婁軍強　周優(yōu)鵬　廖江江　李國平　魏燕定

摘要：研究了壓電柔性臂的系統(tǒng)模型辨識和振動主動抑制問題?；谧曰貧w滑動平均模型（ARMAX，Auto-Re-gressive Moving Average Exogenous）確立了系統(tǒng)辨識模型，且其辨識精度高達97.9%，并采用平衡降階法對高階的辨識模型進行降階，得到低階模型，通過多頻激勵實驗證實了降階模型與實際結構具有較高的吻合度。針對柔性臂的振動控制，提出了一種基于線性二次型（Linear Quadratic，LQ）最優(yōu)極點移動控制法，從求逆的角度，通過移動系統(tǒng)極點來確定LQ的最優(yōu)狀態(tài)加權矩陣Q，該方法簡單有效地解決了狀態(tài)加權矩陣Q和輸入加權矩陣R的選擇問題，具有明顯的物理工程意義。試驗結果證實了ARMAX模型對于壓電柔性臂系統(tǒng)模型辨識的適用性及平衡降階方法對模型降階的可行性，并驗證了線性二次型最優(yōu)極點移動策略對柔性臂振動控制的有效性。

關鍵詞：振動控制；系統(tǒng)辨識；壓電柔性臂；最優(yōu)極點移動控制；平衡降階；

中圖分類號：TB535；TP24 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0132-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.016

引言

隨著空間技術的發(fā)展和制造業(yè)對輕質(zhì)高速機構的要求不斷提高，具有質(zhì)量輕、能耗低及移動靈活方便等優(yōu)點的柔性機械臂被應用到諸多領域。但是在外界干擾下，柔性臂極易引起持續(xù)的彈性振動，這嚴重影響了系統(tǒng)的定位精度和穩(wěn)定性。近年來，以壓電材料為代表的智能材料具有易與柔性結構集成為一體的優(yōu)勢，常用于柔性臂的振動主動控制研究中。系統(tǒng)動力學建模和控制算法設計是壓電柔性結構振動主動控制技術中的兩個基本問題，引起了國內(nèi)外研究學者的廣泛關注。

建立精確的系統(tǒng)動力學模型是設計高效控制算法的前提。基于實驗數(shù)據(jù)的系統(tǒng)辨識法可以避免復雜的數(shù)學計算和理想化的假設，并很好地詮釋系統(tǒng)動力學特性，是一種精度更高、效果更好的建模方法。自回歸滑動平均模型由于考慮了噪聲和隨機干擾信號的影響，更符合實際工作環(huán)境，因而被許多研究者采用。Moore等對ARMAx模型作了理論上的闡述，并通過數(shù)值試驗驗證了其有效性。Bu等通過ARMAx模型與ARx模型在柔性臂模型辨識中的對比實驗，證實了ARMAx模型的有效性。一般而言，ARMAx模型的辨識精度與其辨識階數(shù)成正比，Afshari等通過試驗激起了柔性臂的前三階振動模態(tài)，采用ARMAx模型辨識，但是模型階數(shù)卻高達20階。顯然模型階數(shù)的提高必然會增加系統(tǒng)模型的復雜度，甚至引入不穩(wěn)定極點。而在實際柔性結構模型的實驗辨識中，往往由于噪聲干擾及高頻模態(tài)的存在使得系統(tǒng)模型階數(shù)較高，系統(tǒng)復雜化。故在辨識模型與柔性結構主模態(tài)一致的情況下，如何找到一個低階系統(tǒng)使之與辨識系統(tǒng)具有幾乎一致的頻率響應特性，從而在保證模型精度的基礎上實現(xiàn)系統(tǒng)降階仍有許多問題需要深入研究。

為了實現(xiàn)柔性結構振動的有效控制，國內(nèi)外學者提出了許多種控制方法，如PID控制、獨立模態(tài)控制和速度反饋控制等經(jīng)典控制方法；神經(jīng)網(wǎng)絡控制、模糊控制及最優(yōu)控制等現(xiàn)代控制方法。在眾多的控制方法中，線性二次調(diào)節(jié)器（Linear Quadrat-ic Regulator，LQR）具有形式簡單、易于工程實現(xiàn)的優(yōu)點，且擁有優(yōu)于經(jīng)典控制、不輸于神經(jīng)網(wǎng)絡等智能控制方法的控制效果。LQR通過配置權重系數(shù)兼顧了柔性結構系統(tǒng)結構響應與致動器控制輸出兩方面的需求，是當前權重考慮下的最優(yōu)控制。顯然權重系數(shù)的選擇對于LQR控制效果的影響很大，但是目前關于權重系數(shù)的選取上并沒有具體的操作準則，具有很大的隨意性。如果能夠結合柔性結構的特征參數(shù)，提出一種物理意義明確、簡單有效的權重系數(shù)配置準則，勢必可以取得更好的控制效果。

本文針對柔性臂的振動主動控制問題，首先介紹了壓電柔性臂實驗系統(tǒng)原理。然后基于外源自回歸滑動平均模型（ARMAX），通過數(shù)據(jù)采集板卡采集到柔性臂在掃頻激勵下的振動響應信號，辨識得到系統(tǒng)的模型參數(shù)。對辨識模型采用平衡截斷的降階方法進行了降階處理，建立了系統(tǒng)的降階模型，并驗證了降階方法的正確性。最后采用LQ最優(yōu)控制法，從求逆的角度，提出一種極點移動法來確定最優(yōu)狀態(tài)變量加權矩陣，最終求得最優(yōu)反饋增益矩陣K，通過仿真和試驗驗證了控制策略的有效性。

1系統(tǒng)描述

本文所涉及的壓電柔性臂系統(tǒng)如圖1所示。柔性臂為懸臂形式。在柔性臂的根部兩側面對稱地貼有一組全橋連接的應變片傳感器；兩片壓電致動器以并聯(lián)的形式對稱粘貼于柔性機械臂的兩側面用于激勵或抑制柔性臂的彈性振動；安裝在應變片和壓電致動器之間的激振器主要是為系統(tǒng)提供一組隨機激勵信號。

振動測試過程中，由應變傳感器檢測柔性機械臂的振動信號，并通過全橋電路將應變信號轉變?yōu)殡娦盘?，并?jīng)低通濾波器處理后，由動態(tài)應變儀（型號：AFT-095，放大增益5000）調(diào)理為可測電壓信號，最后通過多功能多通道數(shù)據(jù)采集板卡（型號：NIPCI-6221（37pin））的A/D模塊傳送至計算機上。壓電致動器的控制電壓信號通過多功能多通道數(shù)據(jù)采集板卡的D/A模塊輸出，經(jīng)壓電驅(qū)動電源（型號：HPV-IC0150A0300D，放大增益15）放大后，施加于壓電致動器上。激振器電壓控制信號也是由多功能多通道數(shù)據(jù)采集板卡的D/A模塊輸出，經(jīng)功率放大器放大作用于激振器。整個測試過程都是基于NI—LABVIEW數(shù)據(jù)采集平臺，其實物裝置系統(tǒng)如圖2所示。

2系統(tǒng)模型辨識

系統(tǒng)模型辨識主要分為三個階段：實驗數(shù)據(jù)采集、系統(tǒng)模型選擇和模型參數(shù)辨識。其中系統(tǒng)模型選擇是系統(tǒng)模型辨識中的關鍵一步，直接關系到系統(tǒng)模型的準確性?？紤]到現(xiàn)實實驗環(huán)境中噪聲及外界隨機干擾的存在，引用一種時序模型：外源自回歸滑動平均模型（ARMAX），從統(tǒng)計角度來揭示各時序內(nèi)部的統(tǒng)計關系和各時序之間的統(tǒng)計關系。其數(shù)學模型如下

柔性臂和壓電致動器的基本參數(shù)如表1所示?？紤]到主階模態(tài)的主導作用，本文僅截取柔性臂的一階模態(tài)進行辨識研究。在本實驗中，采用一幅值為3V，頻率范圍為0～5Hz的正弦掃頻信號，掃頻時間為10s，其采樣頻率為200Hz。借助MAT-LAB系統(tǒng)辨識工具箱對輸入輸出實驗數(shù)據(jù)進行ARMAX辨識，辨識結果如圖3所示。

從實驗結果可以看出：ARMAX模型與系統(tǒng)實驗數(shù)據(jù)高度吻合，時域和頻域曲線均反映了辨識模型的準確性，其匹配度高達97.92%，充分體現(xiàn)了ARMAX模型對于柔性臂系統(tǒng)的適用性。從系統(tǒng)的實測開環(huán)頻率響應函數(shù)曲線圖3（b）可以清晰地看出柔性臂的一階固有頻率為1.44Hz（9.1rad/s），在掃頻范圍內(nèi)一階固有頻率占主導地位。通過模型參數(shù)辨識得到關于壓電柔性臂系統(tǒng)的8階AR-MAX函數(shù)模型，各項參數(shù)如表2所示。

3系統(tǒng)模型降階

通過實驗辨識，目前得到的模型雖然精度較高，但是階次偏高，不便于控制器的設計；對于一個能控、能觀、漸近穩(wěn)定的定常系統(tǒng)，可以通過奇異值的大小來反映系統(tǒng)狀態(tài)的綜合可控可觀性能：大的奇異值對應狀態(tài)的可控可觀性都很強，對系統(tǒng)的輸入輸出影響大；小的奇異值對應狀態(tài)的可控可觀性都弱，對系統(tǒng)的輸入輸出特性影響小，以此截去小的奇異值所對應的狀態(tài)變量達到系統(tǒng)降階的目的。本文采用平衡截斷降階法進行系統(tǒng)模型降階。

以加載到壓電致動器上的電壓u（t）為輸入變量，以傳感器檢測到的應變電壓y（t）為輸出變量，從能觀的角度來定義系統(tǒng)狀態(tài)方程，構造狀態(tài)變量如下：

結合式（2）所對應的差分方程則可得能觀下的狀態(tài)方程：

其具體參數(shù)如表3所示。

為確認降階模型與辨識模型以及實際系統(tǒng)之間的吻合程度，圖4（a）給出了辨識模型與降階模型的時域輸出信號，同時也給出了各模型所對應的開環(huán)頻率響應函數(shù)曲線如圖4（b），并與實測的實驗數(shù)據(jù)進行對比。從時域輸出曲線及頻響函數(shù)曲線對比結果可看出：系統(tǒng)降階模型與系統(tǒng)實際響應具有較高的吻合程度，高達85.87%，其對應的Bode圖如圖5所示，降階前后兩個模型在其模態(tài)頻率處是一致的，突出了平衡截斷降階方法抓住了系統(tǒng)的主階模態(tài)頻率，體現(xiàn)平衡降階方法對辨識系統(tǒng)模型降階的有效性。

為了進一步檢驗系統(tǒng)降階模型與實際結構的吻合程度，圖6給出了辨識模型與實際結構在一幅值為2V包含1，1.5及3Hz的正弦多頻激勵信號式（10）下的輸出比對結果。圖6（b）為多頻驗證信號激勵下的辨識模型、降階模型與實際結構輸出結果對比。

表4給出了在掃頻和驗證兩種實驗情況下模型吻合度值。圖4～6以及表4結果均表明：平衡降階方法所得低階模型與實際結構輸出具有很高的吻合度，圖6更一般性地說明了在多頻信號激勵下，降階模型在保持系統(tǒng)一階共振頻率不變的情況下，其匹配度較掃頻實驗有了較高的提升，說明了主階模態(tài)在振動中的主導作用，也體現(xiàn)了平衡降階法對系統(tǒng)降階的有效性及可行性。

4控制算法設計

針對柔性臂的低阻尼特性，其振動衰減將會持續(xù)很長時間，為加快衰減時間，在振動主動控制過程中，通常引入閉環(huán)控制環(huán)節(jié)來增大系統(tǒng)的阻尼，達到快速抑制振動的目的。為達到最優(yōu)控制效果，往往在給定的初始條件下尋找一種控制規(guī)律，使得系統(tǒng)在規(guī)定的性能指標下具有最優(yōu)值。線性二次型最優(yōu)控制就是一種從狀態(tài)量偏移平衡位置的大小及對控制信號消耗的能量兩方面來權衡的最優(yōu)控制算法。

對于完全可控降階系統(tǒng)（8），線性二次型性能指標定義為式中

Q=Q^T≥0為狀態(tài)變量加權矩陣，R=R^T>0為輸入變量的加權矩陣。

為使二次型性能指標最小，選擇最優(yōu)控制輸入規(guī)律為

4.1加權矩陣Q，R的選取

在線性二次型最優(yōu)控制算法中，加權矩陣Q，R選取的合理性直接影響控制效果的好壞。在二次型性能指標（11）中，第一項x^TQx主要反映系統(tǒng)響應過程中偏離平衡位置的權重，第二項u^TRu反映控制過程中消耗的能量；為實現(xiàn)最優(yōu)控制，確定二次型性能指標達到極小值，對加權矩陣Q，R的選擇，實際也代表了對系統(tǒng)控制效果和能量消耗兩者折中選擇。而通常對控制輸入u的加權矩陣R取為單位矩陣I，最終只需調(diào)整狀態(tài)變量的加權矩陣Q。

4.2加權矩陣Q的確定

從求逆的角度，通過移動系統(tǒng)的主導極點的實部至期望位置，虛部保持不變的方法來確定加權矩陣Q。設系統(tǒng)（8）的一對共軛極點為：μ₀=η±jβ，期望極點為：σ₀=τ±jβ。對于任意的極點μ₀和σ₀。滿足最優(yōu)條件：|τ|>|η|時，可得

由于柔性臂系統(tǒng)（9）極點非?？拷撦S，也就是說，其開環(huán)阻尼效應非常弱，導致柔性臂系統(tǒng)的彈性振動要持續(xù)很長時間。為此，將極點的實部左移虛部保持不變，遠離虛軸，以增大系統(tǒng)閉環(huán)阻尼，并通過二次型性能指標來衡量極點移動的距離。

通過以上二次型最優(yōu)極點移動法得到的反饋控制系數(shù)，圖7給出了在多頻信號（0.5和1.5Hz幅值為2V的正弦電壓）激勵停止后，利用壓電致動器對柔性臂的振動抑制的仿真過程。從應變片傳感器檢測到的輸出電壓可以看出：在多頻信號5s激勵停止后，施加主動控制，4s后柔性臂的振幅下降到±0.1V，此時默認為振動停止，與未加控制相比，大大縮短了柔性臂殘余振動的衰減時間。

在相同的多頻信號（0.5和1.5Hz幅值為2V的正弦電壓）激勵下，圖8給出了控制前后柔性臂的振動響應實驗曲線。從圖8可以看出：在多頻信號激勵5s后，施加主動控制，在控制后的5s柔性臂的振幅降低到0.1V，而不施加控制時，20s后還有近0.2V的振幅，其所對應的頻域曲線也可以看出，在其共振頻率處，柔性臂振動得到了很好地抑制，大大降低了柔性臂殘余振動的衰減時間。但是與仿真結果相比，由于噪聲的干擾，其抑制衰減時間稍微長于仿真結果。

為了進一步二次型最優(yōu)極點移動控制方法的有效性，利用電磁激振器的激勵作為外擾激起柔性臂的彈性振動，其控制實驗效果如圖9所示。從圖中可以看出：外界隨機激勵激起柔性臂的多頻振動，在壓電致動器的主動控制下，5s后柔性臂的振幅抑制在±0.1V，殘余振動基本得到控制，振動衰減時間顯著縮短，而不施加控制時，24s后其殘余振動才能基本停止；從圖9（b）可以看出，在外界隨機激勵下，柔性臂的前兩階共振頻率都得到了很好的抑制效果，反映該控制算法對主階模態(tài)的抑制作用，故提出的二次型最優(yōu)極點移動控制策略是有效的，提高了柔性臂末端的定位精度。

6結論

（1）從系統(tǒng)模型辨識的角度研究了壓電柔性臂系統(tǒng)模型的建立問題。采用ARMAx時間序列模型作為柔性機械臂系統(tǒng)參數(shù)模型，通過掃頻實驗得到了系統(tǒng)的辨識模型且其與實際系統(tǒng)輸出具有較高的吻合度；在保持與原系統(tǒng)具有相同的動力響應特性下，采用平衡降階法對高階辨識模型進行降階處理，得到了系統(tǒng)降階模型，并通過多頻實驗驗證了降階模型與實際系統(tǒng)具有較高吻合度，充分體現(xiàn)了平衡降階法的有效性。

（2）提出了一種線性二次型最優(yōu)極點移動控制法，該方法從求逆的角度出發(fā)，通過移動系統(tǒng)極點來確定狀態(tài)變量加權矩陣Q，并通過多頻激勵和外界干擾激勵實驗驗證了該控制算法的有效性。

（3）本文主要基于線性離散系統(tǒng)，介紹了單輸入單輸出ARMAx模型辨識及平衡降階方法，在振動主動控制上采用二次型最優(yōu)極點移動法，均得到了較好的結果；針對多輸入多輸出系統(tǒng)，本文所介紹的方法也可以做進一步的研究。