程開敏

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川南充 637002)

1　引言

設(shè)q=eπiτ,其中τ∈C 且Im(τ)＞0.對任意的q,z∈C,如下定義(z;q)∞:

將形如

的q-級數(shù)稱為Lambert級數(shù).我們知道Ramanujan Tau函數(shù)τ:N?→Z是按如下恒等式定義的

Ramanujan理論有很多熱門的研究分支,如Ramanujan-Nagell方程[7].而對τ(n)的研究一直是數(shù)論領(lǐng)域的經(jīng)典研究方向,其中有關(guān)τ(n)的顯式表達(dá)式及其同余性質(zhì)的研究就是很多數(shù)論學(xué)者的研究興趣之一.Berndt[2]等人得到了τ(n)模211,36,53,7,23的若干同余式.設(shè)n,k為正整數(shù),記因子和函數(shù)

tk(n)表示將n表為k個三角數(shù)的和的表法數(shù),rk(n)表示將n表為k個平方數(shù)的和的表法數(shù),則值得一提的是,Apostol[1]給出了表達(dá)式

Ewell[5,6]也分別得到了以下兩個恒等式

和

其中v2(n)為n的2-adic賦值,Od(n)為n的奇數(shù)部分,即Od(n)=n×2?v2(n).最近,作者[8]利用Ewell的一個恒等式,也得到一個Ramanujan Tau函數(shù)的新表達(dá)式.

在本文中,我們主要對若干特殊的theta函數(shù)和q-級數(shù)進(jìn)行研究.我們建立了幾類特殊的q-級數(shù)與Ramanujan Tau函數(shù)的生成函數(shù)的關(guān)系.從而得到了幾個Ramanujan Tau函數(shù)新的顯式表達(dá)式,其中這些表達(dá)式中只含因子和函數(shù),另外,作為定理的應(yīng)用,還得到Ramanujan Tau函數(shù)的同余恒等式.

2　基本知識及引理

設(shè)q=eπiτ,其中τ∈C 且Im(τ)＞0.先定義以下三個theta函數(shù)

容易檢驗以下恒等式成立

其中符號(·;·)∞如(1.1)式定義.又如下定義φ(q)和ψ(q)

設(shè)k為正整數(shù),則有其中tk(n)表示將n表為k個三角數(shù)的和的表法數(shù),rk(n)表示將n表為k個平方數(shù)的和的表法數(shù).最后定義兩類特殊的Lambert級數(shù)如下

現(xiàn)在給出幾個有用的結(jié)論.

引理2.1[3]設(shè)φ(q)和ψ(q)是由(2.4)式定義的q-級數(shù),則以下恒等式成立.

命題2.2設(shè)θ2(q)和θ3(q)是由(2.1)式定義的theta函數(shù),則以下恒等式成立

證由ψ(q),φ(q)的定義式(2.4)及引理2.1,可知

所以(2.11)式成立.

引理2.3[4]設(shè)T2k(q)和S2k(q)是由(2.6)和(2.7)式定義的q-級數(shù),則以下遞推恒等式成立

現(xiàn)在利用引理2.3建立Lambet級數(shù)S2k(q),T2k(q)與theta函數(shù)θ2(q),θ3(q)之間的等式關(guān)系.為了敘述方便,記

則由T2k(q)的定義以及命題2.2的(2.11)式和引理2.1的(2.9)式,易得

再利用引理2.3通過直接計算得

另外,由引理2.1中的(2.10)和(2.3)式中的關(guān)系式有

從而

將(2.15)–(2.21)式以及(2.22)式代入到引理2.3的(2.14)式中,可得

最后,由(2.16)–(2.18)式以及(2.21)式,經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)

3　主要結(jié)果及證明

命題3.1設(shè)k為正整數(shù),則以下恒等式成立.

證首先

其次

最后

所以命題3.1成立.

定理3.2設(shè)n,k為正整數(shù),τ(n)為Ramanujan Tau函數(shù),則有

證令一方面,由著名的Jacobi四次恒等式

并結(jié)合(2.2)和(2.3)式,得

另一方面,觀察到S2(q)S10(q),S4(q)S8(q),(q)與z6(q)x(q)(1?x(q))4均含有因子z6(q).所以不妨設(shè)

其中A1,A2,A3∈Q為待定系數(shù).將(2.23)–(2.26)式分別代入到(3.6)式的左邊,然后比較(3.6)式的左右兩邊的項z6(q)xi(q)(i=1,2,3,4,5)的系數(shù),解得

并且由引理3.1,可知

所以綜合(3.5)–(3.10)式,有

最后比較(3.11)左右兩邊qn的系數(shù)立即可得定理3.2的結(jié)論.

定理3.3設(shè)n,k為正整數(shù),τ(n)為Ramanujan Tau函數(shù)為將n表為k個三角數(shù)的和的表法數(shù),v2(n)為n的2-adic賦值,則對任意的n≥3,有

證通過利用(2.16),(2.18),(2.20)以及(2.27)式,觀察到S4(q)S8(q),q3ψ24(q),T12(q)與z6(q)x(q)(1?x(q))4均含有因子z6(q).所以不妨設(shè)

其中B1,B2,B3∈Q為待定系數(shù).將(2.16),(2.18),(2.20)以及(2.27)式分別代入到(3.13)式的左邊,然后比較(3.13)式的左右兩邊的項z6(q)xi(q)(i=1,2,3,4,5)的系數(shù),解得

并且由引理3.1,可知

所以綜合(3.5),(3.13)–(3.17)式,有

最后比較(3.18)式左右兩邊qn的系數(shù)立即可得定理3.3的結(jié)論.

由定理3.3立即得到以下同余恒等式.

推論3.4設(shè)n,k為正整數(shù),τ(n)為Ramanujan Tau函數(shù),則對任意的n≥3都有

[1]Apostol T M.Modular functions and dirichlet series in number theory(2nd ed.)[M].New York:Springer-Verlag,1997.

[2]Berndt B C,Ken Ono.Ramanujan’s unpublished manuscript on the partition and tau functions with proofs and commentary[J].S′em.Lothar.Combin.，1999,42:1–63.

[3]Berndt B C.Ramanujan’s notebook(part III)[M].New York:Springer-Verlag,1991.

[4]Chan H,Chua K.Representations of integers as sums of 32 squares[J].Ramanujan J.,2003,7:79–89.

[5]Ewell J.New representations of Ramanujan’s tau function[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1999,128:723–726.

[6]Ewell J.A formulae for Ramanujan’s tau function[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1984,91:37–40.

[7]陳候炎.關(guān)于廣義Ramanujan-Nagell方程的一個猜想[J].數(shù)學(xué)雜志,2010,30(3):567–570.

[8]程開敏.一個Ramanujan Tau函數(shù)的新表達(dá)式[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2017,33(2):129–133.