陸繼盛

[摘要]新課程要求課堂教學(xué)改變“一言堂”的傳統(tǒng)教學(xué)模式.“師生換位”是優(yōu)化課堂教學(xué)的一種有效的教學(xué)模式.

[關(guān)鍵詞]師生換位；教學(xué)模式；課堂教學(xué)；優(yōu)化

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2018）05001102

新課程強調(diào)，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生積極開展研究性學(xué)習(xí)活動，提高他們的實踐能力和創(chuàng)新能力，以適應(yīng)社會對新型人才的需求.近年來，筆者在組織和引導(dǎo)學(xué)生積極開展研究性學(xué)習(xí)上做了一些嘗試.本文選擇一個比較好的案例與同行交流學(xué)習(xí)，敬請專家點評.

【課題】構(gòu)建向量模型求最值探索.

【問題】如何求函數(shù)y=x2-6x+10+x2+6x+25

的最小值？（該問題是在復(fù)習(xí)完平面向量后，我給全班學(xué)生的一道探究解法的研究性學(xué)習(xí)題目）

【研究過程】

學(xué)生主持：這次學(xué)習(xí)，我們探究如何求函數(shù)y=x2-6x+10+x2+6x+25的最小值？

學(xué)生認(rèn)真分析，積極思考，相互交流，相互探討，有的甚至查起了資料.

學(xué)生1：y=x2-6x+10+x2+6x+25

=（x-3）2+1+（x+3）2+16

.

∵根式（x-3）2+1取得最小值1，而根式（x-3）2+16的最小值是4，

∴此函數(shù)的最小值是5.

學(xué)生2：這種解法顯然錯誤.原因是這兩個根式分別取得最小值時的x不是同一個值.

學(xué)生主持：這是求有關(guān)和的最值時，同學(xué)們常出現(xiàn)的錯誤之一，請大家注意.

學(xué)生3：y=x2-6x+10+x2+6x+25

=（x-3）2+1+（x+3）2+16

.

觀察學(xué)生1對式子的變形，我聯(lián)想到兩點距離公式|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2

.如果將

（x-3）2+1+（x+3）2+16

再變形為

（x-3）2+（0-1）2+（x+3）2+（0-4）2

，則它表示數(shù)軸上的點（x，0）與兩點（3，1），（-3，4）的距離的和，所以此問題變轉(zhuǎn)化為在數(shù)軸上求一點，使得它到兩點（3，1）和（-3，4）

的距離最小的問題.只需要在平面直角坐標(biāo)系中，作出點（3，1）關(guān)于x軸的對稱點（3，-1），而此對稱點和另一點（-3，4）

的連線與x軸的交點95，0就是所求的點

，此時95，0與點（3，1）和點（-3，4）的距離的和是61.

教師（補充）：這位同學(xué)的方法很不錯，他能從前面同學(xué)的變形，聯(lián)想到兩點距離公式，用數(shù)形結(jié)合的方法很簡捷地完成了解答.希望大家在以后做題時，不要急于作答，而要認(rèn)真分析題目結(jié)構(gòu)的特點，從題目中獲取信息，以達(dá)到優(yōu)化解題的目的.

對于這道題，只有少部分學(xué)生想到用這種數(shù)形結(jié)合的方法外，很多學(xué)生感覺無從入手.

教師（引導(dǎo)）：

前面我們學(xué)習(xí)了向量，同學(xué)們仔細(xì)觀察

（x-3）2+1+（x+3）2+16

和向量中的什么相似？

學(xué)生4：兩點距離公式|AB|

=（x1-x2）2+（y1-y2）2

.

教師：具體是哪兩點，寫出坐標(biāo).

學(xué)生4：（答不上來）.

學(xué)生5：和向量模的公式相似，即若

a=（x，y）

，則|a|=x2+y2.

教師：是怎樣的兩個向量呢？

學(xué)生5：a=（x-3，1），b=（x+3，4）.

教師：請同學(xué)們寫出這兩個向量的模.（一片驚嘆聲）下面同學(xué)們作答.

學(xué)生6：（板演）

解：將函數(shù)變形為y=（3-x）2+1+（x+3）2+42

，設(shè)a=（3-x，1），

b=（x+3，4），

則y=（3-x）2+1+（x+3）2+42

=|a|+|b|≥|a+b|=62+52=61

.

當(dāng)且僅當(dāng)a∥b方向相同，即x=95時，取“=”號，所以當(dāng)x=95時，ymin=61.

教師：這個同學(xué)做得很好，解題過程簡練、流暢.同學(xué)們看看，他構(gòu)建向量時，為什么把向量a設(shè)為a=（3-x，1），而不是a=（x-3，1）呢？

學(xué)生7：是為能巧妙應(yīng)用向量模的性質(zhì)|a|+|b|≥|a+b|

而妙設(shè)的.這樣當(dāng)兩向量相加時，未知量x就消去了.

教師：說得對.在構(gòu)建向量模型求最值時巧妙的假

設(shè)也是相當(dāng)重要的，希望同學(xué)們注意.看來有些最值的問題，若恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建向量模型，借助向量的一些性質(zhì)，常常會使復(fù)雜的問題變得簡潔，使煩瑣的解題過程顯得巧妙、流暢.

教師（點評）：同學(xué)們已經(jīng)能正確運用向量來解決一些問題.我們學(xué)習(xí)知識的目的是運用，向量是數(shù)學(xué)里相當(dāng)重要的“工具”，希望同學(xué)們多探究、多運用.

【學(xué)生感言（節(jié)選）】

這節(jié)研究性學(xué)習(xí)課我和其他同學(xué)一樣，認(rèn)真分析，積極思考，盡管我沒上講臺，我沒發(fā)言，但收獲很大.由于研究性學(xué)習(xí)課我們是真正的主人，所以我們在課堂上不緊張，思維能展開，在輕松中獲取知識，我們比較喜歡.雖然一節(jié)課只講了幾道題，但它教會了我們?nèi)绾谓柚鷦倢W(xué)過的向量知識解決一些難解的問題，教會了我們學(xué)習(xí)的方法.值得一提的是，我發(fā)現(xiàn)我并不比別人笨，而是平時不善于交流，不善于探討.研究性學(xué)習(xí)給我提供了探究學(xué)習(xí)的平臺，我要以此為契機，逐漸養(yǎng)成研究性學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，提高我的實踐能力和創(chuàng)新能力.

【教學(xué)思考】

1.研究性學(xué)習(xí)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個有機組成部分，是在基礎(chǔ)性、拓展性課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進一步鼓勵學(xué)生運用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)的和現(xiàn)實的問題的一種有意義的主動學(xué)習(xí)，是以學(xué)生動手、動腦，主動探索實踐和相互交流為主要學(xué)習(xí)方式的學(xué)習(xí)研究活動.它能營造一個使學(xué)生勇于探索、爭論和相互學(xué)習(xí)的良好氛圍，給學(xué)生提供自主探索、合作學(xué)習(xí)、獨立獲取知識的機會.數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)更加關(guān)注學(xué)習(xí)過程.

2.用于數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的材料應(yīng)是建立在學(xué)生現(xiàn)有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，能夠激起學(xué)生解決問題的欲望，體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的思想方法和應(yīng)用價值，有利于創(chuàng)造廣闊的思維活動空間，使學(xué)生的思路越走越寬，思維的空間越來越大的一種研究性材料.

3.數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的材料不僅僅是教師自己提供的，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生經(jīng)過思考、調(diào)查、查閱資料等方式概括出問題，甚至可以通過日常生活情境提出數(shù)學(xué)問題，進而提煉成研究性學(xué)習(xí)的材料.在研究性學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，是問題的研究者和解決者，是主角，而教師則在適當(dāng)?shù)臅r候?qū)W(xué)生給予幫助，起著組織和引導(dǎo)的作用.

4.數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的評價不僅僅關(guān)心學(xué)習(xí)的結(jié)果，而且更重要的是關(guān)注學(xué)生參與學(xué)習(xí)的程度、思維的深度與廣度，學(xué)生獲得了哪些發(fā)展，特別注意學(xué)生有哪些創(chuàng)造性的見解，同時對學(xué)生的情感變化也應(yīng)予以注意.為了使評價能夠真實可靠，起到促進學(xué)生發(fā)展的目的，教師要充分尊重學(xué)生自己對自己的評價以及學(xué)生之間的相互評價，既要有定量的評價也要有定性的評價.

（責(zé)任編輯黃桂堅）