任凱強(qiáng)，孫正波

(盲信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610041)

0　引　言

三星時(shí)差定位系統(tǒng)是星載無源定位的重要手段之一，其原理是利用輻射源信號(hào)到達(dá)三顆衛(wèi)星的到達(dá)時(shí)間差實(shí)現(xiàn)對輻射源的定位，具有定位精度高、作用距離遠(yuǎn)、隱蔽性好等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于移動(dòng)通信和衛(wèi)星導(dǎo)航等領(lǐng)域[1-2]。在實(shí)際應(yīng)用中，由于星歷誤差和時(shí)間同步誤差的存在，嚴(yán)重影響了三星時(shí)差定位系統(tǒng)的定位精度[3-6]。

文獻(xiàn)[7-12]提出可引入已知位置的參考源來消除時(shí)差定位系統(tǒng)中星歷誤差和時(shí)間同步誤差對定位精度的影響。文獻(xiàn)[7-9]僅考慮了對星歷誤差的校正，沒有考慮對時(shí)間同步誤差的校正，這些方法均是利用參考源信號(hào)的觀測信息直接對星歷誤差進(jìn)行估計(jì)，由于待估計(jì)參數(shù)過多，該類算法在參考源較少時(shí)，校正精度和穩(wěn)健性都不理想；文獻(xiàn)[10]提出利用正交投影消除雙星時(shí)頻差定位系統(tǒng)中的時(shí)頻差測量系統(tǒng)偏差；文獻(xiàn)[11]提出了一種三星時(shí)差系統(tǒng)的四站標(biāo)定方法，該方法通過解方程的方式求解出副星相對位置誤差和時(shí)間同步誤差并實(shí)現(xiàn)校正，但由于沒有考慮TDOA觀測噪聲和星歷誤差的統(tǒng)計(jì)信息，該方法不是最優(yōu)的，且該算法需要四個(gè)參考源才能實(shí)現(xiàn)誤差校正，在實(shí)際應(yīng)用中參考源數(shù)目并不能保證；文獻(xiàn)[12]指出差分校正(Differential calibration, DC)算法可以有效消除時(shí)間同步誤差，但其對星歷誤差的校正效果嚴(yán)重依賴于參考源距離輻射源的遠(yuǎn)近，當(dāng)參考源距輻射源較遠(yuǎn)時(shí)，DC算法對星歷誤差的校正效果較差。

鑒于上述有源校正算法的不足，本文提出了一種基于正交投影的兩步迭代有源校正算法，首先通過正交投影消除觀測方程中的時(shí)間同步誤差，然后在校正星歷誤差時(shí)，為了避免待估計(jì)參數(shù)過多和非線性估計(jì)的問題，引入一個(gè)與輻射源位置和星歷誤差有關(guān)的中間變量，通過對該中間變量的最優(yōu)估計(jì)消除了星歷誤差對定位精度的影響，最后利用中間變量求解出目標(biāo)輻射源的位置。此外，本文還推導(dǎo)了所提算法的理論性能和相應(yīng)的CRLB，最后通過計(jì)算機(jī)仿真校驗(yàn)證明了本文算法的有效性。

1　問題建模

考慮靜止于地球表面的輻射源，其所在位置的經(jīng)度和緯度分別為θ和φ，記α=[θ,φ]T。假定地球模型為球模型，則輻射源在地心坐標(biāo)系下的位置矢量可表示為：

(1)

式中：h為已知的輻射源高程。

三顆衛(wèi)星星歷的觀測值為

(2)

記c為電磁波傳播速度，ti1為第i顆衛(wèi)星相對于第1顆衛(wèi)星接收到輻射源信號(hào)的TDOA觀測值，則對應(yīng)的到達(dá)距離差(Range difference of arrival, RDOA)為ri1=c·ti1。在時(shí)差定位中TDOA與RDOA是等效的，為便于表示，下文中均采用RDOA形式。輻射源信號(hào)的RDOA觀測值為

(3)

為了校正星歷誤差和時(shí)間同步誤差，引入M個(gè)位置精確已知的參考源，記第j個(gè)參考源的位置矢量為cj。若三顆衛(wèi)星同時(shí)或在較短時(shí)間間隔內(nèi)接收輻射源和參考源信號(hào)，則可認(rèn)為輻射源信號(hào)和參考源信號(hào)對應(yīng)的星歷誤差和時(shí)間同步誤差是相同的，因此參考源信號(hào)的RDOA觀測值為：

(4)

將式(3)和式(4)改寫成矩陣形式：

m=mo+Hτ+n

(5)

式中：

(6)

式中：?表示Kronecker積，1(M+1)×1是元素全為1的列矢量，I2是2維單位矩陣?？紤]到三星時(shí)差定位系統(tǒng)中星間距一般較大，信號(hào)被大范圍內(nèi)分布的衛(wèi)星接收終端截獲，這使得信號(hào)在傳播過程中引入的噪聲之間是獨(dú)立的；此外，由于處在不同環(huán)境的接收終端物理器件的差異性，使得接收環(huán)節(jié)引入的噪聲也是獨(dú)立的；由中心極限定理可知，多種獨(dú)立噪聲的疊加可近似建模為高斯白噪聲，因此假定n為零均值、協(xié)方差矩陣為Qr的高斯白噪聲。

2　輻射源位置估計(jì)的CRLB

由于存在地球球面方程的約束，無法直接用CRLB理論求解輻射源位置，又考慮到式(1)中輻射源經(jīng)緯度α與輻射源位置矢量u的轉(zhuǎn)換關(guān)系，兩者的CRLB存在如下關(guān)系[13]：

(7)

式中：C(u)為輻射源位置估計(jì)的CRLB，C(α)為輻射源經(jīng)緯度估計(jì)的CRLB，

因此，可以將地球球面方程約束下的C(u)的求解問題轉(zhuǎn)化為求解C(α)。

記x=[mT,sT]T,ψ=[αT,soT,τT]T，則式(5)所示的觀測模型的對數(shù)似然函數(shù)為：

(8)

關(guān)于未知參數(shù)ψ的Fisher信息矩陣可分塊表示為：

(9)

式中：

(10)

對式(9)求逆，其左上2×2子矩陣即為C(α)，由矩陣分塊求逆定理可得：

(11)

將式(10)代入式(7)即可得到C(u)，為了便于對比，下面給出僅存在星歷誤差和觀測噪聲情況下輻射源位置估計(jì)的CRLB[12]：

C(α)τ=0=(X-YZ-1YT)-1

(12)

對比可以看出，存在參考源時(shí)，時(shí)間同步誤差的存在會(huì)影響輻射源位置估計(jì)的CRLB，但C(u)的表達(dá)式中不含有τ，這說明時(shí)間同步誤差的大小并不影響輻射源位置估計(jì)的CRLB。

3　算法原理

為消除星歷誤差和時(shí)間同步誤差對定位精度的影響，本文提出一種基于正交投影的兩步迭代校正算法，具體原理如下：

步驟1：首先構(gòu)造如下正交投影矩陣：

PH=I2(M+1)-H(HTH)-1HT

(13)

對式(5)兩邊左乘PH可得：

PHm=PHmo+PHn

(14)

可以看出，利用H的正交投影PH就可以消除式(5)所示定位模型中的時(shí)間同步誤差項(xiàng)。

為進(jìn)一步消除星歷誤差對定位精度的影響，將mo在s處一階Taylor展開，并忽略高階項(xiàng)可得：

(15)

式中：

(16)

(17)

將式(15)和式(17)代入式(14)并整理可得：

(18)

式(18)可簡記為：

h=Grs+np

(19)

考慮到直接利用式(19)估計(jì)輻射源位置需要求解非線性方程，不易求解，因此本文首先估計(jì)中間變量rs，然后利用rs求解輻射源位置。等效噪聲np的協(xié)方差矩陣為：

(20)

由于正交投影矩陣PH不滿秩，因此Qp亦不滿秩，即等效噪聲np是相關(guān)的。為了得到rs的最優(yōu)估計(jì)，首先對Qp奇異值分解：

Qp=UΣUT

(21)

式中：

(22)

U

(23)

ΣR為非零奇異值組成的對角矩陣，U為特征矢量矩陣，UR和UH分別為非零奇異值和零奇異值對應(yīng)的特征矢量組成的矩陣，且

(24)

因此，URnp為零均值、協(xié)方差矩陣為ΣR的高斯白噪聲；UHnp為零均值、協(xié)方差矩陣為0的高斯白噪聲，這等價(jià)于UHnP=0。在式(20)兩邊同時(shí)左乘UT，由UR和UH的正交性可得下式：

(25)

(26)

對代價(jià)函數(shù)Q進(jìn)行如下化簡：

(h-Grs)TΓ(h-Grs)

(27)

將式(27)代入式(26)，并對式(26)采用Lagrange乘子法：

L

(28)

分別對rs和λ求導(dǎo)并置零可得：

(29)

將式(29)寫成矩陣形式：

(30)

求解式(30)可得：

(31)

步驟2：下面利用rs求解輻射源位置，由定義可知rs等效于真實(shí)星歷為s時(shí)衛(wèi)星接收到輻射源信號(hào)的RDOA，因此將中間變量rs和衛(wèi)星星歷觀測值s代入Ho和Chan提出的三星時(shí)差定位算法中[2]，即可求解出輻射源位置，具體定位算法本文不再贅述。

需要指出的是：步驟1中求解rs需要已知Qp，由定義可知Qp的值與輻射源的位置有關(guān)，而輻射源位置是未知的，為解決這個(gè)問題，可先初始化Qp=Qr，即忽略星歷誤差的先驗(yàn)信息求解出rs，進(jìn)而得到輻射源位置的初始估計(jì)；再將輻射源位置的初始估計(jì)代入式(20)得到Qp的估計(jì)，重復(fù)步驟1和步驟2，直至輻射源位置估計(jì)收斂。由于本文所提的算法是閉式解，收斂速度很快，一般5次以內(nèi)迭代即可收斂。

4　性能分析

首先依據(jù)式(31)給出rs的估計(jì)可以得到其估計(jì)協(xié)方差矩陣為：

(32)

再將式(22)～(23)代入式(21)可得：

(33)

進(jìn)一步有：

(34)

將式(34)代入式(32)可得：

(35)

由協(xié)方差矩陣矢量變換公式[13]可得：

(36)

式中：(·)-T表示對矩陣求逆并轉(zhuǎn)置。再依據(jù)α與u的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得：

(37)

將式(35)～(36)代入式(37)可得輻射源位置估計(jì)的協(xié)方差矩陣為：

(38)

5　仿真校驗(yàn)

下面利用計(jì)算機(jī)仿真來校驗(yàn)本文所提算法的有效性，采用均方根誤差和估計(jì)偏差來衡量算法性能，其定義分別如下：

(39)

為表明本文算法的有效性，將本文算法的蒙特卡洛仿真結(jié)果與本文算法的理論性能、CRLB以及差分校正算法進(jìn)行比較。假定輻射源、參考源和三顆衛(wèi)星的位置如表1所示；輻射源和參考源的觀測噪聲協(xié)方差矩陣Qr為對角陣，TDOA觀測噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差σt=100 ns，時(shí)間同步誤差τi1在100 ns～300 ns區(qū)間內(nèi)隨機(jī)選??；星歷誤差協(xié)方差矩陣Qs為對角矩陣，星歷誤差的標(biāo)準(zhǔn)差σs=1000 m。除非重新聲明，否則仿真場景均采用上述參數(shù)。

表1　仿真場景Table 1　Simulation scene

仿真1：單參考源(參考源1)條件下本文算法的性能仿真。圖1和圖2分別為本文算法定位誤差隨TDOA觀測噪聲和星歷誤差的變化曲線，從圖1～2可以看出：本文算法定位精度的蒙特卡洛仿真值與理論性能基本吻合，且定位精度可以達(dá)到CRLB；在單參考源條件下，差分校正算法也可以達(dá)到CRLB，本文算法與差分校正是等效的；此外，本文算法的估計(jì)偏差接近于零，相比均方根誤差，估計(jì)偏差可以忽略，即本文算法得到的輻射源位置估計(jì)是無偏的。

圖1　定位誤差隨TDOA噪聲標(biāo)準(zhǔn)差變化曲線(單參考源)Fig.1　Curves of location error changing with TDOA noise standard deviation using 1 calibration source

圖2　定位誤差隨星歷誤差標(biāo)準(zhǔn)差變化曲線(單參考源)Fig.2　Curves of location error changing with satellite position error standard deviation using 1 calibration source

仿真2：3參考源(參考源1～3)條件下本文算法的性能仿真。圖3是本文算法定位誤差隨TDOA觀測噪聲變化情況，從圖3可以看出，本文算法和差分校正算法的定位誤差均隨著TDOA觀測噪聲正比例增加，但由于差分校正算法沒有考慮對星歷誤差的校正，本文算法的定位精度要高于差分校正。圖4是本文算法定位誤差隨星歷誤差的變化情況，從圖4可以看出：差分校正算法對星歷誤差十分敏感，其定位誤差幾乎隨星歷誤差線性增加，而本文算法的定位性能仿真值與理論性能均可以達(dá)到CRLB；當(dāng)星歷誤差標(biāo)準(zhǔn)差小于2000 m時(shí)，與星歷誤差相比TDOA觀測噪聲對定位誤差的影響無法被忽略，使得本文算法無法完全校正星歷誤差，從而出現(xiàn)了定位誤差隨星歷誤差的增加而增加的現(xiàn)象；而當(dāng)星歷誤差標(biāo)準(zhǔn)差大于2000 m時(shí)，TDOA觀測噪聲對定位誤差的影響可以被忽略，此時(shí)本文算法定位誤差幾乎已不隨星歷誤差的增加而變化，此外，輻射源位置估計(jì)也是無偏的，這說明3參考源條件下，本文算法可以完全校正星歷誤差和時(shí)間同步誤差對定位精度的影響。

圖3　定位誤差隨TDOA噪聲標(biāo)準(zhǔn)差變化曲線(3參考源)Fig.3　Curves of location error changing with TDOA noise standard deviation using 3 calibration sources

圖4　定位誤差隨星歷誤差標(biāo)準(zhǔn)差變化曲線(3參考源)Fig.4　Curves of location error changing with satellite position error standard deviation using 3 calibration sources

6　結(jié)　論

本文針對三星時(shí)差定位系統(tǒng)中星歷誤差和時(shí)間同步誤差的校正問題，提出一種基于正交投影的兩步迭代有源校正算法，計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明，無論是單參考源還是多參考源條件本文算法的仿真值和理論性能均可以達(dá)到CRLB，且在三參考源條件下，可以完全消除星歷誤差和時(shí)間同步誤差對定位精度的影響。本文算法適用于任意數(shù)目參考源條件下的有源校正，并且是閉式解，收斂速度快，具有較好普適性和應(yīng)用價(jià)值。

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