闞學(xué)超，李銀偉，王海濤，付朝偉

(上海目標(biāo)識(shí)別與環(huán)境感知工程技術(shù)研究中心，上海201109)

0 引言

后向投影(Back Projection，BP)算法是一種精確的時(shí)域成像算法，可以很好的解決圓跡合成孔徑雷達(dá)(Circular Synthetic Aperture Radar，CSAR)成像中存在的距離向和方位向耦合的問題[1]。圓跡SAR的BP算法成像需要將成像區(qū)域網(wǎng)格投影到各個(gè)方位向距離壓縮數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的位置上，并在所有方位向相干疊加，其計(jì)算復(fù)雜度與N3(假設(shè)方位向個(gè)數(shù)為N，成像網(wǎng)格點(diǎn)的數(shù)量為N×N)成正比。在圓跡SAR成像中，相鄰成像網(wǎng)格點(diǎn)的間距與雷達(dá)波長成正比，當(dāng)雷達(dá)發(fā)射高頻信號(hào)時(shí)，成像網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)N較大，此時(shí)BP算法成像效率低下，嚴(yán)重影響了其在實(shí)時(shí)成像領(lǐng)域的應(yīng)用。

針對(duì)BP算法運(yùn)算效率低下的問題，國內(nèi)外學(xué)者從算法的層面上提出了多種方法以降低運(yùn)算量。文獻(xiàn)[2-3]提出了局部后向投影(LBP)算法，劃分成像子區(qū)域，但在子圖像拼接的精度受到誤差影響較大。文獻(xiàn)[4-5]提出了基于極坐標(biāo)下劃分子孔徑的快速后向投影(FBP)算法，通過子孔徑圖像相干疊加的方法縮減了計(jì)算量，但FBP算法中成像質(zhì)量受到插值運(yùn)算影響較大。文獻(xiàn)[6-7]在FBP的基礎(chǔ)上提出了快速分解后向投影(FFBP)算法，建立了子孔徑分解、波束形成和子孔徑(子圖像)遞歸融合的基本框架，但FFBP算法無法直接結(jié)合自聚焦技術(shù)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償。文獻(xiàn)[8-10]提出了使用LOS虛擬極坐標(biāo)系來改進(jìn)FFBP的算法和加速后向投影(Expediting BP，EBP)算法，解決了自聚焦和運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償結(jié)合的問題，但同時(shí)也存在角域波數(shù)譜折疊的問題。

本文根據(jù)BP算法的原理，提出了一種將目標(biāo)區(qū)域投影到一維距離的快速BP算法。此方法通過將成像區(qū)域投影到目標(biāo)區(qū)域中心與雷達(dá)連線的一維距離r上，減少了目標(biāo)區(qū)域投影到各方位向距離壓縮數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)位置上的復(fù)雜度，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)算量的縮減。同時(shí)，文章對(duì)傳統(tǒng)BP算法和快速算法的計(jì)算量進(jìn)行分析和對(duì)比，并通過仿真驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 算法原理

首先分析傳統(tǒng)的BP算法成像原理，并在此基礎(chǔ)上提出快速BP算法。

1.1 傳統(tǒng)BP算法

后向投影(BP)算法是一種時(shí)域算法，其主要過程就是沿著斜距歷程對(duì)成像區(qū)域網(wǎng)格上的各像素點(diǎn)進(jìn)行重建。本文基于圓跡SAR的工作模式，對(duì)BP算法進(jìn)行了討論。

圖1是圓跡SAR的工作模式下BP算法的成像原理示意圖。

式中：R0為雷達(dá)運(yùn)動(dòng)圓周的半徑;θ為雷達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度;H為雷達(dá)飛行高度。

將成像網(wǎng)格的每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)(xi，yj)投影到距離向匹配壓縮后的數(shù)據(jù)上，并與exp(j4πRθ;ij/λ)相乘作方位向相位補(bǔ)償，得到雷達(dá)運(yùn)動(dòng)角度θ時(shí)網(wǎng)格點(diǎn)的散射特性函數(shù)為

將成像網(wǎng)格在各個(gè)方位向(θp，p=1，2，…，N)的散射特性相干疊加，可得到目標(biāo)區(qū)域成像聚焦為

式中：f(x，y)為目標(biāo)區(qū)域的散射特性系數(shù)。

1.2 快速BP算法

BP算法中劃分的成像網(wǎng)格中相鄰網(wǎng)格點(diǎn)的間距與信號(hào)頻率成反比，同一大小的目標(biāo)區(qū)域高頻信號(hào)成像時(shí)劃分的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)較低頻信號(hào)成像時(shí)劃分的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)多，此時(shí)傳統(tǒng)BP算法的運(yùn)算量將很大。因此，減少BP算法的運(yùn)算量是高頻信號(hào)時(shí)圓跡SAR實(shí)時(shí)成像的關(guān)鍵技術(shù)。

本文提出一種將成像網(wǎng)格點(diǎn)投影到一維距離的快速BP算法，圖2是快速BP算法的工作原理示意圖。

由圖2可見，快速BP算法以雷達(dá)平臺(tái)到目標(biāo)區(qū)域中心的方向?yàn)閰⒖挤较?，以目?biāo)區(qū)域中心與雷達(dá)平臺(tái)的距離為參考距離，等間隔的劃分一維距離點(diǎn)，可以表示為

式中：r為一維距離;Δr為距離間隔;M為一維距離包含的距離數(shù)。

快速BP算法將一維距離r代替成像網(wǎng)格點(diǎn)投影到各個(gè)方位向經(jīng)距離壓縮后的信號(hào)上，投影位置的數(shù)據(jù)可以表示為

式中：s(τ，θ)表示投影信號(hào);τ表示快時(shí)間;A表示信號(hào)幅度;B表示信號(hào)帶寬。

在方位向進(jìn)行相位補(bǔ)償時(shí)，需與相位因子exp[-j4πrk(θ)/λ](k=1，2，…，M)相乘，雷達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ時(shí)一維距離r的散射特性系數(shù)為

式中：γFBP_θ表示一維距離r在雷達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)θ度時(shí)的散射特性。

對(duì)目標(biāo)區(qū)域成像時(shí)，需將傳統(tǒng)BP算法的成像網(wǎng)格(xi，yj)|i，j=1，2，…，N;投影到一維距離網(wǎng)格rk|k=1，2，…，M上，投影關(guān)系為

式中：rθ;ij表示雷達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ時(shí)網(wǎng)格點(diǎn)(xi，yj)投影到r上的位置，且r1≤rθ;ij≤rM，其散射特性系數(shù)為γFBP_θ;ij。

在本文提出的快速BP算法中，目標(biāo)區(qū)域劃分的成像網(wǎng)格點(diǎn)投影到了一維距離r上，由于一維距離r是等間隔非連續(xù)的，因此成像網(wǎng)格點(diǎn)并不能準(zhǔn)確的投影到r上的每一點(diǎn)上，而是投影到r中與rθ;ij最接近的一點(diǎn)上，此時(shí)投影誤差和投影相位誤差的表達(dá)式為

式中：ΔRθ;ij為角度θ時(shí)的點(diǎn)(xi，yj)投影到r上的rθ;k與實(shí)際距離rθ;ij的誤差，且滿足ΔRθ;ij＜Δr，Δr=rk+1-rk;Δφθ;ij為投影誤差相位。

投影誤差將導(dǎo)致方位向相位補(bǔ)償時(shí)產(chǎn)生相位誤差，當(dāng)投影誤差較大時(shí)，旁瓣升高，分辨率下降，嚴(yán)重影響成像質(zhì)量。為了減少投影誤差，應(yīng)減小r的間隔Δr，即當(dāng)投影距離固定時(shí)，應(yīng)增大一維距離劃分的點(diǎn)數(shù)M。

將成像網(wǎng)格點(diǎn)投影在一維距離r上對(duì)應(yīng)的位置的散射系數(shù)代入成像網(wǎng)格的散射系數(shù)，可得到雷達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ時(shí)成像網(wǎng)格點(diǎn)的目標(biāo)散射特性系數(shù)，如式(9)所示。

將各個(gè)方位向的γFBP_θ相疊加，可得目標(biāo)區(qū)域的散射系數(shù)為

式中：γFBP為快速BP算法得到的成像網(wǎng)格點(diǎn)的散射系數(shù)。

2 傳統(tǒng)BP算法和快速BP算法成像效率對(duì)比

為了驗(yàn)證快速BP算法在減少運(yùn)算量方面的有效性，應(yīng)對(duì)傳統(tǒng)BP算法和快速BP算法的運(yùn)算量做出定量分析和對(duì)比。

2.1 傳統(tǒng)BP算法運(yùn)算量

傳統(tǒng)BP算法在計(jì)算過程中，假設(shè)方位向采樣個(gè)數(shù)為Na(θi|i=1，2，…，Na)，劃分的二維成像區(qū)域網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為N×N，則成像網(wǎng)格在各個(gè)方位向距離壓縮數(shù)據(jù)上的投影運(yùn)算量為

成像網(wǎng)格點(diǎn)在各個(gè)方位向做相位補(bǔ)償，運(yùn)算量為

BP算法中各個(gè)方位向的成像網(wǎng)格點(diǎn)的散射系數(shù)相干疊加的運(yùn)算量為

因此，傳統(tǒng)BP算法總的運(yùn)算量為

2.2 快速BP算法運(yùn)算量

假設(shè)方位向采樣個(gè)數(shù)為Na(θi|i=1，2，…，Na)，在對(duì)每一個(gè)方位向投影時(shí)，投影的一維距離元數(shù)目為M，此時(shí)各個(gè)方位向相位補(bǔ)償?shù)某朔ㄟ\(yùn)算量為

將成像網(wǎng)格點(diǎn)投影到一維距離r上的運(yùn)算量為

將各個(gè)方位向的成像網(wǎng)格點(diǎn)散射特性相干疊加，可得到加法運(yùn)算量為

快速BP算法總的運(yùn)算量為

2.3 兩種算法運(yùn)算量成像效率對(duì)比

在上述的分析中可以觀察到，快速BP算法相比于傳統(tǒng)BP算法運(yùn)算量的減少主要在于各個(gè)方位向相位補(bǔ)償過程中運(yùn)算量由NaN2減少到NaM(M＜N2)，式(19)表示快速BP算法相比于傳統(tǒng)BP算法運(yùn)算效率提高的倍數(shù)。

當(dāng)Na≈N且N較大時(shí)，κ≈1.5。但在軟件仿真的過程中，相位補(bǔ)償和投影過程中包含多個(gè)乘法計(jì)算和加法計(jì)算，此時(shí)κ＞1.5，快速BP算法具有更高的運(yùn)算效率。

3 仿真驗(yàn)證快速BP算法的有效性

在分析快速BP算法的原理和運(yùn)算量的基礎(chǔ)上，通過仿真進(jìn)一步驗(yàn)證快速BP算法的有效性。

以太赫茲圓跡SAR的運(yùn)動(dòng)模型為基礎(chǔ)進(jìn)行仿真，雷達(dá)載頻為220 GHz，雷達(dá)帶寬為1 GHz，采樣頻率為1.2 GHz，距離向采樣數(shù)為512，方位向采樣數(shù)為5 120。

在傳統(tǒng)BP算法成像時(shí)目標(biāo)區(qū)域劃分的成像網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)目為1 000×1 000，快速BP算法成像時(shí)，設(shè)一維距離元的數(shù)目為1×20 000，則兩種方法的成像結(jié)果和峰值旁瓣比(PSLR)如圖3所示。

由圖3(a)和圖3(c)可以觀察到，快速BP成像算法得到的目標(biāo)成像結(jié)果與傳統(tǒng)的BP算法成像結(jié)果近似一致。比較圖3(b)和圖3(d)可以得到，相比于傳統(tǒng)BP算法，快速BP算法成像的旁瓣略有升高，但變化不大，并不影響成像質(zhì)量。

此外，由圖3中觀察到，快速BP算法成像的旁瓣略有波動(dòng)不平滑，這是由于成像網(wǎng)格投影到一維距離r上，而r并不連續(xù)造成的，對(duì)成像質(zhì)量影響可忽略。

在快速BP算法不影響成像質(zhì)量的前提下，通過仿真分析了快速BP算法和傳統(tǒng)BP算法的運(yùn)算效率。經(jīng)多次仿真分析后可得到，當(dāng)一維距離元之間的間隔Δr與波長λ相近時(shí)，成像網(wǎng)格點(diǎn)投影誤差對(duì)成像質(zhì)量影響較小，可忽略不計(jì)。設(shè)單行網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)目為N，則網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為N×N，對(duì)于不同的成像網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)目，兩種方法運(yùn)算時(shí)間如圖4所示。

由圖4可以觀察到，當(dāng)N較小時(shí)，傳統(tǒng)BP算法和快速BP算法的成像時(shí)間相差并不大;但當(dāng)N迅速增大時(shí)，傳統(tǒng)BP算法成像所用時(shí)間迅速增加，而快速BP算法成像時(shí)間增加較為平緩。當(dāng)單行網(wǎng)格數(shù)N=1 000時(shí)，快速BP算法成像所用時(shí)間是傳統(tǒng)BP算法成像所用時(shí)間的1/3。隨著N的增大，快速BP算法成像所節(jié)省的時(shí)間越多。本仿真驗(yàn)證了快速BP算法在減少運(yùn)算量方面的有效性。

4 結(jié)論

在傳統(tǒng)BP算法的原理上，文章提出了將成像網(wǎng)格點(diǎn)投影到一維距離上的方法，實(shí)現(xiàn)BP算法成像運(yùn)算量的縮減，并定量分析和對(duì)比了傳統(tǒng)BP算法和快速BP算法的成像運(yùn)算量。同時(shí)，通過仿真驗(yàn)證了快速BP算法對(duì)成像質(zhì)量的保證，并在相同條件下對(duì)兩個(gè)算法的成像時(shí)間作對(duì)比，驗(yàn)證了快速BP算法在縮減運(yùn)算量方面的有效性。