周云

摘 要：以提高學生水平為宗旨的上海高考數學試題，強調通性通法，重在學生的理解能力。高三數學第二輪復習承前啟后，重在知識、方法和專題的復習，是學生的知識系統化、條理化并且能靈活運用的關鍵時期.“含參問題、分段函數、超越方程”，這類問題抽象性比較強，理解起來比較難.在高三備考過程中，學生對其理解和掌握，確實有一定困難，容易造成漏解和錯解.鑒于此，結合學生的認知，通過“階梯遞進”的方式、利用稚化思維，和學生共同研究，旨在提高學生的數學綜合能力.

關鍵詞：上海高考；含參；稚化思維

數形結合、分類討論、等價轉化和函數與方程等知識，作為第二輪專題復習的重要解題思想方法，在實際應用中非常廣泛，但是很多學生缺乏這樣的思維習慣，不擅長將代數的文字語言轉化為幾何語言，特別是等價轉化，容易在分析題目時產生較大的障礙.為此，筆者在課堂中，以微專題的形式，盡快地在學生頭腦中建立數形結合、等價轉化等思維習慣，并強化這種能力.這些經實踐證明，顯然有利于他們更有效地掌握數學知識.為落實重點，克服難點，筆者結合學生的知識，多次運用稚化教育思維，搭橋、設梯來化解難點，突出重點，取得了良好的教學效果.

一、稚化思維研究方程的解

引例 方程2sinx+ =1在區(qū)間[0，2π]上的所有解的和等于 .

生1：先求出這個方程的通解x|x+ =2kπ+ ，2kπ+ ，k∈Z，

再根據范圍確定特解，所有的解為 ， ，它們的和是 .

生2：畫出函數y=2sinx+ ，x∈[0，2π]與y=1圖象，發(fā)現交點有且只有兩個，由圖象的對稱可知，方程2sinx+ 的解有兩個，記為x1，x2，它們的和等于 .

師：很好，求三角方程在給定區(qū)間上所有解的和，可以直接求解，也可以從數形結合的角度思考.那么含參數的三角方程問題，又如何求解呢？

設計意圖：利用學生熟悉的簡單三角方程，盡量放低教學的起點，從學生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，讓學生體會直接求解和數形結合的異曲同工，引導學生合理選擇恰當的解題方法.

例1 （上海高考2012 理12）設常數a使方程sinx+ cosx=a在閉區(qū)間[0，2π]恰有三個解x1，x2，x3，則x1+x2+x3= .

生3：類似地，方程2sinx+ =a的通解

x|x+ =2kπ+arcsina，2kπ+π-arcsina，k∈Z，在[0，2π]上的特解分別是x1，x2，x3.

師：可是通解含了參數，怎么辦？

生4：可以考查函數a=2sinx+ 的周期性T=2π，而區(qū)間[0，2π]的長度恰好等于一個周期，所以方程sinx+ cosx=a在閉區(qū)間[0，2π]恰有三個解時，x1=0，x3=2π，此時a= ，再代入方程，求出x2= ，所以x1+x2+x3= .

師：很好，本題涉及含參的反三角方程，直接做有些困難，利用周期性，很快得到問題的求解.對于討論這類含參的方程的解的個數，是否還有其他解法呢？

生5：數形結合，a=2sinx+ 在閉區(qū)間[0，2π]恰有三個解時，a= ，同上.

設計意圖：從學生解決問題的實際出發(fā)，和他們共同探討為什么進行不下去的原因所在，思考如何繼續(xù)進行下去的方法，這樣及時點出學生的所思所想，達到良好的教學互動.事實上，含參數的反三角方程，是學生學習過程中一個很大的障礙，合理的等價轉化，用數形結合來解決，便可以避免盲目的分類討論，更形象直觀.一題多解，讓學生在比較、討論和甄別中，找出最簡便的解法和富有新意的解題思路，有利于加深學生對多種解題方法的認識，從而更熟練地運用自如.

例2 已知方程x=lnx-5=0，x+ex-5=0的實根分別是x1，x2，則x1+x2= .

師：lnx=5-x，ex=5-x，直接解方程的話，貌似不會解？

生6：lnx=5-x1？圳x1=e5-x1，對照方程組ex2=5-x2e5-x1=x1，猜測5-x2=x1，所以x1+x2=5.

師：很大膽的猜測，大家覺得答案對嗎？（同學們紛紛點頭同意）怎么證明呢？

生7：函數f（x）=ex+x-5單調遞增，f（1）·f（2）<0，f（x）=ex+x-5只有一個零點，所以5-x2=x1.

師：理由非常充分，很完美的解答.既然是從函數的角度思考，那么是否有其他想法？

生8：數形結合，y=lnx，y=ex互為反函數，它們的圖象y=x于對稱，而y=5-x也關于y=x成軸對稱圖形，由圖象可知，交點為A（x1，y1）、B（x2，y2），它們關于點P ， 對稱，所以x1+x2=5.

師：想法很好，超越方程一般沒有解析解，而只有近似解，只有特殊的超越方程才可以求解.在大學階段常用的近似解法有牛頓切線法、冪級數解法等等，也可以編制一段程序用計算機求解.但上海的高考中，更多的是化歸思想，利用數形結合求解.

注：超越方程——等號兩邊至少有一個含有未知數的初等超越函數式的方程，如指數方程、對數方程、三角方程、反三角方

程等.

設計意圖：從不熟悉的方程聯想到熟悉的函數圖象，讓學生自然而然地找到解題的思路，圖形的細致觀察和對稱軸的巧妙應用是“點睛之筆”.這樣接地氣的稚化思維，從學生的角度思考問題，和學生一起學習、探究，共同進步.

二、稚化思維研究分段函數的性質

例3 函數f（x）=x2+4x x≥04x-x2 x<0，則不等式f（2-x2）>f（x）的解集是 .

生9：分類討論即可.

當2-x2≥0且x≥0時，（2-x2）2+4（2-x2）>x2+4x，所以x∈

[0，1）；

當2-x2≥0且x<0時，（2-x2）2+4（2-x2）>4x-x2，所以x∈

（-2，0）；

當2-x2≤0且x≥0時，4（2-x2）-（2-x2）2>x2+4x，所以x∈？準；

當2-x2≤0且x≤0時，4（2-x2）-（2-x2）2>4x-x2，所以x∈？準；

綜上所述，不等式的解集是x∈（-2，1）.

師：同學們很辛苦地完成了以上解答，但是作為一個填空題，會不會太費時費力了？（學生點頭同意）大家好好觀察一下f（x）的解析式，是我們熟悉的分段函數，而f（2-x2）>f（x）需要函數的什么性質來支撐呢？

生10：單調性.

師：你的眼光很犀利，明察秋毫，那請同學們思考、交流一下.

生11：f（x）=x2+4x x≥04x-x2 x<0在定義域R上是增函數，由f（2-x2）>f（x）可得2-x2>x，所以所求的解集是x∈（-2，1）.

設計意圖：在老師看來，利用分段函數的單調性，三言兩語就可以搞定了，但學生在實際做題過程中，直接利用分類討論，雖然很繁瑣，但是入手簡單直接.和學生一起走走“歪路”，“裝傻地”陪他們一起經歷復雜的計算過程，師生感同身受，然后再來觀察對比發(fā)現，用數形結合研究含參的分段函數問題實在是妙不可言，從而達到化難為易、化繁為簡的目的.

變式 已知函數f（x）=xx.當x∈[a，a+1]時，不等式f（x+2a）>4f（x）恒成立，則實數a的取值范圍是 .

生12：f（x）=xx=x2，x≥0-x2，x<0是奇函數，且在定義域R上是增函數.

師：4f（x）能不能轉化某一個函數值呢？

生13：4f（x）=f（2x）.

師：謝謝你的精彩發(fā)現，至此答案“呼之欲出”了.

生14：f（x+2a）>4f（x）等價于f（x+2a）>f（2x），即x+2a>2x，2a>（x）max=a+1，所以實數a的取值范圍是a>1.

設計意圖：用變題的形式稚化思維，“例3”作了很好的鋪墊，讓學生自然而然地找到解題的“鑰匙”，一遇見分段函數、含參不等式，就會充滿熟悉感，聯想到數形結合，勇敢地拾階而上，從而把未知的問題等價轉化為已掌握的知識來解答，達到多題一解的效果.言外之意，就是用一種方法可以搞定一類題目，舉一反三，破除“題海戰(zhàn)術”的怪圈.

三、稚化思維研究含參的不等式

例4 已知：當x>0時，不等式 ≥kx+b恒成立，當且僅當x= 時取等號，則k= .

師：“當且僅當x= 時取等號”，怎么理解？

生15：x= 代入不等式時等號成立，即 = k+b.

師：大家同意嗎？（同學們一致同意）很好，這是我們最困惑的地方，正確理解是王道.那么，不等式 ≥kx+b恒成立呢？

生16：分離參變量就好，（3x-1）k≤ .

師：請同學們自己動手完成.

生17：當x> 時，k≤- 恒成立，易得k≤- ，當x> 時，k≤- 恒成立，易k≥- 得，綜上所述，可知k=- .

u

設計意圖：以階梯式問題為引導，從代數的角度和學生一起進行局部探究，先由“當且僅當”可以得到k、b的方程，求出b；再和學生一起挖掘“不等式恒成立”，利用等價轉化和分離參變量，對x討論，結合函數的單調性和恒成立思想，即可求得.這樣降低學生的思考起點，側重于啟發(fā)、引導，和學生一步一步搭建階梯，解決含兩個變量的問題.

師：如果從函數的角度來看，y= 與y=kx+b的圖象是我們非常熟悉的，大家是不是可以畫圖試試看？

生18：由題意可知，當x= 時，兩條圖象相切，所以kx2+（k+b）x+b-1=0，即 = k+bΔ=（k+b）2-4k（b-1）=0？圯k=

設計意圖：以啟發(fā)為引導，從幾何的角度和學生一起進行局部探究，先從學生熟悉的反比例型函數和一次函數出發(fā)，通過觀察，應用數形結合求值、取舍、定范圍，借助圖形的直觀性，實施轉化，將復雜問題簡單化，從而快速求解.

以上幾例，涉及含參問題、分段函數、超越方程，是高中公認的難點所在，通法直接去解答的話，難度較大，正難則反，讓學生體會用化歸思想用數形結合來做，往往有意想不到的收獲，最后來完成2017春考題.

四、稚化思維研究規(guī)劃問題

（2017年上海春考）設a，b∈R，若函數f（x）=x+ +b在區(qū)間（1，2）上有兩個不同的零點，則f（1）的取值范圍為 .

【分析】函數f（x）=x+ +b在區(qū)間（1，2）上有兩個不同的零點，即方程x2+bx+a=0在區(qū)間（1，2）上有兩個不相等的實根，g（x）=x2+bx+a ∴Δ>01<- <2g（1）>0g（2）>0？圯b2>4a-40a+2b+4>0

畫出有序實數對（a，b）所表示的區(qū)域，求出目標函數z=f（1）=a+b+1的范圍即可.

∴目標函數過點（1，-2）時，z的最小值為0；目標函數過點（4，-4）時，z的最大值為1.

∴z=f（1）的取值范圍是（0，1）.

設計意圖：本題考查函數的零點，涉及兩個參數問題，約束條件非線性的規(guī)劃問題，屬于難題.在考場上，很多學生會比較茫然，無從下手.由于2017上海高考數學首次不分文理，而線性規(guī)劃作為上海教材的必修內容，線性規(guī)劃在高中只是要求學生會簡單地分析數學問題和解決問題，旨在為學生進入大學以后更深入地學習埋下伏筆.本題對學生來說是一次不小的挑戰(zhàn)，而此題用數形結合思想來解答是較好的解法.

教學反思：作為一名高中數學教師，我覺得不僅僅要敢于稚化自己，同時也要注意分寸，把握好時機，盡量課前做足功課，選取關鍵性的問題化繁為簡.畢竟稚化的過程，勢必會增加學生的思考時間，教師應事先做到心中有數，才能提高課堂效率，答疑

解惑.

參考文獻：

[1]宗新中.退一步海闊天空：稚化思維在高中數學課堂上的應用[J].中學數學，2016（21）.

[2]王安寓.淺談稚化思維在講評課中的應用[J].高中數學教與學，2017（2）.

[3]劉鵬.稚化思維，讓概念課教學充滿活力[J].高中數學教與學，2017（2）.

[4]張建良，王名揚，錢軍先.稚化思維：內函理解與實踐探索[J].中學數學月刊，2015（11）.

[5]石三軍.稚化思維：大智若愚的教學思考[J].中學課程輔導（教師通訊），2014（11）.

編輯 溫雪蓮