王東云 李繼朋 王璦琿 蔡飛 郭光復(fù)

摘要：設(shè)計(jì)了一種基于線性濾波降階的串聯(lián)機(jī)械臂非線性反饋跟蹤控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)位移和速度的全局指數(shù)跟蹤。首先，通過(guò)拉格朗日方法建立起兩自由度串聯(lián)機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)模型;其次，在系統(tǒng)模型中引入一個(gè)線性濾波器，將系統(tǒng)化解為關(guān)于線形濾波變量的一階動(dòng)態(tài)方程，然后，設(shè)計(jì)非線性反饋控制器，通過(guò)前饋以補(bǔ)償系統(tǒng)的非線性和耦合性，并且通過(guò)李雅普諾夫穩(wěn)定性方法證明了所設(shè)計(jì)控制器可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定，能完成對(duì)期望位移和速度的指數(shù)跟蹤;最后，通過(guò)仿真驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

關(guān)鍵詞：串聯(lián)機(jī)械臂;線性濾波;跟蹤控制;反饋線性化;李雅普諾夫函數(shù);指數(shù)穩(wěn)定

中圖分類號(hào)：TP241.2;TH16

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

1 引言

在現(xiàn)代的工業(yè)自動(dòng)化領(lǐng)域中，工業(yè)串聯(lián)機(jī)器人扮演著一個(gè)重要的角色。串聯(lián)機(jī)器人（圖1）自上世紀(jì)中期開始出現(xiàn)，它的出現(xiàn)極大地提高了工業(yè)生產(chǎn)效率，許多人類無(wú)法直接進(jìn)行的操作都可由機(jī)器人進(jìn)行作業(yè)。隨著工業(yè)4.O的提出，智慧工廠已成為現(xiàn)代化的生產(chǎn)標(biāo)志，工業(yè)機(jī)器人的應(yīng)用更是其中必不可少的一項(xiàng)。而今，機(jī)器人已廣泛應(yīng)用在工業(yè)、醫(yī)療、航天和服務(wù)等行業(yè)，進(jìn)行著各種不同的作業(yè)[1-2]。

串聯(lián)機(jī)器人能否勝任特定的工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)，主要在于機(jī)器人的控制問(wèn)題，對(duì)串聯(lián)機(jī)器人的控制大體上可分為對(duì)位移、速度、加速度、末端操作力及力位混合控制幾種[4]。如果控制的目標(biāo)是一個(gè)點(diǎn)，則屬于機(jī)器人的定點(diǎn)控制;如果控制的目標(biāo)是讓末端操作器沿著一個(gè)預(yù)定的軌跡運(yùn)動(dòng)，則屬于連續(xù)軌跡的跟蹤控制。眾所周知，串聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型是一個(gè)高度復(fù)雜的非線性微分方程，各個(gè)關(guān)節(jié)之間具有高度的耦合性。此外，串聯(lián)機(jī)器人是一種典型的具有不確定性的控制對(duì)象，這些使得機(jī)器人的控制問(wèn)題變得復(fù)雜[3]。

對(duì)串聯(lián)機(jī)器人的控制有很多的方法。其中，最簡(jiǎn)單的控制方法是獨(dú)立關(guān)節(jié)的PID位置控制。PID位置控制的控制方式簡(jiǎn)單，應(yīng)用廣泛，但只能進(jìn)行定點(diǎn)控制，且機(jī)器人控制輸入的初始力矩較大[4];自適應(yīng)控制也是一種應(yīng)用非常廣泛的控制方法，相較于其他的控制方式，自適應(yīng)控制加入了一個(gè)系統(tǒng)參數(shù)的辨識(shí)環(huán)節(jié)，控制器能夠根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)的變化不斷地調(diào)整自身的參數(shù)以適應(yīng)環(huán)境的變化，很好的克服了機(jī)器人系統(tǒng)不確定性所帶來(lái)的影響[7-10]。但自適應(yīng)控制控制律的設(shè)計(jì)較為復(fù)雜，且必須進(jìn)行系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)，這需要很大的在線運(yùn)算量，給機(jī)器人的實(shí)際應(yīng)用也帶來(lái)了困難[6];魯棒控制具有較強(qiáng)的抗干擾能力，很容易保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但在設(shè)計(jì)控制器時(shí)需要知道干擾的上下界[5]。根據(jù)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)特性，本文使用一種基于線性濾波的反饋線性化的控制方法，在機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)模型中引入一個(gè)線性濾波器，則系統(tǒng)的開環(huán)誤差模型變?yōu)榱岁P(guān)于濾波器變量的一階線性微分方程，然后設(shè)計(jì)非線性控制器作為前饋補(bǔ)償以抵消系統(tǒng)的非線性，使得關(guān)節(jié)位移和速度能夠全局指數(shù)收斂于期望的位移和速度。

2 動(dòng)力學(xué)模型

平面兩連桿剛性串聯(lián)機(jī)械臂（圖2）的動(dòng)力學(xué)模型可由下列的二階非線性微分方程來(lái)描述

式（5）和（6）中，g表示重力加速度，fdl和fd2表示粘滯摩擦系數(shù)。由以上可知，二自由度串聯(lián)機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)模型較為復(fù)雜，是一個(gè)典型的多輸入、多輸出、強(qiáng)耦合的非線性微分方程。動(dòng)力學(xué)模型主要研究在關(guān)節(jié)空間中，機(jī)械臂的各個(gè)關(guān)節(jié)力矩與關(guān)節(jié)角度之間的映射關(guān)系，而控制的目的是如何設(shè)計(jì)有效的控制器為系統(tǒng)施加控制輸入，使得關(guān)節(jié)角度能夠跟蹤預(yù)定的參考軌跡。

3 控制器設(shè)計(jì)

串聯(lián)機(jī)器人控制的目的是使各個(gè)關(guān)節(jié)的角位移能夠跟蹤預(yù)定的參考量，使得位置誤差以及速度誤差能夠盡快收斂到零。定義系統(tǒng)的位置誤差為

4 仿真結(jié)果及分析

根據(jù)式（1）所表述的串聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，以及式（14）非線性反饋控制律，對(duì)整個(gè)閉環(huán)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。串聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)取為m1=0.6kg，m2= 0.6kg，l1=1.2m，l2=0.8m，dl=0.6m，d2= 0.4m。由式（4）計(jì)算得pl= 1.176，p2=0.096，p3= 0.288。重力加速度取為g- 9.8m/s，粘滯摩擦系數(shù)取為fdl= 5.3，fd2= 1.1。式（8）中線性濾波增益取為α= 12，式（14）控制律中控制增益取為β=15。系統(tǒng)初始狀態(tài)取為θ=（0-1），θ=（0-0）。仿真結(jié)果如圖（3-6）所示，圖3表示角位移跟蹤曲線，圖4為速度跟蹤曲線，圖5表示控制輸入曲線，圖6為位置跟蹤誤差曲線。

由仿真結(jié)果可知，串聯(lián)機(jī)器人關(guān)節(jié)角位移對(duì)預(yù)定的關(guān)節(jié)角度具有很好的跟蹤特性。關(guān)節(jié)角位移在初始狀態(tài)下能夠迅速跟蹤上參考軌跡的變化，使得關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差很快地收斂于零。關(guān)節(jié)速度在起始階段內(nèi)經(jīng)過(guò)了快速地變化之后也能跟蹤上參考軌跡速度的變化。由控制輸入曲線可知，系統(tǒng)的初始力矩不是很大，此后，關(guān)節(jié)力矩趨于平滑穩(wěn)定，這也克服了傳統(tǒng)的PID等控制方法初始力矩過(guò)大的缺點(diǎn)。

對(duì)于串聯(lián)機(jī)器入而言，由于模型的復(fù)雜性，使得對(duì)于它的控制也變得困難。針對(duì)于具體的工業(yè)串聯(lián)機(jī)器人，很難找到一種控制律簡(jiǎn)單，在線計(jì)算量不大，而又有很好控制效果的方法[2]?；诰€性濾波降階的非線性反饋控制方法很好地補(bǔ)償了系統(tǒng)的非線性因素，控制器設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，使得跟蹤誤差能以指數(shù)方式很快收斂于零，很好地提高了系統(tǒng)的跟蹤控制效果，同時(shí)也便于串聯(lián)機(jī)器人在實(shí)際工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)的應(yīng)用。

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