周中良, 程　越, 寇　添, 咼鵬程

(空軍工程大學航空航天工程學院, 陜西 西安 710038)

0　引　言

作戰(zhàn)方案是作戰(zhàn)單元執(zhí)行任務的基本依據(jù),關(guān)系著戰(zhàn)斗的勝負,由兵力方案[1]、任務規(guī)劃[2]、效能評估[3]等要素組成。其中,兵力方案是作戰(zhàn)方案的重要組成部分,不同的兵力投入會獲得不同的作戰(zhàn)效果[4],故對兵力方案擇優(yōu)選取是作戰(zhàn)取勝的關(guān)鍵。兵力方案的優(yōu)選,存在兩類原則,一是作戰(zhàn)效能的最大化[5],二是效費比的最大化[6],本文以效費比為原則研究兵力方案的優(yōu)選方法。

本文以飛機編隊突防作戰(zhàn)的兵力策略優(yōu)選為背景,運用系統(tǒng)動力學(system dynamics, SD)的方法,構(gòu)建突防編隊依次通過飛機攔截區(qū)、地空武器攔截區(qū)直至打擊目標的突防兵力損失模型,為優(yōu)選提供較可靠的數(shù)據(jù)來源。采用數(shù)據(jù)包絡分析(data envelopment analysis, DEA)中序貫型網(wǎng)絡模型為評價方法,將突防過程抽象為類型3兩階段DEA的兵力多輸入多輸出系統(tǒng),證明其加性與乘性效率分解與類型1不同,并分別從兩階段的輸出與輸入導向提出新的中立性評價方法,分別用于兵力策略的效率評價與優(yōu)選。

1　突防兵力損失模型

兵力損失模型是兵力方案優(yōu)選的基礎,是突防飛機編隊受攔截影響與攔截方受攻擊影響的數(shù)學描述,本文將突防過程分為通過飛機攔截區(qū)、通過地空武器攔截區(qū)兩部分,兩防空區(qū)互不重疊,呈“串聯(lián)”防御的關(guān)系。

如圖1所示,突防飛機編隊依次通過飛機攔截區(qū)、地空武器攔截區(qū),實施對目標群的打擊。

圖1　突防作戰(zhàn)示意圖

設定突防方兵力類型有:被掩護機、掩護機、電子對抗兵力、網(wǎng)絡化作戰(zhàn)兵力。攔截方兵力類型有:攔截機、地空武器、電子對抗兵力、網(wǎng)絡化作戰(zhàn)兵力。被掩護機僅用于對目標的打擊;掩護機用于保護被掩護機,實施對攔截機與地空武器的作戰(zhàn);攔截機用于對被掩護機與掩護機的作戰(zhàn);地空武器分為防空導彈與高炮兩種,用于對突防編隊的攔截。由于電子對抗可能涉及的作戰(zhàn)單元較多,且戰(zhàn)術(shù)復雜,故在突防模型中以電子對抗能力指數(shù)表示;同樣地,網(wǎng)絡化作戰(zhàn)對作戰(zhàn)效能的影響也較復雜,以兵力倍增系數(shù)表示。電子對抗兵力與網(wǎng)絡化作戰(zhàn)兵力只考慮投入不考慮損失。采用

系統(tǒng)動力學的方法對突防作戰(zhàn)進行建模,該方法利用系統(tǒng)中各要素之間的影響對系統(tǒng)的特性進行研究[7-9]。存量流量圖是用于量化模型的基本方法,其中,存量是變量的累積量,流量是變化量,流率是變化的速率[10-12]。本文對兩防空區(qū)交戰(zhàn)中兵力變化影響的因素進行歸納總結(jié),并作出相應的存量流量圖。

1.1　飛機攔截區(qū)模型

在飛機攔截區(qū)中,突防方參與的兵力類型有:被掩護機、掩護機、電子對抗兵力、網(wǎng)絡化作戰(zhàn)兵力。攔截方參與的兵力類型有:攔截機、電子對抗兵力、網(wǎng)絡化作戰(zhàn)兵力。對交戰(zhàn)過程進行分析,總結(jié)出所涉及的存量、流量、輔助變量、常量分別為存量:L1(t)、L2(t)、L3(t);流量:R1(t)、R2(t)、R3(t);輔助變量:Q1(t)、Q2(t)、Q3(t)、q13(t)、q23(t)、q31(t)、C13(t)、C23(t); 常量:q1、q2、q3、P13、P23、P31、A1、M1、A3、M3、T1、k1、k2、k3、k4。

各參數(shù)意義如圖2所示,其中,數(shù)量的單位是“架”,損耗的單位是“架/分鐘”,攻擊速度的單位是“次/分鐘”, 時間單位是“min”。根據(jù)存量、流量、輔助變量、常量之間的影響關(guān)系,利用vensim 6.0b PLE軟件作出存量流量圖,因果關(guān)系標明極性,且常量用虛線連接。輔助變量具體數(shù)學模型參考文獻[13]。

q13(t)dt+q1T1

(1)

(2)

(3)

1.2　地面防空區(qū)攔截模型

對飛機編隊在地空武器攔截區(qū)中的交戰(zhàn)過程進行分析,總結(jié)出所涉及的存量、流量、輔助變量、常量分別為存量:L1(t)、L2(t)、L4(t)、L5(t)、L6(t);流量:R1(t)、R2(t)、R4(t)、R5(t)、R6(t);輔助變量:Q1(t)、Q2(t)、Q4(t)、Q5(t)、Q6(t)、q14(t)、q15(t)、q24(t)、q25(t)、q42(t)、q52(t)、q62(t)、C14(t)、C15(t)、C24(t)、C25(t)、C41(t)、C51(t);常量:q1、q2、q4、q5、P14、P15、P24、P25、P42、P52、P62、A1、M1、A2、M2、A4、A5、T2、k1、k2、k3。

各參數(shù)意義如圖3所示,與飛機攔截區(qū)相同的變量的單位相同,地空導彈與高炮單元及目標的單位是“個”,存量流量圖構(gòu)建方法與飛機攔截區(qū)相同。

圖3　地空武器攔截區(qū)兵力損耗存量流量圖

(q14(t)+q15(t))dt+q1T2

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

2　兩階段DEA評價方法

飛機編隊在突防中,會依次通過飛機攔截區(qū)與地空武器攔截區(qū),最終實現(xiàn)對目標的打擊。每一攔截區(qū)都會對突防編隊造成不同的損失,如掩護機與突防機的損失等,并且收獲不同的作戰(zhàn)收益,如擊毀攔截飛機、避開地空武器等。對這個過程進行效率評價,是兵力方案優(yōu)選的基礎。可見,突防兵力損失模型是一個多輸入多輸出的系統(tǒng)模型,要評價不同兵力策略的優(yōu)劣,根本上就是對多輸入多輸出系統(tǒng)進行效率評價。

DEA是經(jīng)濟、管理等學科中用于多輸入多輸出系統(tǒng)效率評價的經(jīng)典方法。決策單元(decision making unit, DMU)是DEA方法中的評價對象,是對DEA所研究對象的統(tǒng)稱,本文研究的兵力方案就是DMU的一種。傳統(tǒng)的DEA方法將DMU視作“黑箱”,不考慮其內(nèi)部結(jié)構(gòu),不能根據(jù)DMU內(nèi)部的投入產(chǎn)出關(guān)系評價效率,是傳統(tǒng)DEA評價方法的主要缺點。而多階段DEA適用于對具有網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的DMU中每一階段進行效率評價,為決策提供更加準確的依據(jù)[14-16]。文獻[17]于1978年提出DEA的第一個模型以來,傳統(tǒng)DEA一直將DMU視作僅具有一個階段的多輸入多輸出系統(tǒng),即“黑箱”,忽略DMU內(nèi)部結(jié)構(gòu)。直到文獻[18]于1996年對具有多階段的DMU研究了效率評價問題。文獻[19]對多階段DEA評價模型與方法進行了總結(jié)。文獻[20-21]提出了不同種類多階段網(wǎng)絡DEA的評價方法,并對兩階段DEA進行了著重研究。

圖4是多階段DEA系統(tǒng)的示意圖,X表示系統(tǒng)外部輸入,Z表示系統(tǒng)內(nèi)部的輸入或輸出,K表示非末階段系統(tǒng)外部輸出,Y表示末階段系統(tǒng)外部輸出。由突防的過程可知其適用于兩階段DEA評價,兩階段DEA可分為圖5所示的4種結(jié)構(gòu)。

圖4　多階段DEA

圖5　兩階段DEA的4種類型

不考慮兵力補充,按照飛機編隊依次通過飛機攔截區(qū)與地空武器攔截區(qū)的流程,根據(jù)兩個攔截區(qū)的兵力損失存量流量圖,可以總結(jié)出突防作戰(zhàn)的兵力輸入輸出結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6　突防作戰(zhàn)的兵力輸入輸出結(jié)構(gòu)

可見,對于突防作戰(zhàn),在階段1中存在不屬于階段2輸入的輸出,且階段2沒有外部輸入,故適用于兩階段DEA評價中的類型3模型。下面對類型3模型在規(guī)模有效情況下[22-24]的效率評價問題進行研究。

2.1　加性效率分解模型

根據(jù)加性兩階段DEA模型,假設第j個DMU-DMUj的兩階段整體效率為

(9)

階段1和階段2的效率分別為

(10)

則整體效率的加性分解為

(11)

(12)

(13)

(14)

易知,式(14)屬于分式規(guī)化模型,為簡化運算,應用C2變換進行處理,該變換是由Charnes與Cooper兩人提出的處理分式規(guī)劃的方法[25],可以得到

(15)

當式(15)取得最大值時,令(u*,w*,r*,q*)為最優(yōu)參數(shù)組合,則

(16)

(17)

兩個階段效率分解系數(shù)的比值為

(18)

2.2　乘性效率分解模型

對類型3的兩階段DEA,由乘性效率分解的定義,可給出其整體效率為

(19)

階段效率與加性效率分解模型相同,為取得整體效率最大值,根據(jù)輸入導向,作最優(yōu)規(guī)劃,即

(20)

應用C2變換,有

(21)

令(u*,w*,r*,q*)是式(21)的最優(yōu)參數(shù)組合,則

(22)

(23)

2.3　中立性兩階段效率合成

從第2.1節(jié)與第2.2節(jié)可知,無論是整體效率的加性分解還是乘性分解,其目的都是提出一種兩階段DEA的整體效率評價方法。對于多階段DEA,除首階段的輸入與尾階段的輸出外,還存在其余輸入或輸出,這些量在效率評價中的作用是未知的,故整體效率的定義與單階段DMU不同,存在主觀性與多樣性。本節(jié)對類型3的兩階段DEA中的兩個階段分別從輸出導向與輸入導向進行效率評價,由兩階段各自效率值的大小,根據(jù)不同導向具備的不同最優(yōu)規(guī)劃的特性,提出一種中立性合成的兩階段DEA整體效率評價方法,在滿足分階段評價的基礎上,為類型3兩階段DEA的整體效率構(gòu)建客觀的評價方法。對階段1,從輸出導向,做出最優(yōu)規(guī)劃為

(24)

對階段2,從輸入導向,做出最優(yōu)規(guī)劃為

(25)

因式(24)和式(25)限制條件相同,且目標函數(shù)可整合,故可合并為一個規(guī)劃,即

(26)

同樣地,應用C2變換,有

min [qXj0wZj0-uYj0(wZj0+rKj0)]

(27)

令(u*,w*,r*,q*)是最優(yōu)參數(shù)組合,則最優(yōu)解為q*Xj0w*Zj0-u*Yj0(w*Zj0+r*Kj0),且

(28)

以上將根據(jù)第一階段與第二階段兩最優(yōu)規(guī)劃進行整合,提出了可根據(jù)兩階段合成效率值對整體效率進行評價的方法,避免了因整體效率定義方式的不同所導致的評價結(jié)果的主觀性與偏見性?？梢钥闯?本文提出的3種類型3兩階段DEA均具有中立性,且無優(yōu)劣之分。

3　仿真分析

首先設定突防作戰(zhàn)中突防方與攔截方的兵力,模型參數(shù)以及作戰(zhàn)任務要求,根據(jù)兵力損耗模型得到所有兵力方案的兵力損耗情況,然后根據(jù)構(gòu)建的3種兩階段DEA效率評價方法對兵力方案進行效率評價,根據(jù)任務要求,選擇最優(yōu)兵力方案。

突防方與攔截方兵力及毀傷系數(shù)設定如表1和表2所示。作戰(zhàn)時間持續(xù)20單位,不分波次,任務成功的底線為摧毀50個以上(含50個)目標,攔截方兵力為固定值。

表1　兵力參數(shù)

表2　毀傷系數(shù)

表2中表示行中兵力對列中兵力的毀傷系數(shù)。分配系數(shù)均按照平均分配的原則,從突防方的角度對兵力策略進行優(yōu)選。首先,對可生成所有兵力方案的結(jié)果進行推演,兵力方案共有10×12×4×2=960個。由于兵力方案數(shù)目較多,不逐一列出。飛機攔截區(qū)和地空武器攔截區(qū)兵力損失如表3和表4所示。

表3　飛機攔截區(qū)兵力損失

表4　地空武器攔截區(qū)兵力損失

分別運用類型3兩階段DEA的加性效率分解、乘性效率分解與中立性效率合成方法對960種兵力方案進行效率評價。將所有兵力方案的效率值映射在二維坐標系上,其中橫坐標S表示方案,縱坐標E表示效率值,以“紅色”“藍色”“綠色”分別表示表示兵力方案在飛機攔截區(qū)效率值、地空武器攔截區(qū)效率值、整體效率值。

如圖7所示,應用加性效率分解的評價方法,當突防編隊通過飛機攔截區(qū)時,第392號方案效率值最高,效率值為0.963 5,方案為5架被掩護機、1架掩護機、電子對抗兵力為4、網(wǎng)絡化作戰(zhàn)兵力為2,但是該方案只能摧毀45.821 5個目標,不符合任務要求。

圖7　加性效率分解中飛機攔截區(qū)效率值

如圖8所示,應用加性效率分解的評價方法,當突防編隊通過地空武器攔截區(qū)時,第911號方案效率值最高,效率值為0.965 1,方案為10架被掩護機、6架掩護機、電子對抗兵力為4、網(wǎng)絡化作戰(zhàn)兵力為1,可摧毀84.562 4個目標,可知該方案符合任務要求。

圖8　加性效率分解中地空武器攔截區(qū)效率值

如圖9所示,應用加性效率分解的評價方法,整體上,第673號方案效率值最高,效率值為0.943 3。方案為8架被掩護機、1架掩護機、電子對抗兵力為1、網(wǎng)絡化作戰(zhàn)兵力為1,可摧毀51.012 2個目標,符合任務要求。

圖9　加性效率分解中整體效率值

如圖10所示,應用乘性效率分解的評價方法,當突防編隊通過飛機攔截區(qū)時,第122號方案效率值最高,效率值為0.981 0,方案為2架被掩護機、4架掩護機、電子對抗兵力為1、網(wǎng)絡化作戰(zhàn)兵力為2,可摧毀11.936 5個目標,不符合任務要求。

圖10　乘性效率分解中飛機攔截區(qū)效率值

如圖11所示,應用乘性效率分解的評價方法,當突防編隊通過地空武器攔截區(qū)時,第883號方案效率值最高,為0.974 5,方案為10架被掩護機、3架掩護機、電子對抗兵力為2、網(wǎng)絡化作戰(zhàn)兵力為1,可摧毀56.968 7個目標,符合任務要求。

圖11　乘性效率分解中地空武器攔截區(qū)效率 Fig11　Efficiencies in air defense weapons interception zone under multiplicative efficiency decomposition model

如圖12所示,應用乘性效率分解的評價方法,整體上,第673號方案效率值最高,效率值為0.9890。與加性效率分解方法所得結(jié)果相同。

圖12　乘性效率分解中整體效率值

如圖13所示,應用中立性兩階段效率合成的評價方法,當通過飛機攔截區(qū)時,第392號方案效率值最高,效率值為0.991 1,與加性效率分解方法所得結(jié)果相同。

圖13　中立性兩階段效率合成中飛機攔截區(qū)效率值

如圖14所示,應用中立性兩階段效率合成的評價方法,當通過地空武器攔截區(qū)時,第883號方案效率值最高,效率值為0.951 3,與乘性效率分解方法所得結(jié)果相同。

圖14　中立性兩階段效率合成中地空武器攔截區(qū)效率值

如圖15所示,應用中立性兩階段效率合成的評價方法,整體上,第673號方案效率值最高,效率值為0.972 0,與兩種效率分解方法所得評價結(jié)果均相同。

圖15　中立性兩階段效率合成中整體效率值

綜上,應選取第673號作戰(zhàn)方案,能夠取得最大的整體作戰(zhàn)效率值。可以看出,3種方法在評價結(jié)果上基本一致,尤其是效率加性分解與乘性分解評價方法所得結(jié)果與中立性效率合成評價方法所得結(jié)果基本一致,驗證了類型3兩階段DEA在效率分解時的中立性。

4　結(jié)　論

本文運用系統(tǒng)動力學的方法構(gòu)建了突防飛機編隊依次通過飛機攔截區(qū)與地空武器攔截區(qū)的兵力損失模型。對類型3兩階段DEA的效率加性分解與乘性分解模型進行推導,并指出其無偏見性,并提出從不同導向綜合兩階段效率的中立性評價方法,在仿真實驗中證明3種方法的有效性。值得注意的是,當可選兵力種類與數(shù)目較多時,可選兵力方案的數(shù)目將十分龐大,逐一計算效率值進行優(yōu)選將耗費較長時間,今后將研究運用近似尋優(yōu)算法解決該問題的可行性。

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