文/廣州市第七中學(xué)實驗學(xué)校 李林華

APOS理論是一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，是由美國數(shù)學(xué)教育學(xué)家杜賓斯基 （Dubinsky）等人提出的。APOS分別是由英文 “Action（操作）” “Process（過程）“Object（對象）” “Scheme （圖式）”的第一個字母組合而成。APOS理論認為：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果引導(dǎo)個體通過具體的操作行為到思維的操作，再到過程和對象階段后，個體一般就能在建構(gòu)、反思的基礎(chǔ)上把它們組合成圖式，從而理清問題情境，順利解決問題。通過查閱有關(guān)文獻我們發(fā)現(xiàn)，國內(nèi)外研究者主要關(guān)注APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用，并取得了一定的成果，而關(guān)注APOS理論在數(shù)學(xué)法則教學(xué)中的應(yīng)用研究卻很少。因此，筆者嘗試將APOS理論運用到初中數(shù)學(xué)法則的教學(xué)中，并以新人教版七年級上冊第三章3.3《解一元一次方程——去分母》教學(xué)為例，闡述教學(xué)實踐與教學(xué)思考。

一、教學(xué)過程

（一）操作階段——創(chuàng)設(shè)情境，引入法則

“操作”泛指數(shù)學(xué)活動，如動手操作、猜想、回憶、計算、推理等。為了讓學(xué)生通過操作、思考和討論等數(shù)學(xué)活動來解決問題，筆者創(chuàng)設(shè)了如下問題情境：

《九章算術(shù)》是中國古代具有代表性的數(shù)學(xué)著作，它奠定了中國古代數(shù)學(xué)的基本框架，它的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負術(shù)和方程術(shù)，其中方程術(shù)是 《九章算術(shù)》最高的數(shù)學(xué)成就。 《九章算術(shù)》中記載： “今有人共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)、雞價各幾何？”譯文： “有若干個人一起買雞，如果每人出9文錢，就多余11文錢；如果每人出6文錢，還缺16文錢．問買雞的人數(shù)和雞的價錢各是多少？”

然后用課件出示問題情境和相關(guān)圖片，并提問：

問題1：我們?nèi)绾卧O(shè)未知數(shù)列方程呢？

此問題情境屬于中國古代數(shù)學(xué)的 “盈不足問題”，在利用 “移項”解一元一次方程中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過，因此學(xué)生能較快得到如下解答：設(shè)人數(shù)有x人，根據(jù)題意列出方程 9x-11=6x+16①，解得 x=9，再把x=9代入 (9x-11)可得雞的價錢是70文錢。

教師及時肯定學(xué)生的解法，并追問：

問題2：如果設(shè)雞的價錢是m文錢，那么我們又該如何列方程呢？

學(xué)生：設(shè)雞的價錢是m文錢，如果每人出9文錢，就多余11文錢，那么所有人出的總錢數(shù)是 (m+11)文錢，所以共有人；如果每人出6文錢，還缺16文錢，那么所有人出的總錢數(shù)是 (m-16)文錢，所以共有人。由于買雞人數(shù)是一個定值，從而列出方程

問題3：方程①與方程②之間有怎樣的聯(lián)系？

學(xué)生：方程①是根據(jù)雞的價錢不變列方程的，方程②是根據(jù)買雞人數(shù)不變列方程的。事實上，由于9x-11=6x+16=m，通過移項、系數(shù)化為1可得因此可得方程：這說明方程①與方程②在本問題中是等價的。

以學(xué)生熟悉的 “盈不足問題”創(chuàng)設(shè)情境引入新課，營造輕松的學(xué)習(xí)環(huán)境，使學(xué)生產(chǎn)生較強的求知欲望。通過同一道題目兩種不同的設(shè)未知數(shù)方法，巧妙地把新舊知識聯(lián)系在一起，既復(fù)習(xí)了學(xué)過的知識，又引出了帶有分數(shù)系數(shù)的一元一次方程，直接指向本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。

（二）過程階段——合作交流，習(xí)得法則

過程階段是在操作階段的基礎(chǔ)上進行思考與概括、描述與整合，是在大腦中進行的一種內(nèi)部的心理建構(gòu)，進而形成一種模式的階段。

教師繼續(xù)提問，引導(dǎo)學(xué)生分析思考：

問題4：方程②該如何求解呢？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生進行了熱烈的討論，其中三名學(xué)生說出了各自的想法。

學(xué)生②：根據(jù)比例的內(nèi)項之積等于外項之積，那么方程②就可以直接轉(zhuǎn)化為9(m-16)=6(m+11)，然后根據(jù)前面學(xué)過的解法求出方程的解。

學(xué)生③：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)2，那么方程②兩邊同時乘以18，可以得到2(m+11)=3(m-16)，然后根據(jù)前面學(xué)過的解法求出方程的解。

三名學(xué)生的精彩回答贏得了全班同學(xué)熱烈的掌聲，教師順勢追問：

問題5：學(xué)生③的解法中方程②兩邊同時乘以18的目的是什么？還可以乘以其他數(shù)嗎？

問題6：三種解法各有什么特點與聯(lián)系？我們采用什么方法解方程更好？

教師根據(jù)學(xué)生的回答并總結(jié)歸納：根據(jù)等式的性質(zhì)2及乘法分配律，在方程兩邊同時乘以各分母的最小公倍數(shù)可以去分母。

至此，學(xué)生在已有經(jīng)驗基礎(chǔ)上，經(jīng)過思考、討論，體會并理解了 “去分母”這一數(shù)學(xué)法則的目的及依據(jù)，為后續(xù)解方程做好了鋪墊。

接著，教師進行變式練習(xí)。通過變式訓(xùn)練，學(xué)生感受到了去分母方法的簡便，同時對去分母的目的和依據(jù)有了進一步的理解。

（三）對象階段——學(xué)習(xí)樣例，理解法則

對象階段是指給習(xí)得的法則賦予形式化的表達，使其成為一個具體的 “對象”，此階段可以使學(xué)生對所學(xué)的數(shù)學(xué)法則進一步精致化，從而達到對法則真正的理解。

問題7：解含分數(shù)系數(shù)的一元一次方程的基本步驟有哪些？每一個步驟有什么注意事項？

問題8：以為未知數(shù)的方程逐步向著x=a的形式轉(zhuǎn)化的主要依據(jù)是什么？

學(xué)生獨立完成例題1的解答，然后分組討論問題7、問題8，在討論過程中互相補充、完善，最后師生一起總結(jié)歸納得出結(jié)論。

教師用框圖展示解法流程，并在黑板上板書解題過程如下，使學(xué)生更加明確其解題步驟，規(guī)范其書寫格式，并及時總結(jié)解題過程中可能出現(xiàn)的錯誤，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)法則的理解，從而使數(shù)學(xué)法則深深地建立在學(xué)生的頭腦中，以后遇到含分數(shù)系數(shù)的方程就可以直接提取使用。

（四）圖式階段——拓展提高，應(yīng)用法則

學(xué)生在經(jīng)歷了前三個階段的學(xué)習(xí)，此時數(shù)學(xué)法則就以一種立體的、多層次的認知對象存在于腦海之中，這時的對象稱為 “圖式”。在這一認知基礎(chǔ)上去解決相關(guān)的問題，能促使學(xué)生對所學(xué)法則的認識更加全面、豐富、清晰，運用更加靈活。

筆者又出示了下列題組，供學(xué)生思考訓(xùn)練：

有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中度過了四年，也與世長辭了。”你知道丟番圖去世時的年齡嗎？

本題組從不同的角度考查學(xué)生對去分母的理解程度，促使學(xué)生對學(xué)習(xí)的法則進行遷移、應(yīng)用。練習(xí)1分母由整數(shù)變成了小數(shù)，考查學(xué)生對去分母的方法是否掌握；練習(xí)2中的未知數(shù)由替換為，并且以相反數(shù)的知識為情境，要求學(xué)生先列出方程再求解；練習(xí)3結(jié)合方程的解的概念考查一元一次方程的解法。

最后教師以思考題的形式引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：

問題9：本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？

問題10：去分母法則是怎么得到的？去分母法則的依據(jù)是什么？應(yīng)用去分母法則時應(yīng)該注意什么問題？

通過題組練習(xí)和課堂小結(jié)，深化了學(xué)生對去分母的理解，完善了學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)， “圖式”基本上形成了，以后當(dāng)學(xué)生遇到含分數(shù)系數(shù)的方程時，學(xué)生就會積極調(diào)動與之相關(guān)的圖式，正向遷移，順利地解決問題。

二、教學(xué)思考

APOS理論與 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）所倡導(dǎo)的“自主探索、動手實踐、合作交流”的教學(xué)理念不謀而合。但另一方面，也要看到并不是所有數(shù)學(xué)法則課的教學(xué)都適合用APOS理論來分析，什么教學(xué)內(nèi)容適合運用APOS理論進行指導(dǎo)，這是一個值得探究的問題。其次，APOS理論的四個階段應(yīng)將其視為一個連續(xù)的過程，既不能割裂開來，也不能絕對化，實際操作中往往會有相互穿插的情況出現(xiàn)，但達到圖式水平的教學(xué)目標(biāo)不變，如何將教學(xué)環(huán)節(jié)與APOS理論的四個階段建立實質(zhì)上的聯(lián)系，是一項富有挑戰(zhàn)性的工作。