖。首先對(duì)PIT中斷定時(shí)器、ADC模數(shù)轉(zhuǎn)換、PWM脈寬調(diào)制、串口等模塊初始化,等待按鍵輸入?yún)?shù)并確定執(zhí)行,之后進(jìn)入主循環(huán)函數(shù),寫(xiě)OLED顯示屏及串口收發(fā)數(shù)據(jù),等待PIT中斷,在中斷函數(shù)中,讀取傳感器數(shù)據(jù)并進(jìn)行濾波后等待調(diào)用。當(dāng)旋臂角速度在正常范圍內(nèi)時(shí),計(jì)算誤差和控制器值,系統(tǒng)輸出PWM信號(hào)驅(qū)動(dòng)電機(jī)工作；若旋臂角速度過(guò)大,說(shuō)明系統(tǒng)故障,關(guān)斷驅(qū)動(dòng)進(jìn)入保護(hù)狀態(tài)。在系統(tǒng)工作過(guò)程中,PC端上位機(jī)通過(guò)串口采集系統(tǒng)實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)、繪制波形圖和發(fā)送指令,便于觀察分析實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和結(jié)果以及對(duì)參數(shù)進(jìn)行整定。圖13—圖16分別為在控制器的作用下垂直擺桿和水平旋臂實(shí)際響應(yīng)波形圖。觀察波形圖可知,系統(tǒng)開(kāi)始工作時(shí),垂直擺桿會(huì)快速達(dá)到平衡位置,之后水平旋臂以較慢的速度趨于穩(wěn)定狀態(tài),最終均達(dá)到系統(tǒng)期望值。

圖8 垂直擺桿角度響應(yīng)

圖9 垂直擺桿角速度響應(yīng)

圖10 水平旋臂角度響應(yīng)

圖11 水平旋臂角速度響應(yīng)

圖12 倒立擺主程序流程圖

圖13 垂直擺桿角度實(shí)測(cè)波形

圖14 垂直擺桿角速度實(shí)測(cè)波形

圖15 水平旋臂角度實(shí)測(cè)波形

圖16 水平旋臂角速度實(shí)測(cè)波形

圖17為倒立擺起擺至穩(wěn)定的過(guò)程,展示了實(shí)際測(cè)試中從垂直擺桿豎直向下、水平旋臂位于0°的初始狀態(tài)到垂直擺桿豎直向上、水平旋臂位于0°并保持穩(wěn)定的工作過(guò)程。

系統(tǒng)從初始狀態(tài)開(kāi)始工作1 s后,垂直擺桿可以達(dá)到豎直向上的穩(wěn)定狀態(tài),在工作4 s后,水平旋臂也達(dá)到角度位置為0°的穩(wěn)定狀態(tài)。通過(guò)實(shí)際測(cè)試,驗(yàn)證了環(huán)形倒立擺系統(tǒng)模型及所設(shè)計(jì)的滑?？刂破鞯恼_性和有效性,也進(jìn)一步證明了該實(shí)驗(yàn)教學(xué)平臺(tái)的操作簡(jiǎn)單、穩(wěn)定可靠等諸多優(yōu)點(diǎn)。

7 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)設(shè)計(jì)硬件電路、優(yōu)化機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了環(huán)形倒立擺實(shí)驗(yàn)教學(xué)平臺(tái),在建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了基于LMI的滑模變結(jié)構(gòu)控制器,并在Matalb環(huán)境下進(jìn)行仿真,驗(yàn)證了控制器的穩(wěn)定性,最后在平臺(tái)上進(jìn)行了實(shí)測(cè)。將該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)應(yīng)用于本科教學(xué),達(dá)到了以下教學(xué)目的:

圖17 倒立擺起擺至穩(wěn)定過(guò)程

(1) 掌握環(huán)形倒立擺工作原理和應(yīng)用,分析滑模變結(jié)構(gòu)控制算法的實(shí)現(xiàn)原理和優(yōu)勢(shì),實(shí)驗(yàn)過(guò)程直觀地展示了系統(tǒng)的工作過(guò)程和實(shí)現(xiàn)效果,使實(shí)驗(yàn)教學(xué)更加生動(dòng)具體;

(2) 建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,掌握控制算法設(shè)計(jì)過(guò)程,為學(xué)生在分析類(lèi)似的控制系統(tǒng)、設(shè)計(jì)算法提供思路,縮短控制算法設(shè)計(jì)周期;

(3) 在Matlab仿真環(huán)境下進(jìn)行系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證算法的可行性與穩(wěn)定性,熟悉Matlab編程環(huán)境,掌握Matlab仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析;

(4) 基于實(shí)驗(yàn)平臺(tái),編寫(xiě)程序?qū)崿F(xiàn)算法并進(jìn)行實(shí)測(cè),掌握系統(tǒng)調(diào)試過(guò)程,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)控制目標(biāo)。

該環(huán)形倒立擺實(shí)驗(yàn)教學(xué)平臺(tái)在自動(dòng)控制相關(guān)實(shí)驗(yàn)課程中的應(yīng)用,大大提高了課程教學(xué)質(zhì)量和授課效果,增加了學(xué)生的科研興趣,提升了學(xué)生的實(shí)踐能力,為學(xué)生進(jìn)入工作崗位打下了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

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