李奕璠　劉偉渭　林建輝

摘要：結(jié)構(gòu)元素是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)濾波器的重要組成部分，直接影響濾波的精度。針對(duì)目前廣泛使用的直線和三角結(jié)構(gòu)元素的缺陷，提出一種基于漢明窗的結(jié)構(gòu)元素，對(duì)形態(tài)濾波方法進(jìn)行提升，用于高速列車萬(wàn)向軸不平衡故障檢測(cè)。首先從結(jié)構(gòu)元素的基本構(gòu)成形式以及頻率響應(yīng)的角度，在理論上對(duì)直線和三角結(jié)構(gòu)元素存在的不足進(jìn)行了分析。再通過對(duì)多種常用的窗函數(shù)進(jìn)行比較，論證漢明窗的優(yōu)勢(shì)所在，據(jù)此構(gòu)建漢明結(jié)構(gòu)元素，并將其應(yīng)用于形態(tài)濾波中。在萬(wàn)向軸不平衡試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行了試驗(yàn)，結(jié)果表明：基于漢明結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)濾波方法能有效地識(shí)別出萬(wàn)向軸不平衡引起的基頻和倍頻故障特征，與傳統(tǒng)的三角結(jié)構(gòu)元素相比，此方法更能彰顯故障特征。

關(guān)鍵詞：故障診斷；高速列車；萬(wàn)向軸；形態(tài)濾波；結(jié)構(gòu)元素

中圖分類號(hào)：TH165⁺.3；U463.216 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2018）01-0176-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.021

引言

萬(wàn)向軸是CRH5型列車傳動(dòng)系統(tǒng)的重要組成部件，其兩端通過十字萬(wàn)向節(jié)分別與牽引電機(jī)和齒輪箱相連。由于萬(wàn)向軸為細(xì)長(zhǎng)桿狀結(jié)構(gòu)，其彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度都較小。而傳動(dòng)時(shí)，萬(wàn)向軸既要傳遞牽引力矩，又要適應(yīng)各種運(yùn)動(dòng)關(guān)系，在此過程中引起的附加力矩容易導(dǎo)致扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。此外，列車長(zhǎng)期運(yùn)行也會(huì)使得萬(wàn)向節(jié)軸的磨損間隙增大，導(dǎo)致萬(wàn)向軸偏心。上述因素均可能使萬(wàn)向軸產(chǎn)生不平衡，從而加劇傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)，加速傳動(dòng)系統(tǒng)萬(wàn)向節(jié)和軸承的破壞，危及行車安全。因此，對(duì)萬(wàn)向軸工作狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)測(cè)與診斷很有必要。

目前，診對(duì)萬(wàn)向軸故障診斷的研究不多。文使用第二代小波變化結(jié)合奇異值分解的方法對(duì)此間題進(jìn)行了研究，但二代小波存在頻率重疊現(xiàn)象，可能無法有效反映故障特征。文使用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，根據(jù)特征模態(tài)分量的能量大小，識(shí)別是否存在萬(wàn)向軸不平衡；文同樣使用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，依據(jù)固有模態(tài)函數(shù)的平均瞬時(shí)頻率和頻譜最大值為特征，判別萬(wàn)向軸故障。然而，文的研究均未考慮經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解中固有的模態(tài)混疊問題，而該問題對(duì)萬(wàn)向軸故障的判別具有不可忽略的影響。本文使用基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)濾波的方法對(duì)萬(wàn)向軸不平衡問題進(jìn)行研究。

形態(tài)濾波是基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)變換的非線性濾波方法，它依據(jù)待處理信號(hào)的局部形態(tài)特征，通過一系列形態(tài)學(xué)變換，將信號(hào)與噪聲分離。其基本思想是使用一個(gè)結(jié)構(gòu)元素，并通過它的連續(xù)移動(dòng)，對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行處理，以達(dá)到提取信號(hào)特征、抑制噪聲的目的。由此可見，結(jié)構(gòu)元素對(duì)分析結(jié)果有較大影響。在現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)元素中，直線結(jié)構(gòu)元素的構(gòu)成最為簡(jiǎn)單且計(jì)算量最小，因此，得到了最為廣泛的應(yīng)用。而三角結(jié)構(gòu)元素的形貌與機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的波形更為相近，其分析精度相對(duì)于直線結(jié)構(gòu)元素更高，同樣得到了一定的使用。

形態(tài)濾波中結(jié)構(gòu)元素的作用類似于傳統(tǒng)濾波器的濾波窗，直線結(jié)構(gòu)元素的本質(zhì)是矩形窗，三角結(jié)構(gòu)元素的本質(zhì)為三角窗。Mcfadden指出這兩種窗函數(shù)均具有較大的旁瓣，可能會(huì)引起較大的分析誤差。因此，有必要構(gòu)建一種新的結(jié)構(gòu)元素，以提高形態(tài)濾波方法的分析精度。為此，本文提出基于漢明結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)濾波方法，以期實(shí)現(xiàn)萬(wàn)向軸故障的有效診斷。

1已有的結(jié)構(gòu)元素及其不足

結(jié)構(gòu)元素兩大要素分別為長(zhǎng)度和幅值。對(duì)于直線結(jié)構(gòu)元素，其幅值始終為零，僅存在長(zhǎng)度方向上的變化。最簡(jiǎn)單的直線結(jié)構(gòu)元素可表示為{0，0，0}。直線結(jié)構(gòu)元素的長(zhǎng)度和幅度值的相互關(guān)系列于表1。由表1可知，直線結(jié)構(gòu)元素在長(zhǎng)度上的增量是連續(xù)的。

三角結(jié)構(gòu)元素長(zhǎng)度和幅值如表2所示。與直線結(jié)構(gòu)元素不同的是，三角結(jié)構(gòu)元素的長(zhǎng)度和幅值都會(huì)隨著尺度的變化而改變。最簡(jiǎn)單的三角結(jié)構(gòu)元素可表示為{0，1，0）。這里的0和1均表示結(jié)構(gòu)元素的幅值。但是，在實(shí)際的使用中，三角結(jié)構(gòu)元素的幅值會(huì)依據(jù)待分析信號(hào)的波形進(jìn)行調(diào)整，表2中的參數(shù)a_i（i=1，2，…，n）的作用即在于此，a_i的具體確定方法可參見文。

文的研究表明三角窗的頻域響應(yīng)函數(shù)優(yōu)于矩形窗。Zhang等在對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行故障診斷中也發(fā)現(xiàn)使用三角結(jié)構(gòu)元素的分析效果相比于使用直線結(jié)構(gòu)元素更好。因此，在本文的后續(xù)研究中，不再關(guān)注直線結(jié)構(gòu)元素。

但是，三角結(jié)構(gòu)元素依然存在明顯的問題。從表2可以看到，三角結(jié)構(gòu)元素的長(zhǎng)度值始終為一個(gè)奇數(shù)，這意味著該結(jié)構(gòu)元素在長(zhǎng)度方向上的變化不連續(xù)，這會(huì)導(dǎo)致三角結(jié)構(gòu)元素?zé)o法精確地對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行匹配。借助圖1的信號(hào)，對(duì)此問題進(jìn)行具體說明。

圖1中，信號(hào)的采樣頻率為1000Hz。振動(dòng)信號(hào)的第二個(gè)沖擊，從0.039到0.049s，總共包含了11個(gè)采樣點(diǎn)。因此，根據(jù)表2，可以使用尺度為5的三角結(jié)構(gòu)元素對(duì)其進(jìn)行處理。然而，對(duì)于第一個(gè)沖擊，從0到0.039s，包含40個(gè)采樣點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)沖擊，究竟應(yīng)該選擇尺度為19的三角結(jié)構(gòu)元素還是選擇尺度為20的三角結(jié)構(gòu)元素對(duì)其進(jìn)行處理呢？無論選擇哪一個(gè)，都無法精確匹配原信號(hào)。因?yàn)槌叨?9對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度為39個(gè)采樣點(diǎn)，而尺度20對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度為41個(gè)采樣點(diǎn)。

所以往往自然的就會(huì)想到，能否構(gòu)造偶數(shù)個(gè)點(diǎn)的三角元素？構(gòu)造偶數(shù)個(gè)點(diǎn)的三角結(jié)構(gòu)元素在Matlab里是很容易實(shí)現(xiàn)的，但是偶數(shù)個(gè)點(diǎn)的三角結(jié)構(gòu)元素會(huì)使得結(jié)構(gòu)元素的頂部變成扁平狀，如圖2所示，同樣無法精確匹配機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的沖擊特征。因此，在下一部分，研究一種新的結(jié)構(gòu)元素。

2漢明結(jié)構(gòu)元素

許多窗函數(shù)都可以被用來構(gòu)建結(jié)構(gòu)元素。除了矩形窗和三角窗，常見的窗函數(shù)還包括漢寧窗、布萊克曼窗、Tukey窗和漢明窗等。為了從中找出最優(yōu)的窗，從理論上對(duì)它們進(jìn)行分析比較。圖3（a）為這些窗函數(shù)的時(shí)域波形，信號(hào)的采樣頻率為1000Hz，所有窗函數(shù)的寬度為2000個(gè)采樣點(diǎn)，窗函數(shù)的數(shù)學(xué)模型可參見文。將圖3（a）所示的窗函數(shù)進(jìn)行快速傅里葉變換，圖3（b）為對(duì)應(yīng)的頻譜。

評(píng)價(jià)一個(gè)濾波窗的性能好壞主要有以下兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：第一，其主瓣寬度應(yīng)盡可能窄。主瓣寬度定義為從零到頻率響應(yīng)曲線與頻率軸的第一個(gè)交點(diǎn)之間的距離。從圖3（b）可見，Tukey窗和布萊克曼窗的主瓣寬度較大，因此，Tukey窗和布萊克曼窗被排除。而三角窗、漢寧窗和漢明窗具有相同的主瓣寬度。第二，旁瓣高度應(yīng)盡可能矮。在剩下的三個(gè)窗函數(shù)中，漢明窗的旁瓣高度最小。因此，漢明窗具有最好的頻率響應(yīng)特性，本文選用漢明窗。

漢明窗可用下式表示

（1）式中L代表窗的長(zhǎng)度。根據(jù)式（1）構(gòu)建漢明結(jié)構(gòu)元素。不同尺度下漢明結(jié)構(gòu)元素的值如表3所示?？梢姡噍^于三角結(jié)構(gòu)元素（表2），漢明結(jié)構(gòu)元素的取值是連續(xù)的。表3中，ω₁（0）≠ω₂（0）≠ω₃（0）≠…≠ω_n（0），ω₁（1）≠ω₂（1）≠ω₃（1）≠…≠ω_n（1），以此類推。這是因?yàn)閷?duì)于不同的尺度，窗的長(zhǎng)度L發(fā)生了改變。

漢明結(jié)構(gòu)元素中另一個(gè)重要的參數(shù)就是幅值系數(shù)b_i（i=1，2，…，n），其具體的確定方法如下：

（1）尋找原始信號(hào)中所有的極小值點(diǎn)；

（2）計(jì)算任意兩個(gè)相鄰極小值點(diǎn)之間的時(shí)間間隔；

（3）分別將原始信號(hào)中具有同樣時(shí)間間隔的沖擊提取出來，歸為一類，每一類沖擊信號(hào)具有相同的分析尺度；

（4）對(duì)于相同尺度的沖擊信號(hào)，依據(jù)3σ原則計(jì)算其幅值的統(tǒng)計(jì)特征，其中，σ是同一尺度信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差。漢明結(jié)構(gòu)元素在不同尺度下的幅值b_i=3σ_i（i=1，2，…，n）。因?yàn)閷?duì)于機(jī)械振動(dòng)信號(hào)來說，幅值大于3σ的部分可以認(rèn)為其是噪聲。

3基于漢明結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)濾波方法

漢明結(jié)構(gòu)元素的構(gòu)建完成后，將其應(yīng)用于形態(tài)學(xué)運(yùn)算之中。膨脹和腐蝕是形態(tài)學(xué)分析中兩種最基本的運(yùn)算。設(shè)原始信號(hào)為f（n）（n=1，2，…，N），漢明結(jié)構(gòu)元素為g（m）（m=1，2，…，M），且N≥M。f（n）關(guān)于g（m）的膨脹和腐蝕分別定義為：

開運(yùn)算能抑制信號(hào)中的正沖擊，保留負(fù)沖擊。而閉運(yùn)算能保留正沖擊，抑制負(fù)沖擊。為了同時(shí)得到兩個(gè)方向的沖擊特征，通過將開、閉運(yùn)算進(jìn)行組合，得到差值（DIF）形態(tài)濾波器

式（2）～（6）給出的是單一尺度下形態(tài)濾波器的處理過程。事實(shí)上，只需要按照第二部分的方法確定不同尺度下的結(jié)構(gòu)元素g（m），就能根據(jù)式（2）～（6）得到不同尺度下每一個(gè)尺度的濾波結(jié)果。而多尺度形態(tài)濾波器的最終輸出為所有尺度濾波結(jié)果的算術(shù)平均

（7）式中k為多尺度形態(tài)濾波器的分析尺度。

4試驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證本文方法的效果，在萬(wàn)向軸不平衡試驗(yàn)臺(tái)（圖4）進(jìn)行了試驗(yàn)。試驗(yàn)中，萬(wàn)向軸一端與齒輪箱相連，齒輪箱由電機(jī)驅(qū)動(dòng)。將萬(wàn)向軸另一端支撐座墊高，確保萬(wàn)向軸在垂向存在傾角，以模擬列車實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)。振動(dòng)傳感器安裝在齒輪箱上最靠近萬(wàn)向軸的非旋轉(zhuǎn)部位，采樣頻率20kHz。選用同一型號(hào)的兩根萬(wàn)向軸進(jìn)行試驗(yàn)，一根是新軸，一根是存在輕微不平衡的軸，在此將其稱之為故障軸。為了將齒輪箱中齒輪嚙合頻率去除，對(duì)采集到的信號(hào)進(jìn)行了1kHz低通濾波。

使用本文方法對(duì)萬(wàn)向軸進(jìn)行故障檢測(cè)的步驟如下：

（1）考察萬(wàn)向軸振動(dòng)信號(hào)極值點(diǎn)的分布情況，確定每一個(gè)沖擊對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)數(shù)，假設(shè)第一個(gè)沖擊的長(zhǎng)度為6個(gè)采樣點(diǎn)，第二個(gè)沖擊的長(zhǎng)度為4個(gè)采樣點(diǎn)，等等。有n個(gè)沖擊，就得到n個(gè)結(jié)果；

（2）對(duì)（1）得到的n個(gè)結(jié)果進(jìn)行歸類，即將所有長(zhǎng)度為6個(gè)采樣點(diǎn)的沖擊歸為一類，將所有長(zhǎng)度為4個(gè)采樣點(diǎn)的沖擊歸為一類，以此類推，并據(jù)此得到m類沖擊；

（3）按照第二部分的方法對(duì)m類沖擊分別構(gòu)建漢明結(jié)構(gòu)元素；

（4）按式（6），使用構(gòu)建的漢明結(jié)構(gòu)元素，對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行多尺度形態(tài)濾波，得到m個(gè)濾波結(jié)果；

（5）對(duì)m個(gè)濾波結(jié)果進(jìn)行算術(shù)平均（式（7）），得到多尺度形態(tài)濾波器的輸出。

（6）對(duì)（5）的時(shí)域波形進(jìn)行頻譜分析。

4.1正常軸的分析結(jié)果

萬(wàn)向軸的轉(zhuǎn)速為880r/min，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)頻約為15Hz。圖5為正常萬(wàn)向軸振動(dòng)的時(shí)間歷程曲線和頻譜。從圖5（b）的頻譜中，無法找到萬(wàn)向軸轉(zhuǎn)頻。

使用本文方法對(duì)正常軸振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行處理。通過計(jì)算圖5（a）信號(hào)極值點(diǎn)的分布發(fā)現(xiàn)，原始信號(hào)相鄰極小值間隔分布在2個(gè)采樣點(diǎn)到8個(gè)采樣點(diǎn)之間。2個(gè)采樣點(diǎn)的時(shí)間間隔意味著該沖擊共包含3個(gè)采樣點(diǎn)（根據(jù)表3，使用尺度為1的漢明結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行分析），3個(gè)采樣點(diǎn)的時(shí)間間隔意味著此沖擊共包含4個(gè)采樣點(diǎn)（根據(jù)表3，使用尺度為2的漢明結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行分析），以此類推。因此，多尺度形態(tài)濾波器的最終濾波輸出是由尺度為1-7的7個(gè)濾波器的濾波結(jié)果取平均得到，如圖6（a）所示，圖6（b）是圖6（a）信號(hào)的頻譜。從圖6（b）中可以清楚地識(shí)別萬(wàn)向軸轉(zhuǎn)頻及其二倍頻、四倍頻、五倍頻和七倍頻。

使用基于三角結(jié)構(gòu)元素的多尺度濾波方法對(duì)圖5（a）所示的信號(hào)進(jìn)行分析。為了進(jìn)行公平的比較，與圖6的分析使用同樣的形態(tài)學(xué)運(yùn)算。由于原始信號(hào)相鄰極小值間隔分布在2至8個(gè)采樣點(diǎn)之間，根據(jù)表2，使用尺度1-4的多尺度濾波器進(jìn)行處理，相應(yīng)的濾波結(jié)果及頻譜如圖7所示。從圖7（b）中可以勉強(qiáng)識(shí)別出萬(wàn)向軸的轉(zhuǎn)頻及二倍頻和四倍頻，但頻譜中最為突出的頻率成分與轉(zhuǎn)頻及其倍頻毫無關(guān)系。對(duì)比圖6（b）與圖7（b）可以看到漢明結(jié)構(gòu)元素在抑制噪聲、提取信號(hào)特征方面的優(yōu)勢(shì)。由于多尺度形態(tài)濾波器中，較小的尺度主要用于提取沖擊特征，較大的尺度主要用于抑制噪聲。對(duì)于一個(gè)振動(dòng)信號(hào)來說，其極小值點(diǎn)是固定的，而濾波器的尺度的確定完全取決于信號(hào)極小值點(diǎn)的分步。三角結(jié)構(gòu)元素的構(gòu)成（表2）決定了其分析尺度少于漢明結(jié)構(gòu)元素（表3），使得抑制噪聲的能力受到了一定程度的消弱，這是其分析效果不如漢明結(jié)構(gòu)元素的重要原因。

4.2故障軸的分析結(jié)果

在同樣的試驗(yàn)條件下，對(duì)存在輕微不平衡故障的萬(wàn)向軸進(jìn)行了測(cè)試，得到的時(shí)域波形及頻譜如圖8所示。從圖8（b）的頻譜中很難識(shí)別出萬(wàn)向軸的轉(zhuǎn)頻和倍頻。對(duì)比圖8與5，無論在時(shí)域還是頻域，正常軸與故障軸的差異均不顯著。

使用基于漢明結(jié)構(gòu)元素的多尺度形態(tài)濾波方法，對(duì)圖8（a）的信號(hào)進(jìn)行分析。計(jì)算圖8（a）信號(hào)極值點(diǎn)的分布發(fā)現(xiàn)，原始信號(hào)相鄰極小值間隔分布在2個(gè)采樣點(diǎn)到9個(gè)采樣點(diǎn)之間。使用基于漢明結(jié)構(gòu)元素的尺度為1-8的多尺度形態(tài)濾波器對(duì)此信號(hào)進(jìn)行處理，結(jié)果如圖9所示。從圖9（b）中可以清晰地看到萬(wàn)向軸的轉(zhuǎn)頻15Hz和二倍頻30Hz、三倍頻45Hz、四倍頻60Hz和五倍頻75Hz。同時(shí)，在轉(zhuǎn)頻以及二倍頻和三倍頻處的幅值分別為正常萬(wàn)向軸同一位置（圖6（b））幅值的1.15，2.0和2.39倍，而這正是典型的轉(zhuǎn)子不平衡故障特征。

圖10為使用三角結(jié)構(gòu)元素對(duì)故障軸振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行多尺度形態(tài)濾波得到的時(shí)域波形和頻譜。從圖10（b）中可以檢測(cè)到萬(wàn)向軸轉(zhuǎn)頻的二倍頻成分，但此頻率被噪聲污染，與圖9（b）相比，故障特征并不突出，這再次說明了漢明結(jié)構(gòu)元素在故障特征提取方面更為有效。

5結(jié)論

結(jié)構(gòu)元素直接影響形態(tài)濾波的結(jié)果，現(xiàn)有的研究一般選用直線或三角結(jié)構(gòu)元素，但它們存在長(zhǎng)度變化不連續(xù)、頻率響應(yīng)函數(shù)欠佳等缺陷。為此，本文提出一種漢明結(jié)構(gòu)元素，并將其應(yīng)用于多尺度形態(tài)濾波器中。利用萬(wàn)向軸臺(tái)架試驗(yàn)的測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)提出的方法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明，本文方法能夠從齒輪箱測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)信號(hào)中有效地提取出萬(wàn)向軸振動(dòng)的特征，識(shí)別正常萬(wàn)向軸與存在不平衡的萬(wàn)向軸。相對(duì)于基于三角結(jié)構(gòu)元素的多尺度形態(tài)濾波器的分析結(jié)果，無論是在頻譜的識(shí)別度，還是特征頻率的振動(dòng)能量都得到了顯著增強(qiáng)。