馬雅麗，李陽陽

(大連理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 大連　116024)

0　引言

中國制造2025將高檔數(shù)控機床列為十大重點領(lǐng)域，高精機床亦是機床行業(yè)發(fā)展的重點。導(dǎo)軌是機床重要的零部件，其誤差直接影響機床的加工精度，因此在機床設(shè)計階段分析導(dǎo)軌的誤差是很有意義的。

機床的加工誤差體現(xiàn)在刀具切削點實際位置與理想位置的偏差，是由各類誤差傳遞與耦合而成，其中零部件的幾何誤差產(chǎn)生的誤差占了很大部分。程強[1]等基于多體系統(tǒng)理論，提出了關(guān)鍵性幾何誤差源識別的方法，可以有效地識別對機床空間誤差影響較大的零部件幾何誤差因素。基于多體系統(tǒng)和齊次坐標(biāo)變換理論，粟時平[2]和楊建國[3]建立了五軸機床的精度模型。Majda[4]采用有限元方法將導(dǎo)軌形位誤差等效為彈簧單元變形量，分析了導(dǎo)軌形位誤差對運動誤差的影響?？紤]形位誤差、熱誤差、彈性變形，Rahman[5]基于齊次坐標(biāo)變換建立了機床空間誤差模型。

然而，零件加工之前誤差是未知的，具有不確定性，導(dǎo)致整機誤差的不確定性。因此，考慮形位誤差的不確定性進行機床加工誤差的分析更符合工程實際。文獻[6]考慮支承件材料密度、彈性模量和載荷的不確定性，提出了支承件多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)分布函數(shù)未知或者系統(tǒng)性能函數(shù)不可導(dǎo)時，常用的方法是采樣統(tǒng)計法。采用蒙特卡洛模擬方法，崔鑫磊[7]等研究了支桿長度誤差和軸承游隙對6-UPS并聯(lián)機構(gòu)動平臺位姿誤差的影響。余治民[8]等采用蒙特卡洛模擬與響應(yīng)面法相結(jié)合的方法，提出了幾何公差建模方法。

上述研究成果中的誤差建模，多基于參量的確定性分析，缺少從參量不確定性的角度出發(fā)建立誤差分析模型。因此，本文采用不確定性分析方法建立導(dǎo)軌誤差與機床加工誤差耦合分析模型。以區(qū)間參數(shù)和小位移旋量描述形位誤差的不確定性，并基于蒙特卡洛方法模擬形位誤差的實際變動分布范圍。在進一步建立的導(dǎo)軌運動部件的運動誤差模型基礎(chǔ)上，最終建立了導(dǎo)軌誤差與機床加工誤差的分析模型。通過實例分析了導(dǎo)軌幾何誤差對機床加工誤差的影響規(guī)律，為機床部件的精度分配提供支撐。

1　導(dǎo)軌形位誤差不確定性分析

形位誤差是指單一實際要素對其理想要素的變動量，包括形狀誤差和位置誤差。導(dǎo)軌的形位誤差直接影響運動零部件的運動誤差，進而通過誤差傳遞導(dǎo)致機床的加工誤差。本節(jié)旨在建立導(dǎo)軌形位誤差的不確定分析模型。

1.1　導(dǎo)軌形位誤差矢量

形位誤差可概括為點、線、面等基本幾何要素相對理想要素的變動量。在三維空間中，誤差變動量可描述為沿3個坐標(biāo)軸的平動和繞3個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動，分別用d=(u,v,w)和θ=(α,β,δ)表示平動和轉(zhuǎn)動的微小變動矢量，兩組矢量的合成矢量D=(d,θ)= (u,v,w,α,β,δ)稱為小位移旋量，簡稱旋量。u,v,w,α,β,δ為旋量的旋量參數(shù)。

不同類型誤差的旋量特征不同。若幾何要素沿某一個自由度方向運動時，其運動軌跡不產(chǎn)生新的誤差掃掠實體，此時該方向的旋量參數(shù)為零。

1.2　導(dǎo)軌形位誤差矢量變動區(qū)間

導(dǎo)軌形位誤差在形位公差形成的公差帶內(nèi)變動。根據(jù)設(shè)計要求，導(dǎo)軌的形位誤差主要包括安裝主基準面的平面度誤差、側(cè)基準面的垂直度和平行度誤差。其中主基準面A平面度公差為TA，寬度和長度分別為a和d；側(cè)基準面B垂直度公差為TB，高度和長度分別為c和d；C平行度公差為TC，如圖1所示。

圖1　導(dǎo)軌安裝基面尺寸及公差

以平面度誤差為例，DT=(0,vT,0,αT,0,δT)為平面度誤差的旋量，則其旋量參數(shù)變動區(qū)間為：

(1)

安裝主基面內(nèi)任意一點y方向坐標(biāo)可以表達為：

(2)

其中，△yT表示A面內(nèi)任意兩點之間y方向的距離。對于限制在TA帶內(nèi)的矩形平面來說，極值情況發(fā)生在矩形平面的頂點處，因此，平面度誤差旋量參數(shù)約束為：

-TA/2≤xδT+zαT≤TA/2

(3)

-TA/2≤νT+xδT+zαT≤TA/2

(4)

其中,x、z取值為A面的4個極限點位置，在圖1中是安裝主基面的4個頂點位置坐標(biāo)。

1.3　基于蒙特卡洛模擬導(dǎo)軌形位誤差的不確定性

導(dǎo)軌形位誤差具有不確定性，其分布函數(shù)是未知的，常常用統(tǒng)計參數(shù)進行描述。因此，本文提出了基于采樣統(tǒng)計法來模擬導(dǎo)軌不確定的形位誤差。蒙特卡洛方法是一種通過對隨機變量的統(tǒng)計實驗和隨機模擬來求解問題近似解的方法[9]。運用蒙特卡洛方法，對導(dǎo)軌形位誤差旋量參數(shù)進行抽樣實驗，保留滿足約束條件的隨機數(shù)，去除不滿足約束條件的隨機數(shù)。以平面度誤差旋量參數(shù)為例，具體步驟如下：

(1)確定平面度誤差旋量參數(shù)的分布模型。形位誤差由許多相互獨立的隨機因素互相影響，呈現(xiàn)無規(guī)則變化，因此可以假定其統(tǒng)計特性符合正態(tài)分布的變化規(guī)律，概率密度函數(shù)為：

(5)

其中，μ為算術(shù)平均值，σ為均方差。

(2)確定平面度誤差旋量參數(shù)的均值與方差?？芍怕拭芏群瘮?shù)中x的值出現(xiàn)在μ±3σ區(qū)間內(nèi)的概率為99.73%，通常認為正態(tài)分布的分布范圍是±3σ。根據(jù)旋量參數(shù)變動區(qū)間公式(1)，旋量參數(shù)vT，αT,δT的均值與方差分別為(0,TA/6)，(0,TA/3d)，(0,TA/3a)。

圖2　平面度誤差的抽樣流程

(3)根據(jù)抽樣要求對平面度誤差旋量參數(shù)進行抽樣，旋量參數(shù)抽取規(guī)則共有6種變動順序。按照6種順序分別進行抽樣，可以得到總量為6×M3的滿足約束范圍的平面度誤差旋量參數(shù)樣本。以變動順序(αT→δT→vT)為例，總的抽樣流程如圖2所示，采樣樣本總數(shù)為M3。

同理，也可以獲取導(dǎo)軌垂直度誤差旋量DZ=(μZ,0,0,0,βZ,δZ)和平行度誤差旋量DY=(μY,0,0,0,βY,δY)樣本。導(dǎo)軌的綜合位姿偏差是由主基準面和側(cè)基準面共同決定的，根據(jù)安裝導(dǎo)軌的主從關(guān)系，最終左側(cè)導(dǎo)軌和右側(cè)導(dǎo)軌的位姿偏差旋量為(μZ,vT,0,αT,βZ,δT)和(μY,vT,0,αT,βY,δT)。

2　運動零部件不確定性運動誤差建模

導(dǎo)軌的形位誤差與運動誤差會改變與滾動體的接觸狀態(tài)，進而影響滾動體的彈性變形量。本節(jié)將運動零部件的位姿誤差與導(dǎo)軌形位誤差等效為滾動體的彈性變形，結(jié)合赫茲接觸理論建立運動零部件的靜力平衡方程以及運動零部件的運動誤差求解模型。

2.1　運動誤差描述

滾動導(dǎo)軌副聯(lián)接的零部件的結(jié)構(gòu)如圖3所示，其中導(dǎo)軌是固定零部件，滑塊以及滑塊上固定在一起的部件為運動零部件。

圖3　滾動導(dǎo)軌副結(jié)構(gòu)示意圖

運動零部件的運動誤差可以用滑塊的位姿誤差表示，其相對于理想位置有5個自由度誤差(忽略沿著導(dǎo)軌運動方向的定位誤差)，即X方向的水平位移誤差δx、Y方向的豎直位移誤差δx、繞X軸的角度誤差εx、繞Y軸的角度誤差εy和繞Z軸的角度誤差εz。忽略角度誤差的二階小量，則滑塊的位姿誤差變換矩陣ΔTs可以描述為：

(6)

以雙列四滾道導(dǎo)軌為例，假如第i個滑塊第j列滾道第k個滾動體所在對應(yīng)位置滑塊滾道的曲率中心坐標(biāo)是(xijk,yijk,zijk)T，則其位姿誤差在水平和豎直方向的偏差量分別為δijkx和δijky可以表達為：

(7)

2.2　運動零部件運動誤差等效模型

導(dǎo)軌形位誤差和滑塊位姿誤差反映為滑塊和導(dǎo)軌滾道曲率中心的偏移量，將形位誤差和滑塊位姿誤差等效為滾動體的彈性變形，根據(jù)赫茲公式建立滑塊的靜力平衡方程。理想狀態(tài)下，滾動體彈性變形之前的滑塊與滾動導(dǎo)軌的幾何關(guān)系如圖4所示。

圖中，Og和Oh分別是導(dǎo)軌和滑塊滾道曲率中心。則導(dǎo)軌滾道的曲率中心與滑塊滾道的曲率中心的距離L為：

L=|Og-Oh|=(2f-1)Da

(8)

此距離在X和Y方向上的分量分別為Lx0=(2f-1)Da*cosγ，Ly0=(2f-1)Da*sinγ。式中Da是滾動體公稱直徑，f是滑塊和導(dǎo)軌滾道半徑與滾動體直徑的調(diào)整系數(shù)。

實際上，導(dǎo)軌滾道曲率中心有水平和豎直方向的偏移量Δijkx和Δijky；滑塊滾道曲率中心有水平和豎直方向的偏移量δijkx和δijky,變形之后滾動導(dǎo)軌的幾何關(guān)系如圖5所示。

圖4　滾動導(dǎo)軌幾何關(guān)系

圖5　變形后滾動導(dǎo)軌幾何關(guān)系

因此，變形后滾動體的變化量為：

(9)

一般情況下，滾動導(dǎo)軌通過加大滾動體直接預(yù)緊，因此，若滾動體直徑增量λ，其實際變形量為：

(10)

2.3　運動零部件的靜力平衡方程

基于赫茲接觸理論的彈性回復(fù)力與其彈性變形之間的關(guān)系，建立滑塊在外載荷、重力以及所有滾動體回復(fù)力下的力和力矩平衡方程。根據(jù)赫茲接觸公式，滾動導(dǎo)軌中單一滾動體彈性變形Δ與彈性回復(fù)力大小P之間的關(guān)系為：

P=(2η)-3/2Δ3/2

(11)

式中，η為與滾動體直徑和滾道曲率有關(guān)的接觸系數(shù)[10]。由公式(10)和(11)可以得到滾動直線導(dǎo)軌的接觸力Pijk，在X和Y方向上的接觸分力Pijkx和Pijky為：

Pijkx=Pijkcosβijk,Pijky=Pijksinβijk

(12)

其中，βijk是變形之后的接觸角，βijk=artan|Lijky/Lijkx|。對于滑塊而言，各個滾動體到滑塊坐標(biāo)原點的矢徑可以記為rijk(rijk=(Xijk,Yijk,Zijk))?；瑝K在自身重力、外載荷、所有滾動體的彈性支反力下處于平衡狀態(tài)，則滑塊的彈性支反力及其合力矩與所受外力和外力矩的平衡方程為：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

基于得到的滾動導(dǎo)軌形位誤差旋量參數(shù)樣本，聯(lián)合方程(8)～方程(17)，可以得到運動零部件的運動誤差。

3　機床加工誤差不確定性模型

3.1　零部件之間的運動誤差變換矩陣

根據(jù)多體系統(tǒng)理論，零部件Bj和零部件Bi相鄰運動體之間有三個平動和三個轉(zhuǎn)動的位置變化關(guān)系。在理想運動時，當(dāng)零部件Bj是由零部件Bi先后沿著三軸平動的位移分別是uij,vij,wij和繞著三軸轉(zhuǎn)動角度是αij,βij,δij，則根據(jù)齊次坐標(biāo)變換理論，零部件Bi上坐標(biāo)系Oi-XiYiZi到零部件Bj上坐標(biāo)系Oj-XjYjZj變換矩陣為：

(18)

其中，c=cos,s=sin。在實際運動中，零部件Bj和零部件Bi存在著運動誤差，包括三軸平動誤差δx，δy，δz和三軸轉(zhuǎn)動誤差εx，εy,εz。根據(jù)公式(6)可知，零部件Bj和Bi之間的運動誤差矩陣為：

(19)

3.2　機床加工誤差不確定性建模

(20)

圖6　機床零部件坐標(biāo)系變換關(guān)系

(21)

E=Pw-Pw′

(22)

4　實例求解與分析

4.1　加工中心結(jié)構(gòu)

以某車銑復(fù)合加工中心為例，計算機床不確定的加工誤差，其結(jié)構(gòu)如圖7所示。為了研究各導(dǎo)軌形位誤差對機床加工誤差的影響，假定不同零部件同一類型的形位公差值相同。

圖7　復(fù)合加工中心三維模型

4.2　導(dǎo)軌平面度公差的影響

在導(dǎo)軌TB和TC為定值0.01mm時，根據(jù)建立的模型，探究機床加工誤差與導(dǎo)軌TA的變化關(guān)系，結(jié)果如圖8所示?？梢钥闯觯庸ふ`差的分布寬度與平面度公差呈線性變化，但是平均值總體變化不大。從數(shù)值上分析，隨著導(dǎo)軌TA從0.01mm增大到0.05mm時，機床三向加工誤差在平均值附近的出現(xiàn)的概率減小，分散范圍逐漸增加。其中，X向加工誤差達到0.07mm；Y向加工誤差達到0.05mm；Z向加工誤差達到0.08mm。

圖8　不同平面度公差下機床加工誤差分布圖

選擇平均值、方差、最大值和最小值典型統(tǒng)計參數(shù)分析機床三向加工誤差隨導(dǎo)軌形位公差的變化規(guī)律，如圖9所示。在圖9a中，隨著導(dǎo)軌TA的增加，三向誤差的平均值變化不是很明顯；三向誤差的標(biāo)準差逐漸線性增加，即誤差的分布范圍逐漸增加，而且Z向離散程度更大一些。在圖9b中，可以看出隨著導(dǎo)軌平面度公差的增加，三向誤差的最大值呈線性增加，最小值呈線性減小，其中Z向加工誤差的最大值比X向和Y向的加工誤差最大值大。

圖9　機床加工誤差典型參數(shù)變化情況

為了比較機床三向加工誤差的敏感性，本文引入變異系數(shù)CV來比較平均值不同的觀測樣本的敏感性，其計算公式是樣本標(biāo)準差與平均值的比值：

(23)

變異系數(shù)越大，敏感性越高。根據(jù)公式，機床三向加工誤差的變異系數(shù)隨著TA的變化情況如圖10所示?？梢钥闯?，雖然Z向誤差的標(biāo)準差更大一些，但是Y向的變異系數(shù)明顯大于X和Z向，即Y向加工誤差離散程度更明顯，敏感性更高。

圖10　機床三向加工誤差敏感性分析

4.3　導(dǎo)軌平面度和垂直度公差的綜合影響

機床加工誤差的極值能夠反映加工零件的合格率，探究導(dǎo)軌TA和TB對機床三向加工誤差極值的綜合影響，結(jié)果如圖11所示。在圖中，機床加工誤差的極值正相關(guān)于導(dǎo)軌TA和TB，但從斜率分析導(dǎo)軌TA的影響程度更大。圖11a中，X向最大加工誤差達到了0.07mm；圖11b中，Y向最大加工誤差達到了0.05mm; 圖11c中，Z向最大誤差達到了0.09mm。

圖11　導(dǎo)軌平面度和垂直度公差對機床加工誤差的影響

4.4　導(dǎo)軌平行度和垂直度公差的綜合影響

根據(jù)建立的機床加工誤差不確定性模型，探究導(dǎo)軌TC和TB對機床加工誤差極值的綜合影響，結(jié)果如圖12所示?？梢钥闯觯叫卸裙詈痛怪倍裙顚庸ふ`差有同等程度的影響作用，而且對Y向敏感方向影響作用不是很大。與圖11對比可以看出，導(dǎo)軌TC和TB對機床三向誤差的影響程度遠不如導(dǎo)軌TA。因此，在保證加工誤差的同時為了減輕零件的加工難度，可以適當(dāng)?shù)奶岣咂叫卸群痛怪倍裙睢?/p>

圖12　導(dǎo)軌平行度和垂直度公差對機床加工誤差的影響

5　結(jié)論

針對導(dǎo)軌形位誤差不確定性的問題，本文提出了導(dǎo)軌形位誤差不確定性分析方法，結(jié)合零部件運動誤差的等效方法最終建立了基于導(dǎo)軌形位誤差不確定性的機床加工誤差分析模型。根據(jù)建立的模型，以某加工中心實例分析不同導(dǎo)軌形位公差對機床加工誤差的影響規(guī)律，結(jié)果表明：導(dǎo)軌形位誤差的不確定性會導(dǎo)致加工誤差是不確定性的，使其分布在一定的區(qū)間內(nèi)，且區(qū)間寬度幾乎和形位公差呈線性變化的關(guān)系；平面度公差相比于垂直度和平行度公差對加工誤差不確定性有較大程度的影響，根據(jù)分析可以為零部件的公差設(shè)計提供理論參考。

[參考文獻]

[1] 程強, 劉廣博, 劉志峰,等. 基于敏感度分析的機床關(guān)鍵性幾何誤差源識別方法[J]. 機械工程學(xué)報, 2012, 48(7):171-179.

[2] 粟時平. 多軸數(shù)控機床精度建模與誤差補償方法研究[D].長沙:國防科學(xué)技術(shù)大學(xué), 2002.

[3] 王秀山, 楊建國, 閆嘉鈺. 基于多體系統(tǒng)理論的五軸機床綜合誤差建模技術(shù)[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報, 2008, 42(5):761-764.

[4] Majda P. Modeling of geometric errors of linear guideway and their influence on joint kinematic error in machine tools[J]. Precision Engineering, 2012, 36(3):369-378.

[5] Rahman M, Heikkala J, Lappalainen K. Modeling, measurement and error compensation of multi-axis machine tools. Part I: theory[J]. International Journal of Machine Tools & Manufacture, 2000, 40(10):1535-1546.

[6] 馬雅麗, 徐濤, 錢峰. 基于粒子群算法的機床支承件不確定性多目標(biāo)優(yōu)化[J]. 組合機床與自動化加工技術(shù), 2017(1):1-5.

[7] 崔鑫磊, 李威. 基于蒙特卡洛模擬的6-UPS并聯(lián)機構(gòu)的誤差分析[J]. 機械設(shè)計與制造, 2016(6):89-92.

[8] 余治民,劉子建,董思科,等.基于蒙特卡洛模擬與響應(yīng)面方法的公差建模[J].中國機械工程, 2015, 26(4):427-434.

[9] ZHONG X, YANG R Q, ZHOU B. Accuracy Analysis of assembly success rate with Monte Carlo simulations[J]. Journal of Dong Hua University, 2003, 20(4):128-131.

[10] MAJDA P. Modeling of geometric errors of linear guideway and their influence on joint kinematic error in machine tools[J]. Precision Engineering, 2012, 36: 369-378.

(編輯李秀敏)