那景童 張旭秀

摘 要：將永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor，PMSM）整數(shù)階模型推廣到分數(shù)階，構(gòu)造結(jié)構(gòu)相同的分數(shù)階電機模型。針對整數(shù)階電機模型，基于遺傳算法設(shè)計最優(yōu)PID控制器，將所設(shè)計最優(yōu)PID控制器作用于分數(shù)階模型。通過調(diào)節(jié)分數(shù)階模型分數(shù)階次可得到電機調(diào)速系統(tǒng)的一簇階躍響應曲線，選取該簇曲線中動靜態(tài)特性相對最好的曲線所對應的分數(shù)階次作為永磁同步電機的分數(shù)階模型階次，從而構(gòu)造出永磁同步電機的分數(shù)階模型。通過軟件仿真和結(jié)果分析可得本文所構(gòu)造的分數(shù)階永磁同步電機模型具有更好的動靜態(tài)特性和描述效果。

關(guān)鍵詞：電機模型;分數(shù)階模型;最優(yōu)PID;調(diào)速系統(tǒng);動靜態(tài)特性中圖分類號：TP203

文獻標志碼：A

0 引 言

永磁同步電機因其高可靠性、高效率和快速動態(tài)響應等諸多優(yōu)點被廣泛應用于機器人、醫(yī)療設(shè)備、汽車電子等領(lǐng)域[1-3]。在工業(yè)控制領(lǐng)域，大多數(shù)運動控制系統(tǒng)屬于多慣量系統(tǒng)，有研究發(fā)現(xiàn)在多慣量系統(tǒng)的建模中，其模型適當?shù)碾A次往往不是整數(shù)，而是在兩個臨近的整數(shù)之[4，5]。同時研究表明，實際電容和電感具有分數(shù)階特性[6]，既然像電容和電感這類儲能元件屬于分數(shù)階的，那么包含電容、電感等儲能元件的電機應該也屬于分數(shù)階的，因此采用分數(shù)階微積分建立電機的數(shù)學模型能夠更加細膩的刻畫其動態(tài)行為，更為準確的描述其屬性特征[7]。

隨著對分數(shù)階微積分的不斷深入研究以及人們對于分數(shù)階的認識和接受，開始逐漸意識到整數(shù)階系統(tǒng)只是分數(shù)階系統(tǒng)的一個特例[8]。因此，基于該從屬關(guān)系可以得到一個事實，能夠采用整數(shù)階微積分描述的系統(tǒng)，分數(shù)階微積分肯定能夠描述，進一步研究發(fā)現(xiàn)，采用分數(shù)階微積分描述的一些系統(tǒng)特性，用整數(shù)階微積分來描述將會變得非常復雜或根本無法得到準確的整數(shù)階系統(tǒng)模型[9，10]。所以，本文將永磁同步電機的整數(shù)模型推廣到分數(shù)階模型，具有理論意義和實際應用價值，是未來發(fā)展的趨勢。

1 永磁同步電機數(shù)學模型

永磁同步電機的數(shù)學模型與普通同步電機的數(shù)學模型基本相同，其數(shù)學模型包括電機的電壓方程、轉(zhuǎn)矩方程和運動方程[11]，其具體建模過程可參考文獻[11]。這里給出本文所采用的永磁同步電機等效電路如圖1所示。

從圖4和圖5可以看出，將整數(shù)階積分環(huán)節(jié)和整數(shù)階慣性環(huán)節(jié)階次推廣到分數(shù)階次可以加快系統(tǒng)的響應速度、使得系統(tǒng)的上升時間更快。那么在相同控制器作用下，分數(shù)階模型應具有更好的控制效果。

2.3 永磁同步電機的分數(shù)階階次獲取

2.3.1 分數(shù)階階次獲取步驟說明

永磁同步電機分數(shù)階模型的分數(shù)階次ζ和θ選取步驟如下：

①保持最優(yōu)PID控制器參數(shù)：Kp= 30.5145，

Ki=2 3.9175，Kd= 10.59值不變，采用永磁同步電機的分數(shù)階模型即式（3）代替整數(shù)階模型式（2），得到由PID控制器十分數(shù)階模型組成的控制系統(tǒng)。

②在仿真平臺，采用階躍信號測試該控制系統(tǒng)，通過調(diào)節(jié)ζ和θ值，得到一簇PID控制器十分數(shù)階模型的閉環(huán)速度單位階躍響應曲線

③選取動靜態(tài)特性相對最好的曲線所對應的ζ和θ值作為永磁同步電機的分數(shù)階模型分數(shù)階階次。

由于永磁同步電機的整數(shù)階模型階次為2，1，分數(shù)階模型階次應該在整數(shù)階模型附近[16]，才能不改變原電機模型的特性，那么本文將ζ和θ值得取值范圍定為[0.65，1.45]和[0.7，1.5]，相應地分數(shù)階模型的ζ+θ階次取值范圍為[1.35，2.95]，這樣就將分數(shù)階模型在原模型附近的階次都囊括在內(nèi)，表2給出了本文分數(shù)階模型階次的具體取值情況。

2.3.2 分數(shù)階模型確定具體細節(jié)說明

如表2所示，這里列出25種ζ和θ值的組合情況，也就是說本文給出的永磁同步電機的分數(shù)階模型有25個，確定分數(shù)階模型的具體細節(jié)如下：

①將這25個分數(shù)階模型按行分成5組，每組固定ζ值不變，通過五列θ對應的不同取值，即每組可產(chǎn)生5個分數(shù)階模型。

②通過仿真繪制出每組最優(yōu)器PID參數(shù)十分數(shù)階模型的閉環(huán)階躍響應曲線圖，那么可以得到5幅PID控制器十分數(shù)階模型的閉環(huán)階躍響應曲線圖，每幅圖中包含5條曲線，選擇每幅圖中最優(yōu)的一條曲線所對應的階次作為永磁同步電機的分數(shù)階模型，便可得到五個最優(yōu)分數(shù)階模型。

③最后將這五個分數(shù)階模型進行對比，選擇其中最優(yōu)的一條作為最終永磁同步電機的分數(shù)階模型。這里最優(yōu)曲線的評判標準為：每條曲線的上升時間、超調(diào)、調(diào)節(jié)時間和ITAE（Integral Time Av-erage Error）值其數(shù)學表達式為：

式（7）中，e（t）為輸入輸出誤差的絕對值;T為

控制系統(tǒng)輸出信號跟蹤上輸入信號時間，ITAE作為評判標準之一涉及快速性、準確性、穩(wěn)定性能夠很好的評價控制系統(tǒng)的性能。

2.3.3 建立分數(shù)階模型仿真實例

舉例說明，下面圖6給出了表2第三行，即第三組ζ=1.05時，通過每列對應0的不同取值，所得五條PID控制器十分數(shù)階模型的閉環(huán)階躍響應曲線：

由圖6可得，曲線2對應的θ=0.9的ITAE值最小，同時考慮到上升時間、超調(diào)和調(diào)節(jié)時間相對較小符合系統(tǒng)控制要求，因此選取θ=0.9所對應的ζ和θ值作為永磁同步電機的分數(shù)階模型階次，即：

ζ = 1.05，θ=0.9。

按照同樣方法選取其余4組最優(yōu)ζ和θ值，具體選取過程在這里不再贅述，下面給出其余四組中最優(yōu)ζ和θ值，分別為：

（0.65，1.3），（0.85，1.3），（1.25，0.9），（1.45，0.7）

將這5條曲線對應的ζ和θ值代入式（3）中得到如下5個永磁同步電機的分數(shù)階模型，即：

圖7繪制出了PID控制器十分數(shù)階模型（式（8）一（12））的閉環(huán)階躍響應曲線，其中G_f1- G_f5是五條最優(yōu)分數(shù)階模型。

為了進一步比較，表3列出了5條曲線的閉環(huán)速度單位階躍響應性能比較。

通過表3可得，最優(yōu)五組曲線中，曲線2所對應的ITAE值最小，此時曲線2對應的ζ=0.85、θ= 1.3，因此得到最終本文所選取的永磁同步電機的分數(shù)階模型為：

2.4 最優(yōu)的分數(shù)階模型與整數(shù)階模型比較

為了進一步驗證本文所選永磁同步電機的分數(shù)階模型存在意義，這里針對PID+電機分數(shù)階模型（9）和PID+整數(shù)階模型（2）進行閉環(huán)系統(tǒng)階躍信號測試，如圖8所示

從圖8可看出，在同種控制器作用下，分數(shù)階電機模型較傳統(tǒng)整數(shù)階模型，可提高整個控制系統(tǒng)的控制品質(zhì)。

下面對本文所構(gòu)造的分數(shù)階永磁同步電機模型和原整數(shù)階模型進行頻域特性對比和分析，圖9給出了式（3）和式（9）在控制器（5）作用下的開環(huán)頻率特性曲線。

圖9對比可看出，在同樣控制器作用下分數(shù)階電機模型與整數(shù)階模型幅值特性無明顯差異，而分數(shù)階模型具有更大的穩(wěn)定裕量。因此可得，本文所提的分數(shù)階電機模型具有更好的頻域特性。

3 結(jié)束語

給出了一種永磁同步電機的分數(shù)階建模方法，將傳統(tǒng)整數(shù)階電機模型推廣到分數(shù)階次，基于整數(shù)階電機模型設(shè)計控制器，在同種控制器作用下分別對整數(shù)階電機模型和分數(shù)階電機模型進行仿真研究。仿真結(jié)果表明，分數(shù)階電機模型具有更好的控制性能，以及頻域特性，從而證明所給方法的有效性。

參考文獻

[1] 余偉.永磁同步電動機分數(shù)階建模與研究[D].廣州：華南理工大學，2014：13 - 14.

[2]趙佳奇，永磁同步發(fā)電機無速度傳感器控制[J].控制工程，2016，23（11）：52-56.

[3]

BAIKI C，YOUN K K H，M J ROBUST. Nonlinear Speed Con-trol of PM Synchronous Motor Using Boundary Layer IntegralSliding Mode Control Technique [J]. IEEE Transactions onControl Systems Technology ，2000，8 （3）：47 -54.

[4] HUNGENAHALLY S. Neural basis for the design of frac-tional-order perceptual filters： Applications in image en-hancement and coding[C] IEEE International Conference，System，Man and Cybernetics 95 Intelligent Systems for the21st Century，1995，5：4626-4631.

[5] ORITIGUEIRA M D.Fractional Calculus for Scientists andEngineers[M]. New York： Springer Dordrecht Heidelberg，2011：228- 230.

[6] 王發(fā)強，馬西奎.電感電流連續(xù)模式下Boost變換器的分數(shù)階建模與仿真分析[J].物理學報，2011，60（7） ：45-46.

[7]趙遠征.分數(shù)階控制算法在永磁交流伺服系統(tǒng)中的研究與應用[D].南京：南京理工大學，2014.

[8]鄧立為，宋申民，龐慧，控制系統(tǒng)的分數(shù)階建模及分數(shù)階PP Dμ控制器設(shè)計[J].電機與控制學報，2014，18（3） ：76-84.

[9] ELMAS C，USTUN 0.A hybrid controller for the speedcontrol of a permanent magnet synchronous motor drive[J].Control Engineering Practice，2008，16 （3）： 260- 270.

[10] 11 H S，LUO Y，CHEN Y Q.A Fractional Order Propor-tional and Derivative （FOPD） Motion Controller： TuningRule and Experiments[J]. IEEE Transactions on ControlSystems Technology，2010，18（2）：516- 520.

[11] 王瑞萍，皮佑國，基于分數(shù)階控制器PMSM恒速控制[J].華南理工大學學報，2012.40（3） ：63-68.

[12]李剛，魚佳欣，郭道通，等，基于改進遺傳算法的機器人路徑規(guī)劃與仿真[J].計算技術(shù)與自動化，2015，6（2）：24-27.

[13] WANG Z B，CAO G Y，ZHU X J.Identification algorithmfor a kind of fractional order system [J].J of Southeast U-niversity，2004，20（3）：297-302.

[14]

MALTI R，AOUN M，SABATIER J，et al. Tutorial on sys-tem identification using fractional differentiation models[C]in：14th IFAC Symposium on System Identification， 2006，606 - 611.

[15] VICTOR S，MALTI R，MELCHIOR P，et al. Instrumentalvariable identification of hybrid fractional Box - Jenkinsmodels[C]//in： Proceedings of the 18th IFAC World Con-gress，2011，768-770.

[16]

GABANO J D，POINOT T. Fractional modelling and identifica-tion of thermal systems[J]. Signal Processing，2011，91（3）：531 -541.