柳劍波　王立峰　金棟平

摘要：基于能量等效研究了周期胞元構(gòu)成的平面桁架結(jié)構(gòu)等效動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題。通過(guò)相鄰胞元應(yīng)變協(xié)調(diào)條件，將胞元的應(yīng)變場(chǎng)階次降階為Timoshenko梁對(duì)應(yīng)的應(yīng)變場(chǎng)階次。根據(jù)周期胞元的中心位移，獲得胞元應(yīng)變能與動(dòng)能，進(jìn)而利用Hamilton原理得到平面桁架結(jié)構(gòu)等效連續(xù)體動(dòng)力學(xué)方程?；诘刃нB續(xù)體模型和有限元模型，對(duì)周期胞元桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了固有特性分析，驗(yàn)證了等效連續(xù)體模型的正確性和精度。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)；平面桁架；周期胞元；連續(xù)體；能量等效

中圖分類號(hào)：V414.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2018）01-0067-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.008

引言

桁架結(jié)構(gòu)由于具有構(gòu)造簡(jiǎn)單、質(zhì)量輕、方便收攏及展開等特點(diǎn)而廣泛地應(yīng)用于航天領(lǐng)域，如作為衛(wèi)星天線的框架、太空望遠(yuǎn)鏡的支撐結(jié)構(gòu)、空間站的骨架等。這些大型空間結(jié)構(gòu)通常由多個(gè)幾何形狀、材料均相同的單元（簡(jiǎn)稱為胞元）周期排列而成。如果能利用這種結(jié)構(gòu)內(nèi)部胞元周期排列特征建立簡(jiǎn)化等效動(dòng)力學(xué)模型，則不僅可以降低動(dòng)力學(xué)分析的計(jì)算量，而且可以為動(dòng)力學(xué)控制提供降階模型。

人們很早就考慮采用均勻化方法，建立具有周期排列胞元桁架的等效連續(xù)體模型。例如，Heki和Saka建立胞元與連續(xù)體相應(yīng)微段力之間的關(guān)系，得到了各向異性結(jié)構(gòu)的拉伸、彎曲、剪切剛度以及它們之間的耦合項(xiàng)，并討論了不同胞元的穩(wěn)定性。該領(lǐng)域的相關(guān)工作建立了不同構(gòu)型桁架胞元的等效剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，比較了它們的有效剛度，即剛度與密度的比值。Noor和Russel建立了含周期排列胞元的長(zhǎng)方體狀桁架等效連續(xù)體模型。由于胞元的不對(duì)稱性，該桁架的軸向變形與剪切變形，彎曲與扭轉(zhuǎn)均存在耦合。Lee采用譜元法建立了一個(gè)含周期排列胞元的大型梁結(jié)構(gòu)的連續(xù)體模型，通過(guò)組裝胞元內(nèi)每個(gè)構(gòu)件的譜元矩陣得到轉(zhuǎn)換矩陣。Burgardt和Cartraud基于能量等效，用平均化方法建立了平面梁型桁架的連續(xù)體模型，并對(duì)其進(jìn)行了靜力學(xué)分析。

近期，salehian和Inman研究了由周期排列胞元組成的直線式平面桁架的等效連續(xù)體模型。該桁架胞元由一個(gè)四邊形單元（單隔間）構(gòu)成，由單隔間組成的胞元對(duì)其橫截面內(nèi)應(yīng)變分量進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開時(shí)無(wú)需考慮二階項(xiàng)的影響。他們基于能量等效得到等效連續(xù)體模型，分析了桁架面內(nèi)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性。此外，他們研究了連續(xù)體等效動(dòng)能計(jì)算時(shí)應(yīng)變項(xiàng)對(duì)等效精度的影響、桁架中阻尼等效以及胞元中含繩索等動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。郭宏偉和劉榮強(qiáng)針對(duì)由單隔間胞元構(gòu)成的橫截面為矩形的索桿鉸接式伸展臂，研究了等效連續(xù)體模型，劉福壽和金棟平在研究大型環(huán)形桁架天線時(shí)，將單隔間胞元等效為一維空間梁，得到了由多個(gè)一維梁拼接而成的簡(jiǎn)化模型。

本文研究對(duì)象是一種由周期排列胞元組成的平面桁架，它在航天領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。與salehian和Inman的研究對(duì)象不同之處是，該桁架的胞元由兩個(gè)四邊形單元（雙隔間）構(gòu)成。為充分考慮橫截面內(nèi)的局部變形，Noor等在對(duì)這種類型胞元橫截面內(nèi)的應(yīng)變分量進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開時(shí)取到二階項(xiàng)，本文則研究了其他高階項(xiàng)的影響。郭宏偉等與劉福壽等在推導(dǎo)等效連續(xù)體模型時(shí)先計(jì)算胞元的動(dòng)能和應(yīng)變能，使之與等效連續(xù)體模型的動(dòng)能和應(yīng)變能分別相等，從而得到連續(xù)體模型的等效質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。本文在得到了胞元的動(dòng)能和應(yīng)變能后，直接運(yùn)用Hamilton原理建立連續(xù)體模型的偏微分動(dòng)力學(xué)方程，解析求解不同邊界條件下桁架固有振動(dòng)頻率，通過(guò)與有限元結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證等效模型的正確性。本文還基于等效連續(xù)體模型，分析彈性模量對(duì)桁架各階固有頻率的影響，得到有助于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能設(shè)計(jì)的結(jié)論。

1平面桁架的等效連續(xù)體模型

研究圖1所示含有周期胞元的平面桁架結(jié)構(gòu)，每個(gè)胞元由4根縱桿、2根斜桿及3根橫桿組成，圖中l(wèi)，b和d分別對(duì)應(yīng)于縱桿、橫桿和斜桿。由于左右兩側(cè)橫桿為相鄰兩個(gè)胞元所共用，因此計(jì)算橫桿的截面特性時(shí)取為原值的一半。在建立桁架等效連續(xù)體梁模型時(shí)，需要推導(dǎo)胞元應(yīng)變能及動(dòng)能關(guān)于胞元中心處位移分量導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。將這些位移分量作為連續(xù)體梁模型的位移分量，利用Hamilton原理得到桁架的偏微分動(dòng)力學(xué)方程。

1.1胞元應(yīng)變能

對(duì)于圖1中平面桁架的典型胞元，按照右手定則建立原點(diǎn)位于胞元中心的直角坐標(biāo)系o-xz。對(duì)于小變形，胞元橫截面任意點(diǎn)x和z軸上位移分量u和w沿x軸線性變化，因而可將橫截面上任意點(diǎn)的位移表示為

2算例分析

根據(jù)式（29）解析求解不同邊界條件下的固有振動(dòng)頻率。為驗(yàn)證梁等效模型的正確性，運(yùn)用Patran建立平面桁架的有限元模型，采用bar單元離散桁架中的桿件。以有限元計(jì)算結(jié)果作為參考值，定義相對(duì)誤差為

（31）式中f_i和f^eq_i分別為桁架有限元模型和梁等效模型的第i階固有頻率。表1和2分別為兩端簡(jiǎn)支邊界條件下9個(gè)胞元組成的平面桁架彎曲固有振動(dòng)和軸向固有振動(dòng)的頻率對(duì)比。結(jié)果表明，采用等效模型解析得到的固有頻率與有限元計(jì)算結(jié)果相互吻合。隨模態(tài)階次提高，梁等效模型的誤差逐漸增大。這是由于低階模態(tài)波長(zhǎng)更大，單個(gè)波長(zhǎng)包含的胞元數(shù)目更多，等效模型的誤差就會(huì)更小。

為進(jìn)一步驗(yàn)證等效連續(xù)體模型的精度，現(xiàn)對(duì)比分析連續(xù)體模型和有限元模型在兩端自由邊界條件下的彎曲固有振動(dòng)頻率和軸向固有振動(dòng)頻率，結(jié)果如表3和4所示，可見(jiàn)等效連續(xù)體模型具有較高精度。

兩端簡(jiǎn)支含不同胞元數(shù)的桁架等效連續(xù)體模型計(jì)算精度如圖3和4所示。由圖4可見(jiàn)，當(dāng)胞元數(shù)增加時(shí)，等效連續(xù)體模型的各階模態(tài)等效精度逐漸增加，這是由于胞元數(shù)增加，單個(gè)波長(zhǎng)包含更多的胞元數(shù)目，桁架的梁特征更加顯著。

得到了等效連續(xù)體模型后，可比較方便地分析不同材料參數(shù)、結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)桁架固有振動(dòng)特性的影響。圖5給出了橫桿、縱桿、斜桿彈性模量對(duì)兩端簡(jiǎn)支桁架各階彎曲振動(dòng)頻率的影響?？v坐標(biāo)增大的百分比定義為

由圖5可見(jiàn)，彎曲振動(dòng)頻率隨著縱桿和斜桿的彈性模量增加而提升，而橫桿彈性模量對(duì)彎曲振動(dòng)頻率基本無(wú)影響。此外，縱桿彈性模量對(duì)低階彎曲頻率影響大，而斜杠彈性模量則對(duì)高階彎曲頻率影響大。這是因?yàn)殍旒軓澢駝?dòng)時(shí)，主要是上下兩根縱桿一根抗拉，另一根抗壓，所以縱桿的拉伸剛度對(duì)桁架的彎曲振動(dòng)頻率影響更大。當(dāng)桿件橫截面積不變時(shí)，縱桿彈性模量對(duì)桁架彎曲振動(dòng)頻率影響更大。

3結(jié)論

基于能量等效原理，獲得了周期胞元結(jié)構(gòu)平面桁架的Timoshenko梁模型，證明了該雙隔間胞元橫截面內(nèi)應(yīng)變分量的Taylor級(jí)數(shù)展開式不僅二階項(xiàng)為零，其余高階項(xiàng)均為零。解析給出了不同邊界條件下的桁架固有振動(dòng)頻率，通過(guò)與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了桁架等效連續(xù)體模型的正確性和計(jì)算精度。結(jié)果表明，胞元越多，等效連續(xù)體模型計(jì)算精度越高；桁架低階固有振動(dòng)頻率受縱桿彈性模量影響大、高階固有振動(dòng)頻率受斜桿彈性模量影響大、橫桿彈性模量對(duì)固有振動(dòng)頻率基本無(wú)影響。當(dāng)對(duì)桁架動(dòng)力學(xué)性能設(shè)計(jì)時(shí)，若需增大桁架的低階固有振動(dòng)頻率可調(diào)節(jié)縱桿的材料參數(shù)，選擇彈性模量更大的材料，而若需增大桁架的高階固有振動(dòng)頻率則可相應(yīng)調(diào)節(jié)斜桿的材料參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)快速結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。