李桂丹 鄒志強(qiáng) 李 斌

天津大學(xué)電氣自動化與信息工程學(xué)院，天津 300072

傳統(tǒng)微小衛(wèi)星慣性執(zhí)行機(jī)構(gòu)主要為慣性動量輪[1](Reaction Wheel，RW)，若要完成衛(wèi)星三軸姿態(tài)控制，RW及配套部件至少需要安裝3套。這種控制策略一方面限制了衛(wèi)星的體積和重量，另一方面由于各軸輸出轉(zhuǎn)矩間存在耦合，增加了姿態(tài)控制算法的難度[2]。動量球(Reaction Sphere，RS)轉(zhuǎn)子不受機(jī)械約束，通過設(shè)定轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)軸的朝向及旋轉(zhuǎn)角速度，可以提供任意方向的轉(zhuǎn)矩。因此利用一個動量球替代原有多個動量輪的組合，可以消除耦合效應(yīng)、提高控制精度[3]。

近些年對動量球的研究取得了很大進(jìn)展。文獻(xiàn)[4]通過對定子正交繞組施加三相交流電，分別實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)子懸浮和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)的動量球由8極轉(zhuǎn)子、20極定子組成，通過構(gòu)建轉(zhuǎn)速和位置雙閉環(huán)控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子連續(xù)運(yùn)動控制。文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)的RS通過增加垂直方向的定子繞組，實(shí)現(xiàn)了磁懸浮RS的旋轉(zhuǎn)控制。文獻(xiàn)[7]采用層狀定、轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，通過采用轉(zhuǎn)矩分配的控制方法，實(shí)現(xiàn)了在給定區(qū)間內(nèi)的任意角度姿態(tài)控制。

現(xiàn)有動量輪控制算法大部分采用歐拉角作為姿態(tài)描述量，導(dǎo)致動量球大角度運(yùn)動時(shí)不可避免地會出現(xiàn)奇異現(xiàn)象。四元數(shù)作為另一種空間姿態(tài)描述量，無奇異現(xiàn)象且計(jì)算更為簡便[8]。文獻(xiàn)[9]運(yùn)用四元數(shù)計(jì)算坐標(biāo)變換矩陣，并結(jié)合機(jī)器視覺和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提出一種多自由度執(zhí)行器轉(zhuǎn)子位置檢測方法；文獻(xiàn)[10]運(yùn)用四元數(shù)描述轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，并通過細(xì)化轉(zhuǎn)子期望軌跡實(shí)現(xiàn)球形步進(jìn)電機(jī)的運(yùn)動控制。另外，動量輪控制難點(diǎn)還在于轉(zhuǎn)子運(yùn)動模型非線性、高耦合，以及實(shí)際控制中存在的數(shù)學(xué)模型不準(zhǔn)確、參數(shù)漂移和外部擾動等不確定因素。

本文利用四元數(shù)的旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)建了包含力矩、反電動勢、運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)模型在內(nèi)的動量球數(shù)學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，采用滑?？刂扑惴?gòu)建閉環(huán)控制系統(tǒng)[11]，根據(jù)軌跡跟蹤這一目標(biāo)設(shè)計(jì)滑模切換函數(shù)，通過選擇趨近律設(shè)計(jì)滑?？刂坡?，并驗(yàn)證該滑模控制下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。引入模糊控制算法，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)實(shí)時(shí)調(diào)整滑?？刂坡刹贿B續(xù)項(xiàng)的系數(shù)，用于平滑控制信號，優(yōu)化動量球滑?？刂菩Ч鸞12]，減小系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。仿真結(jié)果表明，該算法跟蹤性能較好，且能克服模型誤差及外部擾動帶來的影響。

1 動量球建模

1.1 基本結(jié)構(gòu)

常見的RS有多種不同結(jié)構(gòu)，基于轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)軸全方位轉(zhuǎn)動考慮，本文選擇的控制對象為6-8多面體型[13]。如圖1所示，RS由定、轉(zhuǎn)子2部分組成，其中，8個永磁體磁極位于轉(zhuǎn)子內(nèi)接正六面體的頂點(diǎn)、18個空心線圈位于定子內(nèi)接正八面體的頂點(diǎn)和棱中點(diǎn)。

動量球在衛(wèi)星中的安裝示意圖如圖2所示，定子通過支撐裝置固連于衛(wèi)星內(nèi)部。按照特定的控制策略給RS定子通電，可以驅(qū)動轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)或者偏轉(zhuǎn)，從而實(shí)現(xiàn)與衛(wèi)星的動量交換。因此使用RS作為慣性執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制衛(wèi)星姿態(tài)，可以轉(zhuǎn)化為RS轉(zhuǎn)子目標(biāo)軌跡跟蹤問題。

圖1 動量球結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 動量球安裝示意圖

1.2 力矩及反電動勢建模

由于動量球定子固定于衛(wèi)星上，為便于后續(xù)公式推導(dǎo)，設(shè)定RS定子坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)子球心為坐標(biāo)系原點(diǎn)。磁極i和線圈j的單位方向向量分別定義為ri和sj，若線圈j中的電流為ij，則轉(zhuǎn)子受到的控制力矩為

(1)

假定磁極i和線圈j間相對角速度為ωi,j，則線圈反電動勢為Ei,j=g(θi,j)ωi,j，其中g(shù)(θi,j)為反電動勢函數(shù)。根據(jù)疊加定理，RS定子反電動勢可表示為：

(2)

式(1)和(2)中，力矩函數(shù)f(θi,j)和反電動勢函數(shù)g(θi,j)均可通過有限元仿真及非線性擬合得到[14]。

若定子電壓為U，電阻及電感矩陣分別為R和L，參考異步電機(jī)電氣方程，可以求得RS電氣模型為

(3)

1.3 運(yùn)動建模

根據(jù)牛頓-歐拉剛體旋轉(zhuǎn)定理以及四元數(shù)特性，可以推導(dǎo)出RS轉(zhuǎn)子的運(yùn)動學(xué)模型及動力學(xué)模型[15]分別為

(4)

(5)

綜合上述模型，得到模擬動量輪運(yùn)行原理的數(shù)學(xué)模型如圖3所示。動量球運(yùn)行時(shí)，施加在動量輪定子的電壓U，其一部分抵消由于轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的反電動勢E，另一部分在定子線圈中生成電流I，并與轉(zhuǎn)子磁極相互作用產(chǎn)生電磁力矩T，最終推動RS轉(zhuǎn)子，使其運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化。

圖3 動量球數(shù)學(xué)模型框圖

2 模糊滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

假設(shè)RS轉(zhuǎn)子當(dāng)前及目標(biāo)姿態(tài)四元數(shù)分別為qc和qd，則誤差四元數(shù)可通過下式求得：

2.1 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

滑模變結(jié)構(gòu)控制研究的主要問題是設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)那袚Q函數(shù)和滑模控制律，使得系統(tǒng)能在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模流形，實(shí)現(xiàn)滑動模態(tài)運(yùn)動。

設(shè)計(jì)滑?？刂魄袚Q函數(shù)為：

S=ωe+Cqev

(6)

由下述分析可知，在滑模流形S=0上，RS的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。在滑模流形上ωei=-ciqei，i=1,2,3恒成立，結(jié)合RS轉(zhuǎn)子運(yùn)動學(xué)模型式(4)，可以得到誤差四元數(shù)滿足：

為簡化推導(dǎo)過程，設(shè)置滑模切換函數(shù)中參數(shù)滿足條件c1=c2=c3。則誤差四元數(shù)滿足以下4個獨(dú)立的微分方程：

其中，λ0>0，λi<0，i=1,2,3，因此可以判斷誤差四元數(shù)矢量部分qev漸近收斂于0。由于ωe與qev成比例關(guān)系，所以誤差角速度ωe也漸近收斂于0，也即RS轉(zhuǎn)子始終跟蹤目標(biāo)軌跡。

合理的滑?？刂坡蓱?yīng)保證系統(tǒng)在偏離滑模流形時(shí)，趨近速度大；到達(dá)滑模流形時(shí)，趨近速度小。針對這一特性，本文采用趨近函數(shù)法設(shè)計(jì)滑?？刂破?，選取指數(shù)趨近律：

(7)

其中，sgn為符號函數(shù)；K=diag(k1,k2,k3)和P=diag(p1,p2,p3)均為正定矩陣。結(jié)合滑模流形式(6)可以求出滑模等效控制律為：

(8)

設(shè)計(jì)滑?？刂坡桑?/p>

T=Te-KS-Psgn(S)

(9)

其中，

為轉(zhuǎn)子姿態(tài)四元數(shù)矢量部分的運(yùn)動學(xué)模型。

前述已知在滑模流形上系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，下面對偏離滑模流形的系統(tǒng)在滑?？刂坡墒?9)作用下的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

(10)

Vs為半正定函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)S=0有Vs=0。對式(10)求導(dǎo)可以得到：

將滑?？刂坡墒?9)帶入上式，可以得到

2.2 模糊控制器設(shè)計(jì)

滑?？刂坡墒?9)中的Psgn(S)部分為不連續(xù)項(xiàng)，參數(shù)P設(shè)置過大會引起系統(tǒng)出現(xiàn)較大的抖振。根據(jù)趨近律式(7)，可以解出系統(tǒng)由初始狀態(tài)S0到達(dá)滑模流形S=0的時(shí)間為：

可以看出，當(dāng)控制項(xiàng)參數(shù)K為定值時(shí)，增大切換項(xiàng)參數(shù)P可以加快趨近速度。因此引入模糊控制動態(tài)調(diào)整系數(shù)P，使得系統(tǒng)同時(shí)滿足到達(dá)段趨近速度較大、滑模段抖振較小。

模糊控制器設(shè)計(jì)如下：

{NB,NM,NS,ZE,PS,PM,PB}，分別代表負(fù)大、負(fù)中、負(fù)小、零、正小、正中和正大；

{ZE,VS,S,SB,MB,B,VB}，分別代表0、很小、小、小大、中大、大和很大。

2)為改善滑模控制系統(tǒng)性能，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模流形時(shí)，pi應(yīng)取較大值；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近滑模流形時(shí)，pi應(yīng)取較小值。根據(jù)這一依據(jù)，設(shè)定模糊控制規(guī)則表如表1所示。

表1 模糊控制規(guī)則表

3)設(shè)定輸入輸出隸屬度函數(shù)均為三角型，輸出解模糊化選用重心法。

綜上所述，可得到動量球整體控制框圖如圖4所示：qd為調(diào)整衛(wèi)星姿態(tài)所需的RS轉(zhuǎn)子運(yùn)動軌跡，根據(jù)轉(zhuǎn)子當(dāng)前位置qc，計(jì)算得到轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動所需控制力矩T，并最終得到動量球定子電壓U。虛線框中模型與RS數(shù)學(xué)模型相對應(yīng)，用于實(shí)現(xiàn)力矩到定子電壓的轉(zhuǎn)換。

圖4 RS整體控制框圖

3 仿真分析

為驗(yàn)證所提出的RS控制算法的有效性，利用MATLAB/SIMULINK搭建仿真平臺，對計(jì)算轉(zhuǎn)矩法、滑模控制和模糊滑?？刂?種算法進(jìn)行仿真對比。仿真中動量球的參數(shù)設(shè)置為：定子電阻R=1.46Ω；定子電感L=0.48mH；轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量Jx=Jy=Jz=6.48kg·m2。為驗(yàn)證算法的魯棒性，增加模型誤差ΔJi=1.2kg·m2，i=x,y,z；外界干擾TE=[10 10 10]TN·m(5s≤t≤6s)。

控制系數(shù)設(shè)置如下：計(jì)算轉(zhuǎn)矩法Kp=diag(30,30,30)，Kd=diag(20,20,20)；滑?？刂萍澳：？刂芀=diag(10,10,10)，C=diag(10,10,10)，P=diag(8,8,8)。假定RS轉(zhuǎn)子初始位置為[0 0 0 1]T，目標(biāo)軌跡為[0 costsint0]T。當(dāng)仿真時(shí)長設(shè)為10s時(shí)，3種控制方法仿真結(jié)果分別如圖5～7所示。

對比圖5(a)及6(a)可以看出，相比于傳統(tǒng)的計(jì)算轉(zhuǎn)矩法，在滑?？刂葡拢琑S有更快的響應(yīng)速度和更高的跟蹤精度；外界擾動對跟蹤效果幾乎無影響，體現(xiàn)出很強(qiáng)的魯棒性。但如圖6(b)所示，滑?？刂频姆€(wěn)態(tài)力矩仍有較大值且高頻顫振，不僅增加了能量消耗，增大了電流跟蹤控制的難度，也容易導(dǎo)致控制器部件的損壞[11]。

對比圖6(a)及7(a)可以看出，引入模糊控制后的滑?？刂票Ａ袅嗽械目焖?、高精度跟蹤性能，盡管抗擾動能力略有下降，但仍體現(xiàn)出對于不確定因素的強(qiáng)魯棒性。此外，對比圖6(b)及7(b)可以發(fā)現(xiàn)，引入模糊控制后，穩(wěn)態(tài)時(shí)力矩顫振幅度僅為原有的1/8左右，滑?？刂乒逃械亩墩瘳F(xiàn)象得到大幅度改善。

圖5 計(jì)算轉(zhuǎn)矩法仿真結(jié)果

圖6 滑?？刂品抡娼Y(jié)果

圖7 模糊滑模控制仿真結(jié)果

4 結(jié)論

提出一種動量球的模糊滑?？刂扑惴?，該方法以四元數(shù)作為姿態(tài)描述量，建立了動量輪整體模型，采用滑?？刂?，克服了動量球的模型誤差和外界擾動等不確定因素，引入模糊控制，進(jìn)一步改善了滑?？刂茙淼亩墩瘳F(xiàn)象，優(yōu)化了控制效果。仿真結(jié)果表明，該算法能使動量球較好地跟蹤目標(biāo)軌跡。

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