朱姍姍

【教學(xué)內(nèi)容】自編素材。

【教學(xué)過程】

一、回顧微課內(nèi)容，引出課程中心

在授課前一天，學(xué)生已在家觀看微課《棋盤上的奧秘》，內(nèi)容為：紅紅和明明兩人在12×12的棋盤上下棋，從右下角開始，兩人輪流下，只能下在前一顆棋子的左上方距離一格或兩格處，先搶到左上角的終點(diǎn)者獲勝。紅紅（執(zhí)白）三局都獲勝。（圖1）

圖1　微課截圖

1.回顧微課，定義必勝點(diǎn)。（圖2）

圖2

討論“為什么紅紅三局都能贏？”得出“只要搶到3號(hào)點(diǎn)，不管對(duì)手下1格還是2格都能保證自己搶到終點(diǎn)”從而定義“不管對(duì)手如何下，都能保證必勝的點(diǎn)”為必勝點(diǎn)。

2.初步感受倒推，規(guī)范必勝策略的表達(dá)。

討論“想要搶到3號(hào)點(diǎn)，又得下到哪些點(diǎn)？”得出“想要下到3號(hào)點(diǎn)，必須搶到2號(hào)點(diǎn)；想要搶到2號(hào)點(diǎn)，必須搶到1號(hào)點(diǎn)?！?/p>

小結(jié)：用倒推的方法可以找出所有的必勝點(diǎn)。在這個(gè)棋盤上，要后下、下必勝點(diǎn)，才能獲勝。

【設(shè)計(jì)意圖：這部分內(nèi)容是整堂課的準(zhǔn)備環(huán)節(jié)。有以下幾個(gè)意圖：1.在微課中演示12×12棋盤及相應(yīng)游戲規(guī)則的操作，便于學(xué)生熟悉棋盤，理解8×8棋盤的游戲規(guī)則；2.引出在一維線上進(jìn)行逆向推理的核心問題；3.定義了必勝點(diǎn)并規(guī)范必勝策略的說法，使學(xué)生后續(xù)作答更具指向性?！?/p>

二、利用8×8的棋盤，在對(duì)弈中感悟嘗試和倒推

1.理解規(guī)則。

圖3　師生對(duì)弈

展示題目：在8×8棋盤的右下角放一顆棋子，以它為起點(diǎn)，兩人輪流在這個(gè)棋盤上下棋，規(guī)定只能下在前一顆棋子的上面、左面或者左上方距離一格處，先占領(lǐng)左上角者獲勝。

（1）師生對(duì)弈兩步：如果我的第一顆棋子下在這里，那么你的棋子可以下在哪里？

（2）師生對(duì)弈一局（教師執(zhí)白，學(xué)生執(zhí)黑），學(xué)生在“老師下到距離終點(diǎn)2格處點(diǎn)”時(shí)認(rèn)輸。（圖3）

（3）討論：老師下到哪個(gè)點(diǎn)的時(shí)候你覺得老師一定能贏，為什么？

生：老師下到距離終點(diǎn)兩格處的點(diǎn)時(shí)一定贏了，因?yàn)槲抑荒芡弦桓?，而老師則會(huì)搶到終點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)意圖：因有12×12棋盤游戲的微課學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)8×8棋盤上的游戲規(guī)則比較容易理解。同時(shí)加入師生對(duì)弈環(huán)節(jié)，是為了保證全班學(xué)生都能掌握游戲規(guī)則，感知必勝點(diǎn)，為頓悟用“倒推法”找必勝點(diǎn)做鋪墊?！?/p>

2.探索必勝策略。

布置任務(wù)：在練習(xí)紙的對(duì)弈區(qū)，和你的同桌對(duì)弈，你下到哪個(gè)點(diǎn)的時(shí)候覺得自己肯定能贏，把這樣的點(diǎn)記錄在必勝點(diǎn)記錄區(qū)。

【設(shè)計(jì)意圖：在這里，我們給予學(xué)生充分的對(duì)弈體驗(yàn)，讓學(xué)生在對(duì)弈中萌生博弈觀念，初步形成倒推思路?！?/p>

3.反饋：討論各個(gè)點(diǎn)是否為必勝點(diǎn)。

（1）錯(cuò)誤點(diǎn)。（圖4）

生：下到這個(gè)點(diǎn)，如果對(duì)手往上，我可以往左上，搶到終點(diǎn)；如果對(duì)手往左上，我就直接往上搶到終點(diǎn)。

生：（反駁）下到這個(gè)點(diǎn)，如果對(duì)手往左，我就只能往上，這樣終點(diǎn)就被對(duì)手搶到，所以它不是必勝點(diǎn)。

小結(jié)：要考慮對(duì)方下棋的各種可能。

（2）往下、往右倒推點(diǎn)。（圖5、圖6）

生：如果我搶到這個(gè)點(diǎn)（圖5），對(duì)手就只能往上，我就能搶到終點(diǎn)。

生：如果我搶到這個(gè)點(diǎn)（圖6），對(duì)手就只能往左，我就能搶到終點(diǎn)。

（3）右下倒推點(diǎn)。（圖7）

生：這個(gè)點(diǎn)（插小旗的點(diǎn)）是必勝點(diǎn)，如果對(duì)方往左走，那我也往左，就可以搶到1號(hào)必勝點(diǎn)；如果對(duì)方往上，那我也往上，就可以搶到2號(hào)必勝點(diǎn)；如果對(duì)方往左上，那我也往左上，就直接搶到終點(diǎn)。也就是說只要我搶到這個(gè)點(diǎn)，不管對(duì)手往哪個(gè)方向下，我都能搶到終點(diǎn)。（學(xué)生說完后請(qǐng)兩位學(xué)生再把右下倒推點(diǎn)的驗(yàn)證過程說一遍）

圖4　錯(cuò)誤點(diǎn)

圖5　往下倒推點(diǎn)

圖6　往右倒推點(diǎn)

圖7　右下倒推點(diǎn)

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生的對(duì)弈過程，實(shí)際上是一個(gè)嘗試錯(cuò)誤的過程。這里的反饋分為三個(gè)層次，第一個(gè)層次，反饋錯(cuò)誤點(diǎn)，讓學(xué)生再次明確，下棋是一種博弈，在想往對(duì)自己有利的方向發(fā)展時(shí)，對(duì)手也是這么想的，只有“不管對(duì)手如何下，都能保證必勝”的點(diǎn)才是必勝點(diǎn)；第二個(gè)層次，往右、往下的必勝點(diǎn)推導(dǎo)，為反饋右下必勝點(diǎn)做鋪墊；第三個(gè)層次，右下必勝點(diǎn)推導(dǎo)，稍有難度，通過多次復(fù)述推理過程，讓學(xué)生充分感悟推理的嚴(yán)密性?！?/p>

4.帶領(lǐng)倒推。

圖8

圖9

（1）討論：怎么才能搶到這個(gè)點(diǎn)？（圖7）

①依次根據(jù)對(duì)手的各種走法說出自己的應(yīng)對(duì)策略，得出必勝點(diǎn)。

②把這個(gè)點(diǎn)當(dāng)成終點(diǎn)，沿“田”字直接倒推出這三個(gè)點(diǎn)。（圖8）

（2）沿“田”字倒推能搶到這個(gè)點(diǎn)（插小旗的點(diǎn)）的必勝點(diǎn)。（圖9）

【設(shè)計(jì)意圖：在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已明白可以用倒推法尋找必勝點(diǎn)，但如何使用倒推法，仍有一定的難度。這一環(huán)節(jié)是基于學(xué)情的帶領(lǐng)倒推，這里要反饋兩種倒推方式：一是邊嘗試錯(cuò)誤邊倒推→對(duì)前一環(huán)節(jié)的再一次嘗試和鞏固；二是建立模型后的倒推→類比倒推，建立模型，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)化?！?/p>

5.學(xué)生自主找必勝點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)意圖：有了前面的帶領(lǐng)倒推，學(xué)生對(duì)全盤倒推有了一定的感知，這時(shí)候再次讓學(xué)生找必勝點(diǎn)，能夠水到渠成。】

6.師生對(duì)弈兩局。（均學(xué)生贏）

學(xué)生反饋必勝策略：想要搶到這個(gè)點(diǎn)，必須搶到這個(gè)點(diǎn)；想要搶到這個(gè)點(diǎn)，必須搶到這個(gè)點(diǎn)……從終點(diǎn)開始往起點(diǎn)倒推就可以了。所以必勝策略是后走，走必勝點(diǎn)。（圖10）

圖10

【設(shè)計(jì)意圖：贏了教師極大鼓舞了學(xué)生，并使學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感。此環(huán)節(jié)通過規(guī)范語言，經(jīng)歷推理過程，領(lǐng)悟“倒推”原理?！?/p>

7.小結(jié)：為了找到這個(gè)棋盤上的必勝策略，我們先嘗試找出離終點(diǎn)最近的三個(gè)必勝點(diǎn)，再?gòu)慕K點(diǎn)開始，往起點(diǎn)倒推。找完必勝點(diǎn)之后，老師和這位同學(xué)對(duì)弈，其實(shí)就是在驗(yàn)證大家的必勝策略是否正確。

三、出示5×5棋盤，運(yùn)用策略，鞏固方法

游戲規(guī)則相同，找出5×5棋盤的必勝點(diǎn)，并根據(jù)必勝點(diǎn)確定必勝策略。

反饋：必勝點(diǎn)（圖11）；必勝策略：先走，走必勝點(diǎn)。

圖11

【設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)主要鞏固倒推的方法，讓學(xué)生將初步探索到的策略在變化了的情境中加以運(yùn)用，在培養(yǎng)學(xué)生推理能力的同時(shí)鍛煉其語言表述的能力。】

四、出示 8×8－5×5 棋盤，引發(fā)認(rèn)知沖突

圖12　學(xué)生推導(dǎo)必勝點(diǎn)

圖13　師生對(duì)弈

1.同樣的游戲規(guī)則，自行找出 8×8－5×5 棋盤的必勝策略。

2.反饋。（圖12）

3.師生對(duì)弈驗(yàn)證，學(xué)生輸。（圖13，教師執(zhí)白，學(xué)生執(zhí)黑）

討論：已找到必勝點(diǎn)，為什么會(huì)輸？

生：沒考慮老師往上走，必勝策略有誤。

小結(jié)：我們用驗(yàn)證的方法發(fā)現(xiàn)必勝策略是有漏洞的，說明在倒推的過程中還需要考慮對(duì)手下棋的各種可能，讓自己的思維更嚴(yán)謹(jǐn)、更全面。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)習(xí)了前面的知識(shí)，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生思維定勢(shì)，以為只要進(jìn)行“田”字倒推即可，這一環(huán)節(jié)讓學(xué)生產(chǎn)生了強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，從而促進(jìn)學(xué)生反思：1.得出必勝策略后要進(jìn)行驗(yàn)證；2.倒推時(shí)務(wù)必嚴(yán)密。這一環(huán)節(jié)，既讓學(xué)生體驗(yàn)了反思的重要意義，又感受到完整的解決問題的過程?！?/p>

五、回顧所學(xué)，全課小結(jié)

師：在今天這堂課上，你有什么新的收獲？

生：在尋找策略的時(shí)候我們可以先嘗試一下，找找感覺。

生：學(xué)會(huì)了用倒推去解決數(shù)學(xué)和生活問題。

生：思考問題要嚴(yán)密。

生：倒推后的順向驗(yàn)證能幫我們驗(yàn)證倒推結(jié)果是否正確。

【課后回望】

本課例是一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課。學(xué)生在充分的活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn)，教師進(jìn)行適時(shí)的引導(dǎo)，使學(xué)生頓悟出方法的選擇。在討論中掌握方法的使用，并理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

本課設(shè)計(jì)有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

一、材料創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生興趣

本課例采用學(xué)生十分喜愛的下棋游戲，學(xué)生興趣高漲，求知欲強(qiáng)烈。從 8×8，5×5 到 8×8－5×5，棋盤在不斷地演變，學(xué)生也在層次遞進(jìn)的材料引導(dǎo)下不斷地觸碰他們的“最近發(fā)展區(qū)”，從原來沒有一個(gè)學(xué)生能夠解決問題到最后幾乎每位學(xué)生都至少能夠解決8×8的棋盤，不同程度的學(xué)生都有不同層次的收獲。

二、過程展開注重自主嘗試

在課堂上，教師放手讓學(xué)生通過不斷地出錯(cuò)，在嘗試中進(jìn)行自我糾錯(cuò)、反思和辨正。在師生、生生之間對(duì)弈，獲得充分的感知經(jīng)驗(yàn)后，再經(jīng)過教師的引導(dǎo)，自發(fā)地“頓悟”：可以使用倒推策略解決問題。學(xué)生對(duì)倒推法的選擇有了深刻的體驗(yàn)。

三、引導(dǎo)介入尊重契合學(xué)情

盡管在獲得充分感知經(jīng)驗(yàn)后，學(xué)生已經(jīng)頓悟可以用倒推法解決問題，但如何使用倒推法進(jìn)行必勝策略的推導(dǎo)，學(xué)生仍有困難，需要教師的及時(shí)引導(dǎo)。教師抓準(zhǔn)時(shí)機(jī)，在學(xué)生的討論中適時(shí)地進(jìn)行方法點(diǎn)撥，讓學(xué)生再次對(duì)方法的使用有所頓悟。這樣的流程設(shè)計(jì)，既給了學(xué)生充分自主學(xué)習(xí)的空間、又尊重學(xué)情，既開放、又扎實(shí)。

四、教學(xué)推進(jìn)關(guān)注策略與能力

本課例中，每一個(gè)過程設(shè)計(jì)都有明確的設(shè)計(jì)意圖，將課時(shí)整體目標(biāo)細(xì)化為環(huán)節(jié)目標(biāo)。盡管材料不斷演變，目標(biāo)細(xì)化延展，但每一個(gè)材料和過程展開都緊緊圍繞博弈思想、倒推方法，并將最大的“力氣”用在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力上。

授課后，我們也一直在思考棋盤的材料是否有更多可挖掘和探索的地方，也得到了很多教師的建議：如將規(guī)則改成只能往上或往左走，那么必勝策略會(huì)怎樣？這時(shí)候必勝策略的得出，除了可以在棋盤上倒推，還可以將8×8棋盤上的路線拉成一條能走16步的一條線段，此時(shí)棋盤就和搶數(shù)游戲完全相通了，方法和策略也在不同的材料中延伸貫通。