劉　兵，虞夢琳，谷　旺，孔祥新，崔　巖

(1.大連理工大學(xué) 精密與特種加工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧　大連　116024； 2.大連理工大學(xué) 微納米技術(shù)及系統(tǒng)遼寧省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧　大連　116024)

0　引言

目前公布的MEMS壓電振動(dòng)能量收集器以懸臂梁結(jié)構(gòu)為主[1]。但懸臂梁式壓電振動(dòng)能量收集器的尺寸較小(毫米級(jí))[2]，結(jié)構(gòu)簡單，對復(fù)雜的振動(dòng)環(huán)境適應(yīng)性較差，限制了其輸出性能的提升[3]。針對懸臂梁的尺寸和結(jié)構(gòu)的局限性，很多學(xué)者設(shè)計(jì)了新型結(jié)構(gòu)的能量收集器，Cui Yan[4]等設(shè)計(jì)的能量收集器利用多副梁結(jié)構(gòu)增強(qiáng)了梁感知振動(dòng)的能力，提高了輸出電壓。Wen Zhiyu等[5]設(shè)計(jì)的能量收集器利用了共質(zhì)量塊的陣列式結(jié)構(gòu)，有效地提高了輸出電壓。李如春等[6]設(shè)計(jì)的能量收集器利用之字形結(jié)構(gòu)改變梁的振動(dòng)特性，進(jìn)而提高輸出電壓?，F(xiàn)有文獻(xiàn)鮮有對其他支撐梁結(jié)構(gòu)的研究，兩端固支梁結(jié)構(gòu)不僅可以滿足較大尺寸的設(shè)計(jì)，還可以很好地適應(yīng)復(fù)雜的振動(dòng)環(huán)境。

本文設(shè)計(jì)一種厘米級(jí)、兩端固支梁壓電振動(dòng)能量收集器，對兩端固支梁進(jìn)行了力學(xué)分析，通過對比兩端固支梁與懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，導(dǎo)出了兩種結(jié)構(gòu)關(guān)于最大應(yīng)力和固有頻率的關(guān)系式，利用關(guān)系式確定了兩端固支梁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化方法，并將公式計(jì)算值與ANSYS軟件的仿真值進(jìn)行對比。

1　兩端固支梁的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及力學(xué)分析

1.1　結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

兩端固支梁壓電振動(dòng)能量收集器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)如圖1所示。兩端固支梁由基座、固支梁、上質(zhì)量塊、下質(zhì)量塊等組成。梁的橫截面由6層材料組成。當(dāng)基座感知振動(dòng)時(shí)，固支梁隨質(zhì)量塊振動(dòng)，梁的上、下表面產(chǎn)生拉伸或壓縮變形，PZT壓電層隨之發(fā)生正壓電效應(yīng)，實(shí)現(xiàn)機(jī)械能向電能的轉(zhuǎn)化。

圖1　兩端固支梁壓電振動(dòng)能量收集器結(jié)構(gòu)

1.2　力學(xué)分析

兩端固支梁結(jié)構(gòu)可簡化為在質(zhì)量塊兩側(cè)受集中載荷的力學(xué)模型，如圖2(a)所示，F(xiàn)m為質(zhì)量塊重力的一半。由于兩端固支梁左右對稱，根據(jù)對稱性原理，在小變形不考慮軸力的影響下，兩端固支梁的一半可簡化為懸臂梁，建立懸臂梁等效受力變形圖，如圖2(b)所示，自由端受集中載荷力F和彎矩Min共同作用，F(xiàn)和Min都作用在梁末端，x為梁的橫截面距根部的距離，l為F的作用點(diǎn)距根部的長度，點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C分別為梁的根部、末端和中點(diǎn)，點(diǎn)B′和點(diǎn)C′為梁變形后點(diǎn)B和點(diǎn)C的位置。梁截面為矩形，寬為b，厚為h。

對于懸臂梁結(jié)構(gòu)而言，如圖2(b)所示，根據(jù)邊界條件，固定端A的轉(zhuǎn)角和撓度均為零，在單獨(dú)F作用下，任意橫截面上的彎矩方程和撓曲線方程為：

M1=F(l-x).

(1)

(2)

其中：E為梁的彈性模量；I為梁的橫截面慣性矩,I=bh3/12。

圖2　兩端固支梁力學(xué)分析模型

懸臂梁結(jié)構(gòu)在單獨(dú)Min作用下，任意橫截面上的彎矩方程和撓曲線方程為：

Min=-Fl/2.

(3)

(4)

對于兩端固支梁結(jié)構(gòu)，可通過疊加法計(jì)算其任意橫截面上的彎矩方程和撓曲線方程為：

M2=M1+Min=F(l-2x)/2.

(5)

γ2=γ1+γin=Fx2(3l-2x)/12EI.

(6)

通過式(6)的撓曲線方程可描述兩端固支梁半邊變形情況，如圖2(b)中AC′B′所示，其中AC′段發(fā)生拉伸變形，在C′B′段發(fā)生壓縮變形。

2　兩種梁振動(dòng)特性的對比分析

為了提升能量收集器的輸出性能，要求能量收集器匹配環(huán)境中低頻振源，并獲得較大的應(yīng)力來增強(qiáng)壓電層的壓電效應(yīng)，這就要求所設(shè)計(jì)的梁結(jié)構(gòu)同時(shí)獲得較低的固有頻率和較大的應(yīng)力。懸臂梁和兩端固支梁結(jié)構(gòu)集中載荷力學(xué)模型如圖3所示，x為梁的橫截面距根部的距離。圖3(a)中，F(xiàn)1為懸臂梁質(zhì)量塊m1的重力，F(xiàn)=m1g(g為重力加速度)，M1為梁距根部x處的彎矩，l1為F1的作用點(diǎn)距根部的長度。圖3(b)中，F(xiàn)2為兩端固支梁半邊質(zhì)量塊m2的重力,F2=m2g，M2為梁距根部x處的彎矩，l2為F2的作用點(diǎn)距同側(cè)根部的距離。其他尺寸和材料參數(shù)均相等。

圖3　兩種結(jié)構(gòu)的集中載荷力學(xué)模型

根據(jù)靜位移法梁結(jié)構(gòu)固有頻率計(jì)算公式，對于一個(gè)單自由度系統(tǒng)，其固有頻率為：

(7)

其中：γn為最大撓度。

將式(2)和式(6)分別代入式(7)，即得懸臂梁和兩端固支梁結(jié)構(gòu)的固有頻率f1、f2：

(8)

(9)

根據(jù)材料力學(xué)原理梁結(jié)構(gòu)應(yīng)力計(jì)算公式，梁上表面的應(yīng)力σ為：

σn=Mny/I.

(10)

其中：Mn為彎矩；y為厚度的一半，y=h/2。

將式(1)和式(5)分別代入式(10)，即得懸臂梁結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力σ1和兩端固支梁結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力σ2表達(dá)式：

(11)

(12)

當(dāng)m2=m1，l2=l1，且都為定值時(shí)，聯(lián)立式(8)、式(9)、式(11)和式(12)得兩種結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力和固有頻率為：

2σ2=σ1=6m1gl1/(bh2).

(13)

(14)

由式(13)和式(14)知，σ2為σ1的1/2倍，f2為f1的2倍，兩端固支梁結(jié)構(gòu)f2和σ2的取值都不利于能量收集器的輸出性能的提升。

為了達(dá)到減小f2和增大σ2的效果，本文提出了以懸臂梁結(jié)構(gòu)的σ1、f1作為基準(zhǔn)，通過推導(dǎo)出的兩種結(jié)構(gòu)關(guān)于長度比Lp和質(zhì)量比Mp的等應(yīng)力和等頻率公式，確定同時(shí)滿足減小f2和增大σ2的區(qū)域。Lp和Mp無單位量綱。令m1和l1均為定值,則：

Lp=l2/l1.

(15)

Mp=m2/m1.

(16)

當(dāng)f2=f1時(shí)，聯(lián)立式(8)、式(9)、式(15)、式(16)，即得兩種結(jié)構(gòu)關(guān)于Lp和Mp的等頻率公式：

(17)

當(dāng)σ2=σ1時(shí)，聯(lián)立式(11)、式(12)、式(15)、式(16)，即得兩種結(jié)構(gòu)關(guān)于Lp和Mp的等應(yīng)力公式：

Mp=2/Lp.

(18)

圖4　等頻率線和等應(yīng)力線

3　仿真分析

利用ANSYS有限元仿真軟件對懸臂梁和兩端固支梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模仿真，求解兩種結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力和固有頻率，并與兩種結(jié)構(gòu)的公式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。根據(jù)圖3和式(8)、式(9)、式(11)、式(12)的參數(shù)，對兩種結(jié)構(gòu)的尺寸進(jìn)行設(shè)置，兩種結(jié)構(gòu)的尺寸如表1所示。兩種結(jié)構(gòu)質(zhì)量塊的參數(shù)如表2所示。

表1　兩種結(jié)構(gòu)的尺寸

表2　兩種結(jié)構(gòu)質(zhì)量塊的參數(shù)

對上述兩種結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力和固有頻率進(jìn)行仿真計(jì)算，結(jié)果如圖5所示。仿真值、公式計(jì)算值和相對誤差δ見表3。

圖5　兩種結(jié)構(gòu)應(yīng)力和固有頻率仿真結(jié)果

表3中列舉了兩種結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力仿真值σ仿真、最大應(yīng)力公式計(jì)算值σ公式、固有頻率仿真值f仿真、固有頻率公式計(jì)算值f公式，計(jì)算了公式計(jì)算值相對于仿真值的相對誤差δσ和δf，并計(jì)算了兩端固支梁結(jié)構(gòu)的仿真值、計(jì)算值相對于懸臂梁結(jié)構(gòu)的相應(yīng)數(shù)值的相對誤差δ，其中δσ的最大值為0.92%、δf的最大值為1.79%，δ的最大值為2.42%，其他相對誤差值均小于1%。通過計(jì)算值和仿真值相對誤差對比，驗(yàn)證了關(guān)于f2、σ2優(yōu)化方法的可行性，為兩端固支梁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化提供了指導(dǎo)。

表3　仿真結(jié)果、公式計(jì)算結(jié)果和相對誤差δ數(shù)值表

4　結(jié)束語

本文對所設(shè)計(jì)的兩端固支梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了力學(xué)分析，確定了梁的變形情況。對比兩端固支梁與懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，通過所推導(dǎo)的兩種結(jié)構(gòu)關(guān)于Lp和Mp的等應(yīng)力和等頻率公式，可以確定同時(shí)實(shí)現(xiàn)減小f2和增大σ2的區(qū)域。并利用ANSYS仿真對應(yīng)力和等頻率公式進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明：公式計(jì)算值和仿真值相對誤差低于2.42%，對f2、σ2優(yōu)化有利于能量收集器輸出性能的提升。

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