朱希萍

小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”復(fù)習(xí)課是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，通過對圖形與幾何內(nèi)容的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步感受現(xiàn)實世界中的物體和幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換，進(jìn)一步讓學(xué)生掌握相應(yīng)的基礎(chǔ)知識和基本技能，學(xué)會解決簡單的實際問題，發(fā)展形象思維，培養(yǎng)空間觀念和創(chuàng)新意識。

在組織“圖形與幾何”復(fù)習(xí)課時，我們要根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”知識的心理特點結(jié)合“圖形與幾何”的知識特點，在知識的鏈接點處、思維發(fā)展處、策略方法選擇處給學(xué)生以復(fù)習(xí)路徑與復(fù)習(xí)方法的提示，為學(xué)生提供觀察和想象、操作和分析的時間和空間，進(jìn)行大膽想象，發(fā)展空間觀念的同時培養(yǎng)自主復(fù)習(xí)的能力。下面談?wù)勎业膸c策略。

一、在知識的鏈接點處求同求異求聯(lián)來梳理知識

數(shù)學(xué)知識之間有著緊密的聯(lián)系。在“圖形與幾何”知識的復(fù)習(xí)時，我們要站在整體的視角下，引導(dǎo)學(xué)生抓住知識的內(nèi)在聯(lián)系，通過分析、比較把知識串聯(lián)在一起，達(dá)到復(fù)習(xí)一點懂得一片，理解一片貫通一面的目的。

1.抓圖形要素的共性來聯(lián)想梳理。

組成圖形的三個基本要素是：點、線、面。同是點（或線），在不同圖形中的名稱卻可能不同；同為線，通過不同的組合就可構(gòu)造不同的圖形……分析這些要素的共性，可為我們的復(fù)習(xí)梳理提供思路。

人教版四年級上冊教材中，學(xué)習(xí)的內(nèi)容有直線、射線、線段、角、平行、垂直、平行四邊形、梯形等，分析這些平面圖形，都有一個共同的要素：點。“直線、射線、線段”的判斷看端點，“平行、垂直”判斷看交點，“角、平行四邊形、梯形”有頂點。都是“點”，叫法卻不同，好多學(xué)生容易搞混，如把三角形的“頂點”錯叫成“端點”，把線段的“端點”錯叫成“頂點”。上這節(jié)復(fù)習(xí)課時就可以利用“點”來做文章。

出示圖1：

圖1

你看到了什么點？（若將其看成兩條射線，則為端點；若看成角，則為頂點；若看成相交，則為交點；若看成垂直，則為垂足）

使學(xué)生體會到：同是點，在不同的圖形中的名稱卻不同。

然后引導(dǎo)學(xué)生思考：你還想到哪些數(shù)學(xué)中的點？

由“端點”，你還想到什么圖形？

由“交點”，你還想到什么圖形？

哪些圖形有頂點？

由此逐漸引出要復(fù)習(xí)的圖形，然后再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步的回顧整理。

2.抓圖形特征的共性來分類梳理。

每個圖形都有自己的特征，這些特征中有些是獨有的，人無它有；有些特征是與別人相同或相似的，人有它也有……從眾多特征上分析共性，也可為我們的復(fù)習(xí)梳理提供思路。

“立體圖形的復(fù)習(xí)”這部分內(nèi)容（包括長方體、正方體、圓柱、圓錐的特征、表面積、側(cè)面積、體積等）知識較多，但分析后可以發(fā)現(xiàn)，長方體、正方體、圓柱、圓錐有很多相同的地方：前三個都是直柱體，側(cè)面展開都是長方形，體積、側(cè)面積、表面積計算方法相同；后兩個都可以由一個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到。于是有一位教師教學(xué)時先出示圖2，以“哪些立體圖形可以和圓柱分為一類”作為任務(wù)驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度闡述分類理由。學(xué)生把①②④和圓柱分成一類，因為它們有共同的體積計算公式（體積＝底面積×高）、有共同的表面積計算公式（表面積＝側(cè)面積+底面積×2）、有共同的側(cè)面積計算公式（側(cè)面積＝底面周長×高）；還可以把③和圓柱分成一類，因為它們都可以由一個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到。交流中適時追問“為什么直柱體的體積可以用底面積×高來表示”、“為什么側(cè)面積都可以用底面周長×高來解決”。這樣，通過歸類、交流，使學(xué)生對立體圖形這塊知識做了一個很好的梳理，既溝通了這些立體圖形之間內(nèi)在的聯(lián)系，又加深了學(xué)生對側(cè)面積、表面積和體積概念內(nèi)涵的理解。

圖2

3.抓圖形特征的關(guān)系來梳理。

許多圖形有共同的特征，這些特征之間又有錯綜復(fù)雜的聯(lián)系。學(xué)生在學(xué)習(xí)圖形與幾何知識的關(guān)系時特別難以理清，通過記憶的形式學(xué)生很容易搞混淆。通過分一分、理一理，學(xué)生容易把中間的關(guān)系梳理清晰。

例如六年級復(fù)習(xí)“圖形認(rèn)識”這節(jié)課，內(nèi)容涉及三角形（銳角三角形、直角三角形、等腰三角形、等邊三角形等）、四邊形（長方形、正方形、平行四邊形、梯形等）、立體圖形（長方體、正方體、圓柱、圓錐等），涉及的圖形多而雜，學(xué)生對其中有些圖形的特征關(guān)系容易混淆。我們設(shè)計這節(jié)課時，發(fā)現(xiàn)了這些圖形之間也有共性，即這些圖形之間存在著許多的包含關(guān)系，如果學(xué)生能理清這其中的包含關(guān)系，自然也就能理清各個圖形的特征和圖形間的區(qū)別了。

于是上課時先讓學(xué)生說說小學(xué)六年學(xué)過哪些圖形；接著以長方形和正方形為例引導(dǎo)學(xué)生說說它們的關(guān)系，并用集合圖表示（如圖3）；然后讓學(xué)生在學(xué)過的圖形中，再找出具有這樣關(guān)系的兩個或幾個圖形，并用這樣的集合圖表示出來，最后通過交流，或修繕、或融合。這樣，逐步把學(xué)生腦海中各個零散的、點狀的知識串成線、連成片、結(jié)成網(wǎng)，變成有序的、網(wǎng)狀的知識體系。

圖3

4.抓計算方法的聯(lián)系來轉(zhuǎn)化梳理。

圖形的測量方法有著千絲萬縷的聯(lián)系，在復(fù)習(xí)時我們要利用好關(guān)系建立起方法群，形成自己的知識結(jié)構(gòu)。例如在復(fù)習(xí)“平面圖形的面積”時教師引導(dǎo)學(xué)生尋找復(fù)習(xí)路徑后在黑板上板書：計算的方法怎樣？方法的由來？并呈現(xiàn)下圖。

觀察上面一張圖形，想一想在相應(yīng)的橫線上填上你的想法,再想想這些平面圖形面積公式的推導(dǎo)，彼此之間存在著密切的聯(lián)系，你能利用圖片模型將這些聯(lián)系表示出來嗎？

學(xué)生以小組為單位合作構(gòu)建“知識鏈”，結(jié)合圖形模型展開交流活動。

組1：長方形面積是通過數(shù)方格來推導(dǎo)的；正方形、平行四邊形、圓的面積計算公式是通過長方形面積來推導(dǎo)的；而三角形、梯形面積是通過平行四邊形面積來推導(dǎo)的；所以就有如上的網(wǎng)絡(luò)圖。

組2：平行四邊形、圓形是通過剪拼轉(zhuǎn)化為長方形進(jìn)行推導(dǎo)出來的；而三角形是通過兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形推導(dǎo)出來的；梯形可以剪成兩個三角形再通過三角形推導(dǎo)出來；所以就有如下的網(wǎng)絡(luò)圖：

組3：我們組認(rèn)為正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓等圖形都可以通過剪拼成長方形推導(dǎo)出來。就有下面的網(wǎng)絡(luò)圖：

這一環(huán)節(jié)教師開門見山地提出復(fù)習(xí)的內(nèi)容和復(fù)習(xí)目標(biāo)，并直接提供半成品形式的圖示材料，使每位學(xué)生都能認(rèn)真觀察思考。學(xué)生在觀察這樣的圖示后，能很快地回想起當(dāng)時學(xué)習(xí)這些圖形面積計算時的情境，并按圖形變換的線索填寫相應(yīng)橫線上的內(nèi)容。由于復(fù)習(xí)素材設(shè)計科學(xué)有效，有利于教師選用學(xué)生所整理的材料組織質(zhì)疑，使學(xué)生在回憶面積計算方法的同時，突出復(fù)習(xí)用轉(zhuǎn)化思想來推導(dǎo)面積計算公式。以上的復(fù)習(xí)形式，改變了以往教師與學(xué)生之間單調(diào)的回答。把復(fù)習(xí)課回歸到人性化的訓(xùn)練，關(guān)注學(xué)生在復(fù)習(xí)時的興趣，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，并掌握復(fù)習(xí)方法。

二、在思維的生長點處求變求聯(lián)來發(fā)展空間觀念

“圖形與幾何”教學(xué)的核心魅力在于“變”，有“變”才有“用”，有“變”才能“活”。實施“圖形與幾何”復(fù)習(xí)課教學(xué)時，應(yīng)設(shè)計適當(dāng)靈活的問題變式，在巧妙的變式中，在錯綜復(fù)雜的變化中，培養(yǎng)學(xué)生研究探索問題的能力，發(fā)展空間觀念。

教師可以通過從不同角度去改變題目，或者通過解題后的反思?xì)w納出同一類問題的解題思維的形成過程與方法；通過改變條件，讓學(xué)生對滿足不同條件的情況做出正確的分析等培養(yǎng)學(xué)生推理、探索的思維能力，有效地突破思維定勢，使學(xué)生的思維更具有靈活性、嚴(yán)謹(jǐn)性、變通性和創(chuàng)造性。

1.在組合變換中溝通。

有些習(xí)題看上去沒有聯(lián)系，方法與解題思路各不相同。如果我們通過變換想象與聯(lián)想，可以將它們進(jìn)行方法上的溝通，思考方式上的鏈接。

先來看這幾道題目：

題1：求立體圖形的體積（單位：cm）。

題2：將A容器中60dm3的水倒一部分到B容器，使A、B容器的水面一樣高，這時水面的高度是多少？

題3：如圖，一個長為8dm，寬為5dm的長方體容器，有72dm3的水，將一個底面積為16dm2的鐵塊浸沒在水中，水面的高度與鐵塊的高度相等，鐵塊的高度是多少？

以上三道題目看似不一樣，但是如果仔細(xì)分析就會發(fā)現(xiàn)，這幾題都是由幾個立體圖形組成的組合圖形，如果從運動的視角去審視，將其中一個立體圖形圖形進(jìn)行平移，就會發(fā)現(xiàn)，這些題都可以轉(zhuǎn)化成一個圖形：

學(xué)生練習(xí)后，教師課件動畫溝通題目之間的聯(lián)系，學(xué)生倍感驚嘆。這個過程中，引導(dǎo)學(xué)生從運動變化的視角進(jìn)行動態(tài)思維，較好地滲透了動態(tài)幾何觀。學(xué)生從中感受到了數(shù)學(xué)的神奇，對圖形的變換有了全面透徹的理解，便能融會貫通、舉一反三地去學(xué)數(shù)學(xué)。

2.分割變換中溝通。

在分的過程中通過聯(lián)想它們之間的聯(lián)系，由同一變化方式在不同對象上發(fā)現(xiàn)具有相同的思考形式與解決問題的路徑，從而在變中發(fā)現(xiàn)不變的思想，讓方法融會貫通。

例如，一個圓柱體，高是6厘米，沿著它的高平均切成兩半，表面積就增加48平方厘米。原來圓柱的體積是多少立方厘米？

如果是圓錐體呢？要是長方體呢？(假如底面是正方形)

復(fù)習(xí)階段的解題訓(xùn)練，側(cè)重點應(yīng)更多傾向于“變中求聯(lián)、巧中求智”。 為此，適度的基本訓(xùn)練后，教師應(yīng)做足變式文章，在蘊涵變化的信息環(huán)境中，訓(xùn)練學(xué)生“撥開迷霧、聚焦本質(zhì)”的數(shù)學(xué)洞察力。通過這樣的解題訓(xùn)練，立體圖形體積計算的方法必能扎根于學(xué)生腦海中。

三、在解決問題處求策略的多樣化來提升能力

運用一種知識解決問題時，因為指向明確、策略清晰，學(xué)生往往感覺容易。而當(dāng)需要綜合運用多種知識解決問題時，學(xué)生往往感覺困難。因為題中指向哪些知識、需要哪些策略，都需要由學(xué)生自己決定，這些活動經(jīng)驗需要積累。因此我們組織復(fù)習(xí)時，應(yīng)設(shè)計具有針對性、開放性、綜合性的問題，引導(dǎo)學(xué)生綜合運用多種策略解決生活中的實際問題。

1.方法策略多“見面”。

測量計算的方法很多，要讓學(xué)生能合理靈活地運用。我們要給學(xué)生接觸見面的機會，學(xué)生有過練習(xí)的經(jīng)驗，才能在下次的情境中合理選擇。常用的方法策略有如下幾種：

2.方法策略多選擇。

在復(fù)習(xí)課上，為了保證學(xué)生思維的流暢性、靈活性和變通性，使學(xué)生能夠創(chuàng)造性地解決問題，應(yīng)設(shè)計一些在解題策略上有多種選擇，方法多樣的創(chuàng)造性的復(fù)習(xí)題。一位教師在教學(xué)五年級“平面圖形的面積”復(fù)習(xí)課時，出示下圖：在長10米，寬8米的長方形綠化區(qū)里有一些寬1米的小路，草地的面積是多少?

第一種解法：四塊草地的面積：3×3=9（平方米），6×3=18（平方米），4×5=20（平方米），4×4=16（平方米）；草地總面積：9+18+20+16=63（平方米）。

第二種解法：綠化區(qū)的總面積:10×8=80（平方米）；小路的面積：1×10+1×3+1×4=17（平方米）；草地總面積：80-17=63（平方米）。

第三種解法（10-1）×（8-1）=63（平方米）。

顯然，第三種解法學(xué)生在頭腦中做了平移的動作，解法明顯簡單多了。

又如下題：

解法一：先求出四個三角形的面積，再求出大長方形的面積，然后用長方形的面積減去四個三角形的面積和，至少要6步。

解法二：連接HF，就成了兩個三角形，只要將三角形HEF與三角形HFG的面積相加就好了。

解法三：有同學(xué)列出算式“10×12÷2”，你有辦法說明理由嗎？

顯然三個解法一個比一個簡單，一個比一個更吸引學(xué)生，這樣的復(fù)習(xí)題設(shè)計留給學(xué)生創(chuàng)造力得以發(fā)揮的天地，并在教學(xué)中注意發(fā)現(xiàn)學(xué)生創(chuàng)造性思維的火花。學(xué)生只有在這樣的情境下，積極思考，尋求最優(yōu)方法才成了現(xiàn)實；學(xué)生在這樣的情境下不由自主地感受到努力思考后帶來的好處，這樣才能激發(fā)學(xué)生自覺地積極思考。經(jīng)常這樣訓(xùn)練一定能達(dá)成培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的目標(biāo)。

總之，我們應(yīng)創(chuàng)設(shè)一種適合學(xué)生的復(fù)習(xí)需要，激起學(xué)生往下探究的欲望，幫助學(xué)生主動梳理，發(fā)展思維，培養(yǎng)空間觀念。在引領(lǐng)學(xué)生掌握復(fù)習(xí)方法的同時，進(jìn)一步體驗數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系和應(yīng)用價值。