米 雪，孔凡哲，Dimitris Chassapis

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希臘職前數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合課程的設(shè)計(jì)實(shí)施及啟示

米 雪1，孔凡哲1，2，Dimitris Chassapis3

（1．東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長春 130024；2．中南民族大學(xué) 教育學(xué)院，湖北 武漢 430074；3．雅典大學(xué) 初等教育學(xué)部，雅典 10680）

數(shù)學(xué)史教學(xué)普遍存在“高評價(jià)低應(yīng)用”現(xiàn)象，這是高師數(shù)學(xué)史教學(xué)痼疾所致．高師課程通常將數(shù)學(xué)史看作數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的“調(diào)味劑”，在課程開設(shè)、教學(xué)研究等領(lǐng)域舉步維艱．希臘雅典大學(xué)以數(shù)學(xué)史為綱，貫穿數(shù)學(xué)哲學(xué)等重要素材，編制并實(shí)施了面向職前小學(xué)數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)的融合課程，發(fā)掘數(shù)學(xué)史在學(xué)生數(shù)學(xué)觀形成過程中的獨(dú)特作用，并采取參與式探討的課程實(shí)施形式，取得顯著的教學(xué)成效，既豐富和完善了學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，又提升了學(xué)生的反思能力．這些經(jīng)驗(yàn)對中國的借鑒意義為：模仿設(shè)計(jì)具有中國元素的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合課程．

數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)觀；小學(xué)數(shù)學(xué)教師；職前課程；希臘；啟示

自20世紀(jì)80年代以來，高師數(shù)學(xué)史課程陸續(xù)在師范大學(xué)和一些綜合大學(xué)數(shù)學(xué)系（數(shù)學(xué)學(xué)院）開設(shè)．1999年，在昆明召開的數(shù)學(xué)專業(yè)課程會議“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)規(guī)范”明確將“數(shù)學(xué)史”列入專業(yè)必修課．至今，高師數(shù)學(xué)史課程實(shí)施已接近三十個(gè)年頭，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的結(jié)合越來越緊密．然而，數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的真實(shí)現(xiàn)狀（如，近年來《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》發(fā)表的有關(guān)數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的調(diào)查[1-2]）顯示，高師數(shù)學(xué)史課程、教學(xué)仍存在“高評價(jià)低應(yīng)用”現(xiàn)象：一方面，大家普遍認(rèn)為“掌握數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)教師的必備素養(yǎng)”——充分肯定數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的重要性．另一方面，卻對數(shù)學(xué)史知識掌握十分有限，不能很好發(fā)揮數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)有作用．

不僅如此，作為旨在培養(yǎng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的高師院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)，其“數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐”與“《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[3]關(guān)于數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化的相關(guān)要求”嚴(yán)重脫節(jié)，僅僅將數(shù)學(xué)史作為課堂教學(xué)的“調(diào)味劑”，數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的重心僅定位于激發(fā)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的趣味性．而在綜合大學(xué)課程中，數(shù)學(xué)史也只是高年級的選修課或?qū)ｎ}講座（如，南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院顧沛教授主講、南開大學(xué)公共選修課程“數(shù)學(xué)文化”），數(shù)學(xué)史開設(shè)仍處在自發(fā)階段，沒有規(guī)范的教學(xué)計(jì)劃和統(tǒng)一的教學(xué)大綱，開設(shè)多少學(xué)時(shí)、講授什么內(nèi)容，完全由授課教師自己決定．與此同時(shí)，缺乏數(shù)學(xué)史專門研究人才，數(shù)學(xué)史科研投入有限，國內(nèi)數(shù)學(xué)教育研究人員較少關(guān)注數(shù)學(xué)史研究，則是高師院校數(shù)學(xué)史課程、教學(xué)存在的另一個(gè)突出問題．無論是教學(xué)，還是科研，數(shù)學(xué)史在高師教育中尚未得到充分重視．歸根到底，中國數(shù)學(xué)史教學(xué)存在的問題，大多是忽視數(shù)學(xué)史的教學(xué)價(jià)值所致．

相比之下，希臘雅典大學(xué)對于數(shù)學(xué)史的經(jīng)驗(yàn)值得借鑒．雅典大學(xué)不僅關(guān)注數(shù)學(xué)史對師范生構(gòu)建良好數(shù)學(xué)觀的促進(jìn)作用，而且以數(shù)學(xué)史為“腳手架”，貫穿重要數(shù)學(xué)問題，將數(shù)學(xué)史滲透于數(shù)學(xué)教師職前培養(yǎng)之中，取得顯著成效．同時(shí)，在以雅典為中心的阿提卡地區(qū)推廣．

這里就此闡述希臘職前數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合課程的設(shè)計(jì)實(shí)施及其對中國的啟示．

1 雅典大學(xué)高師數(shù)學(xué)史課程的功能定位

雅典大學(xué)的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合課程，是基于易謬主義（Fallibilism）數(shù)學(xué)觀而開設(shè)的．

事實(shí)上，數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)觀是與數(shù)學(xué)教育緊密聯(lián)系的．20世紀(jì)60年代以來，國際數(shù)學(xué)界對數(shù)學(xué)的認(rèn)識發(fā)生翻天覆地的變化，在易謬主義數(shù)學(xué)觀指導(dǎo)下，有關(guān)數(shù)學(xué)性質(zhì)的認(rèn)識告別了過去的絕對主義，進(jìn)入“擬經(jīng)驗(yàn)主義”數(shù)學(xué)觀時(shí)代．正如R. Hersh所認(rèn)為的，“一個(gè)人如何去呈現(xiàn)數(shù)學(xué)，將受到他如何理解數(shù)學(xué)的影響”[4]．“數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)體，數(shù)學(xué)生命力的一個(gè)必要條件在于所有各部分的不可分離性”[5]，將各部分連結(jié)起來的“綱領(lǐng)”就是數(shù)學(xué)史．?dāng)?shù)學(xué)思想可以視為數(shù)學(xué)概念連結(jié)的內(nèi)在鏈條，而數(shù)學(xué)史則是其外在表現(xiàn)．如果沒有數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)史的連結(jié)，學(xué)生會感覺自己被成串的數(shù)學(xué)定理所湮沒．不掌握數(shù)學(xué)史，就無法看清數(shù)學(xué)的整體概貌，更無法領(lǐng)會數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，也就不能準(zhǔn)確認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，更談不上形成良好的數(shù)學(xué)觀．在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)觀的聯(lián)系是緊密而富于動態(tài)的．有學(xué)者認(rèn)為，“所有的數(shù)學(xué)教育都取決于對于數(shù)學(xué)的認(rèn)識”[6]，雖然直接作用于數(shù)學(xué)教學(xué)的主要因素之一是數(shù)學(xué)觀，但是，基于數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)觀的密切關(guān)系，在教學(xué)過程中對待數(shù)學(xué)史的態(tài)度，卻間接表明了自己的數(shù)學(xué)觀．對于課程教學(xué)而言，教師的數(shù)學(xué)觀會在教學(xué)過程中表漏無疑，他們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識對其選擇、認(rèn)同、接受或拒絕知識產(chǎn)生影響．教師對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，潛移默化地融入其教學(xué)過程之中．

雅典大學(xué)的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合課程，努力詮釋數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)觀以及數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系．課程以數(shù)學(xué)史為序，將中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中重要的主題貫穿起來；從數(shù)學(xué)哲學(xué)中選取對學(xué)生重要且有意義[7]的問題，通過對這些問題開展參與式的、深層次的思考，引發(fā)困惑，挑戰(zhàn)信念，潛在地促進(jìn)數(shù)學(xué)知識與教學(xué)知識上的重構(gòu)，進(jìn)而形成有關(guān)學(xué)習(xí)與思考過程的個(gè)性化發(fā)展[8]，有利于幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)觀．

雅典大學(xué)的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合課程，充分利用數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)觀之間復(fù)雜而又富于動態(tài)的聯(lián)系，通過數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)重要問題的分析，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清數(shù)學(xué)的整體面貌，領(lǐng)會數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，從而對數(shù)學(xué)的本質(zhì)有一個(gè)較為準(zhǔn)確的把握，進(jìn)而引導(dǎo)師范生形成良好的數(shù)學(xué)觀．

2 雅典大學(xué)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合課程的設(shè)計(jì)與核心內(nèi)容分析

為了更好地培養(yǎng)優(yōu)秀小學(xué)數(shù)學(xué)教師，雅典大學(xué)在類似于中國大學(xué)“初等教育學(xué)院”（或小學(xué)教育系）的部門“初等教育學(xué)部”，組建了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合課程研發(fā)團(tuán)隊(duì)，由學(xué)者Dimitris Chassapis領(lǐng)銜．課程研發(fā)團(tuán)隊(duì)根據(jù)希臘小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，從數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)整合的視角，形成數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合課程“小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)”及其《小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)課程大綱》，該大綱分為“數(shù)學(xué)的概念及其特征”“數(shù)學(xué)的分類與集合及其關(guān)系”“數(shù)概念”“數(shù)字的運(yùn)算”“數(shù)概念的擴(kuò)展”“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的方法與媒體”6個(gè)方面，將每個(gè)方面相關(guān)的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)問題分別一一列舉．

例如，圍繞“數(shù)學(xué)概念及其特征”，大綱分別從“數(shù)學(xué)概念的基本特征以及兒童在最初理解概念時(shí)遇到的困難”和“系統(tǒng)中數(shù)學(xué)概念的表達(dá)與組織”兩個(gè)角度入手，引出“數(shù)學(xué)概念為什么以公理性方式表達(dá)”和“數(shù)學(xué)概念的公理化在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中意味著什么”的問題，進(jìn)而將與這兩個(gè)問題相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識列舉出來，如歐幾里得：幾何公理化；皮亞諾：自然數(shù)的公理化；以及哥德爾：不完備定理及其詮釋．在“數(shù)學(xué)概念特征”方面，則從“數(shù)學(xué)概念的活動性表征，圖像性表征與符號性表征”與“數(shù)學(xué)概念與實(shí)際生活的聯(lián)系”兩個(gè)層面入手，引出“數(shù)學(xué)概念和真理是被發(fā)現(xiàn)的還是被發(fā)明的”和“數(shù)學(xué)中的現(xiàn)實(shí)主義與反現(xiàn)實(shí)主義”等數(shù)學(xué)哲學(xué)問題．

隨后，課程研發(fā)團(tuán)隊(duì)對其他5個(gè)方面的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)問題逐個(gè)分析，找到更多的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)問題，如，“羅素悖論”“康托悖論”“連續(xù)統(tǒng)假說”“畢達(dá)哥拉斯定理”“皮亞諾與弗雷格定義”“數(shù)學(xué)本體論”等．

課程編制之初，課程研發(fā)團(tuán)隊(duì)首先對部分學(xué)生進(jìn)行深入訪談．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，相比數(shù)學(xué)哲學(xué)而言，學(xué)生們普遍熟悉和喜歡數(shù)學(xué)史．盡管大多數(shù)學(xué)生也認(rèn)同數(shù)學(xué)哲學(xué)的價(jià)值，認(rèn)可數(shù)學(xué)哲學(xué)對培養(yǎng)邏輯思維的意義，但是，又不約而同地表示“數(shù)學(xué)哲學(xué)較數(shù)學(xué)史要更為抽象，不容易理解”．

基于這一調(diào)查，課程研發(fā)團(tuán)隊(duì)最終決定以數(shù)學(xué)史作為課程的綱領(lǐng)，作為這一門課程的主要載體．

課程研發(fā)團(tuán)隊(duì)通過對解讀《小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)課程大綱》時(shí)整理出來的數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)哲學(xué)問題進(jìn)行重新編排，以數(shù)學(xué)史為綱要，結(jié)合重要的數(shù)學(xué)哲學(xué)問題，編訂課程內(nèi)容如下：

（1）數(shù)與自然數(shù)．

從伊尚戈骨片到斯蒂文算法，數(shù)是物質(zhì)的還是屬性的？

你能在下列數(shù)的定義中指出有哪些異同點(diǎn)嗎？（畢達(dá)哥拉斯、康托、皮亞諾與弗雷格定義的數(shù)）

不同的數(shù)的定義會生發(fā)出不同的數(shù)的概念教學(xué)嗎？

為何隨著時(shí)間的不同和文明的跨越會發(fā)明出不同的計(jì)數(shù)系統(tǒng)？

（2）離散與連續(xù)的量．

從芝諾悖論到戴德金分割，兩者之間的層次與結(jié)構(gòu)有何不同？

在定義有理數(shù)的時(shí)候，發(fā)生了什么？

（3）零和無窮．

如果零代表虛無，那么，虛無一定意味著一些事情，因?yàn)樗_實(shí)存在，這種觀點(diǎn)對嗎？

任何一個(gè)實(shí)體集可擁有一個(gè)共同特征嗎？

整體、部分與被分割之間有何關(guān)聯(lián)？

你能給一個(gè)無窮的例子嗎？

在序數(shù)與基數(shù)之間有什么區(qū)別？

你聽過連續(xù)統(tǒng)假設(shè)嗎？如果沒有，你能基于連續(xù)性做出猜想嗎？

（4）等式與方程．

代數(shù)學(xué)（環(huán)論）從丟番圖，到卡爾達(dá)諾，然后到諾特．

可以用同樣的句式來理解數(shù)學(xué)定義嗎？比如等式或方程的定義？

（5）歐幾里得幾何與非歐幾何．

從古埃及調(diào)查員到羅巴切夫斯基的創(chuàng)造．

“經(jīng)過兩點(diǎn)可以畫一條直線”（歐幾里得）與“兩點(diǎn)之間存在一條直線”（希爾伯特），這兩種命題有區(qū)別嗎？

為什么黃金分割比在自然界普遍存在？

幾維能形成一個(gè)曲面？

數(shù)學(xué)概念和真理是被發(fā)現(xiàn)的？還是被發(fā)明的？

（6）數(shù)學(xué)中的存在與構(gòu)建．

數(shù)學(xué)對象（集合、數(shù)、線、方程、圓，等等）真實(shí)存在嗎？

一個(gè)數(shù)學(xué)對象的諸多數(shù)學(xué)性質(zhì)可能會有特殊性嗎？

莫比烏斯帶能證明數(shù)學(xué)對象是真實(shí)的嗎？

我們怎樣理解復(fù)數(shù)存在的合理性？

（7）幾何，算術(shù)以及二者間的相互關(guān)系．

牛頓的“幾何學(xué)是建立在力學(xué)的實(shí)踐之上的”，意義何在？

笛卡爾推測“幾何”曲線是“可以精確與準(zhǔn)確測量的曲線”，請將此語句與歐幾里得關(guān)于曲線的界定進(jìn)行比較．

（8）隨機(jī)、可能性和統(tǒng)計(jì)學(xué)．

“隨機(jī)”與“任何事都會發(fā)生”，有區(qū)別嗎？

“有很大可能性”，有何意義？任何命題都能從給定的條件中得到一個(gè)數(shù)字概率嗎？

我們可以用概率描述一個(gè)人的理性行為嗎？

（9）在數(shù)學(xué)中的證明．

哪些真理是以數(shù)學(xué)命題來表達(dá)的？

數(shù)學(xué)中的真理指的是抽象對象還是概念？還是兩者都不是？

數(shù)學(xué)論證為何不可或缺？

（10）公理系統(tǒng)及數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．

從歐幾里得到19世紀(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)流派．

數(shù)學(xué)命題是什么？

在公理系統(tǒng)中，數(shù)學(xué)概念是如何組織的？

你能辨認(rèn)歐幾里得幾何公理與皮亞諾自然數(shù)公理的異同點(diǎn)嗎？

在聯(lián)系真實(shí)世界時(shí)，數(shù)學(xué)概念的公理化意味著什么？你聽過“邏輯主義”、“形式主義”和“直覺主義”嗎？你認(rèn)為他們在數(shù)學(xué)中有何意義？

數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是什么？

（11）故事續(xù)編．

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和奇怪的哥德爾博士．

“數(shù)學(xué)是一個(gè)帶有符號的游戲”，這個(gè)觀點(diǎn)站得住腳嗎？

（12）拉卡托斯博士，我們現(xiàn)在應(yīng)該如何看待數(shù)學(xué)？

你認(rèn)為數(shù)學(xué)與物理學(xué)有哪些相似之處？

自2010年開始，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合課程“小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)”在雅典大學(xué)初等教育學(xué)部二年級學(xué)生中開設(shè)至今，已成為阿提卡地區(qū)多所大學(xué)的必修課程，而希臘克里特大學(xué)與羅德大學(xué)也都開始設(shè)置該門課程．

“小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)”課程包含12個(gè)主題，每個(gè)主題的講授和討論的時(shí)間大約為1.5個(gè)小時(shí)，全部課程在一個(gè)學(xué)期內(nèi)完成．

在課程開始階段，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下追溯每個(gè)主題下的數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想與方法的演變、發(fā)展過程，并試圖從數(shù)學(xué)史中發(fā)現(xiàn)與提出問題．例如：

在數(shù)概念主題中，學(xué)生會質(zhì)疑為何隨著時(shí)代的更迭與地域的交錯會產(chǎn)生不同的計(jì)數(shù)系統(tǒng)．

然后，學(xué)生對數(shù)學(xué)史潛藏著的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)哲學(xué)問題進(jìn)行思考與辯論．辯論的形式主要是由學(xué)生與學(xué)生之間的小組辯論．例如：

有的學(xué)生認(rèn)為不同計(jì)數(shù)系統(tǒng)的產(chǎn)生有賴于社會發(fā)展的需求，有的學(xué)生認(rèn)為是由于不同的計(jì)數(shù)工具以及生活環(huán)境等原因所導(dǎo)致．

最后，教師對幾組學(xué)生討論的結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)，最終達(dá)成基本共識．例如：

不同的計(jì)數(shù)系統(tǒng)是由于多種原因所致，可以從不同地域的文化背景，社會的發(fā)展需求與數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律的視角來分析其中原因．

3 雅典大學(xué)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合課程的實(shí)施成效及其啟示

3.1 實(shí)施成效

雅典大學(xué)“小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)”課程由Dimitris Chassapis教授擔(dān)任主講教師．在課程實(shí)施結(jié)束的每個(gè)學(xué)期，要求所有選修該門課程的師范生每人寫一份匿名報(bào)告，以檢測課程實(shí)施的效果．報(bào)告內(nèi)容主要包括兩方面：其一，你從課程中得到的最重要的收獲是什么？其二，在課程實(shí)施和課堂討論中，你遇到的主要困難有哪些？

作者米雪在希臘雅典大學(xué)學(xué)習(xí)期間，全程參與了2016學(xué)年第一學(xué)期的上述實(shí)驗(yàn)，對回收的128份匿名報(bào)告統(tǒng)計(jì)分析，形成統(tǒng)計(jì)報(bào)告，進(jìn)而對課程實(shí)施的成效總結(jié)分析．

3.1.1 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合課程有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的重構(gòu)與教學(xué)方法反思

統(tǒng)計(jì)報(bào)告顯示，半數(shù)以上的學(xué)生明確指出，課程的主要優(yōu)勢是對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行了重構(gòu)，如“改變了關(guān)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識”“改變了關(guān)于數(shù)學(xué)的看法”或者“改變了對于數(shù)學(xué)的態(tài)度”，類似評價(jià)在問卷中頻繁出現(xiàn)．而且，還有學(xué)生對“數(shù)與自然數(shù)”問題，以及使用虛擬教具和體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的圖表，均表示質(zhì)疑．從中不難看出，學(xué)生對教學(xué)方法以及如何使用教具，已經(jīng)不僅僅停留在簡單接受狀態(tài)，而是開始積極反思．

統(tǒng)計(jì)報(bào)告顯示，雅典大學(xué)將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)結(jié)合起來，用于數(shù)學(xué)教師職前課程建設(shè)中的實(shí)踐，印證了以數(shù)學(xué)史貫穿數(shù)學(xué)哲學(xué)問題，不但可以強(qiáng)化職前數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)史知識的理解，在課堂教學(xué)中提高數(shù)學(xué)職前教師學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的興趣，豐富其數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，而且通過提出發(fā)人深思的數(shù)學(xué)哲學(xué)問題，引起學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的重新思考，對數(shù)學(xué)概念不斷反思、重新認(rèn)識，從而引發(fā)其對數(shù)學(xué)傳統(tǒng)印象的批判性思考．學(xué)生對學(xué)校數(shù)學(xué)及課堂教學(xué)方法的反思，是職前數(shù)學(xué)教師建構(gòu)其數(shù)學(xué)教學(xué)觀的必經(jīng)階段——通過對已有教學(xué)方法的自我評價(jià)，引發(fā)其個(gè)性化教學(xué)設(shè)計(jì)的開發(fā)，有利于其在未來的數(shù)學(xué)課堂中實(shí)現(xiàn)個(gè)性化教學(xué)和教學(xué)再創(chuàng)造．與中國傳統(tǒng)課堂傳授方式相比，雅典大學(xué)的這種參與式課程教學(xué)形式的確耳目一新．

3.1.2 具備相應(yīng)數(shù)學(xué)背景知識是課程實(shí)施獲得良好效果的前提

來自學(xué)生的匿名報(bào)告也反映出該門課程存在的問題．部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生指出，在課程實(shí)施和課堂討論中，自己的主要困難在于“數(shù)學(xué)哲學(xué)問題的思考難度大”，如“數(shù)學(xué)哲學(xué)很難理解”或“數(shù)學(xué)哲學(xué)問題難以解決”．尤其對“零與無窮”問題，或者涉及無窮大（無窮?。⒑瘮?shù)連續(xù)性、數(shù)學(xué)辨證等有關(guān)問題的課程內(nèi)容，均表示困惑．

這表明，雅典大學(xué)在“小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)”課程實(shí)施中遭遇最嚴(yán)肅問題——，即對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生而言，教學(xué)難度比較大．

事實(shí)上，在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，由于他們?nèi)狈?shù)學(xué)概念、定理及其推理過程的準(zhǔn)確理解和深度學(xué)習(xí)，以至于，在課程中不能準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)哲學(xué)的具體問題及其核心思想，從而影響到討論的深度、廣度，也不能對數(shù)學(xué)史課程的教學(xué)質(zhì)量做出準(zhǔn)確反饋．例如，凡是涉及無窮大（無窮?。?、函數(shù)連續(xù)性、數(shù)學(xué)辨證等有關(guān)問題的課程內(nèi)容，由于缺少相應(yīng)的數(shù)學(xué)背景，學(xué)生的確無法真正理解．

從而，保障課程質(zhì)量的必要前提是，學(xué)生必須具備相應(yīng)的數(shù)學(xué)背景知識，在課前引導(dǎo)學(xué)生有針對性地強(qiáng)化對相關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理及其推理過程的理解與掌握，可以有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率．

3.2 啟示

中國古代數(shù)學(xué)家也對數(shù)學(xué)有較為深入的思考，創(chuàng)作出《九章算術(shù)》等舉世之作，對分?jǐn)?shù)、方程的記載領(lǐng)先當(dāng)時(shí)世界．然而，以中國古代數(shù)學(xué)為代表的東方傳統(tǒng)重視算法程序化，帶有較強(qiáng)的實(shí)用思想．而西方數(shù)學(xué)界對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識素有傳統(tǒng)，古代希臘數(shù)學(xué)從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派開始，進(jìn)入繁盛階段，繼其后者的柏拉圖、亞里士多德、歐幾里得等數(shù)學(xué)哲學(xué)家對數(shù)學(xué)本質(zhì)問題的思考，促使古代希臘數(shù)學(xué)朝著形而上的趨向發(fā)展．歐幾里得《幾何原本》的問世，在數(shù)學(xué)中引入邏輯因素，對命題的證明奠定了后世數(shù)學(xué)的發(fā)展基礎(chǔ)，對近代數(shù)學(xué)影響深遠(yuǎn)．西方數(shù)學(xué)界利用數(shù)學(xué)史在培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀過程中的作用，進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)具有優(yōu)越性，在課程建設(shè)和人才培養(yǎng)中已歷近百年．

希臘古代數(shù)學(xué)重邏輯推理，中國古代數(shù)學(xué)重實(shí)際應(yīng)用，二者發(fā)展方向迥異，但都融入到近代數(shù)學(xué)思想之中，這為兩國數(shù)學(xué)教學(xué)提供了相互借鑒的可能．時(shí)至今日，兩種文化都融入現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，特別在經(jīng)歷了“新數(shù)運(yùn)動”以及易謬主義思潮沖擊后，數(shù)學(xué)本身的文化區(qū)域性特征已不那么明顯．這為中、希兩國數(shù)學(xué)課程、教學(xué)的相互借鑒，提供了可能．現(xiàn)代的數(shù)學(xué)哲學(xué)無論是研究問題、方法，抑或研究立場和主要觀念都發(fā)生深刻變化，但是，過去幾十年數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究并未準(zhǔn)確解決數(shù)學(xué)教育問題．雅典大學(xué)利用古代數(shù)學(xué)的文化資源，從傳統(tǒng)中提取數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)的有益元素，指導(dǎo)當(dāng)代的數(shù)學(xué)教育實(shí)踐，取得預(yù)期效果．作為同樣有著悠久數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的中國，應(yīng)該重視這一經(jīng)驗(yàn)．

中國高校，尤其是師范類院校，既可直接借鑒雅典大學(xué)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，也可根據(jù)自身情況，量身定制一套類似的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合的課程，進(jìn)一步開發(fā)數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，摒棄“數(shù)學(xué)史只是課堂調(diào)味劑”的片面觀點(diǎn)，推動數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的課程實(shí)踐．這一研究結(jié)果，也為中國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程[3，9]教學(xué)將“數(shù)學(xué)文化”實(shí)踐物化，提供了一種新視角．

[1] 龔運(yùn)勤，唐振球．架起數(shù)學(xué)史成為提高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績的橋梁[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（6）：32-34．

[2] 李保臻，孫名符．新課改背景下高中數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化知識的現(xiàn)狀調(diào)查[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（2）：49-54．

[3] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：10．

[4] HERSH R. Some proposals for revising the philosophy of mathematics [J]. Advances in Mathematics, 1979, 31(1): 31-50.

[5] 伊夫斯 H．?dāng)?shù)學(xué)史概論[M]．歐陽絳，譯．太原：山西人民出版社，1986：14-26．

[6] THOM R. Modern mathematics: does it exist [M] // HOWSON A G. Developments in mathematics education: proceedings of the second international congress on mathematics education. Cambridge: Cambridge University Press, 1973: 195-209.

[7] FREEMAN C, SOKOLOFF H J. Toward a theory of theory of thematic curricula: constructing new learning environments for teachers & learners [J]. Education Policy Analysis Archives, 1996, 3(14): 1-19.

[8] PERFETTI C A, GOLDMAN S R. Discourse functions of thematization and topicalization [J]. Journal of Psycholinguistic Research, 1975, 4(3): 257-271.

[9] 孔凡哲．關(guān)于《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的理解分析[J]．福建基礎(chǔ)教育研究，2018（4）：8-12．

The Implementation and Inspirations of the Course Design of Mathematical History and Mathematics for Pre-service Mathematics Teachers’ in Greece

MI Xue1, KONG Fan-zhe1, 2, Dimitris Chassapis3

(1. Faculty of Education of Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China;2. School of Education of South-Central University for Nationalities, Hubei Wuhan 430074, China;3. Department of Primary Education of University of Athens, Athens 10680, Greece)

There was a general phenomenon of “high evaluation and low application” in the teaching of mathematics history in middle school, which was due to the problem of teaching of mathematics history in normal University. The course of mathematics history was treated as a “flavoring agent” in the teaching of mathematics, which was difficult to break through in the field of implementing and research. Some important problems of mathematics philosophy had been contacted with the history of mathematics in the University of Athens in Greece, which was helpful for the progress of student’s mathematics view and reflective ability. The course explores the unique function of mathematical history in the formation of students’ mathematical view, and takes the curriculum implementation form of participatory discussion. It was necessary to introduce these experiences to China.

mathematics history; mathematics view; primary school mathematics teacher; pre-service curriculum; Greece; inspirations

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2018–03–28

國家社會科學(xué)基金“十二五”規(guī)劃2012年度教育學(xué)重點(diǎn)課題——中小學(xué)理科教材難易程度國際比較（高中數(shù)學(xué)）（AHA120008）

米雪（1988—），女，吉林吉林人，東北師范大學(xué)與雅典大學(xué)聯(lián)合培養(yǎng)博士研究生，主要從事課程與教學(xué)論、數(shù)學(xué)教育的學(xué)習(xí)與研究．

G40-059.3

A

1004–9894（2018）02–0078–04

米雪，孔凡哲，Dimitris Chassapis．希臘職前數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合課程的設(shè)計(jì)實(shí)施及啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（2）：78-81．