劉百奇，韋常柱，雷建長(zhǎng)

(1.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心，北京 100076；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)，哈爾濱 150001)

0 引言

傳統(tǒng)的運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)采用極限偏差設(shè)計(jì)方法，要求由各類隨機(jī)偏差造成的干擾力矩在火箭飛行過(guò)程中不得超過(guò)控制系統(tǒng)的最大控制力矩，并且通過(guò)工程經(jīng)驗(yàn)選取安全系數(shù)保證控制系統(tǒng)的最大控制力矩具有一定的冗余度。這種方法具有簡(jiǎn)單、可靠的特點(diǎn)，因此在工程實(shí)踐中獲得了良好的效果和廣泛的應(yīng)用。

但是隨著認(rèn)識(shí)的不斷加深，研究人員發(fā)現(xiàn)由于各類干擾力矩的概率分布并不相同，運(yùn)載火箭在不同飛行階段，不同飛行方式和不同姿態(tài)下受到的干擾力矩情況也不相同。統(tǒng)一的安全裕度不能對(duì)系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行量化描述，為了追求安全可靠而增大余量或增加冗余度，造成了不必要的浪費(fèi)和系統(tǒng)總體性能的下降[1-2]。

為解決安全系數(shù)法帶來(lái)的問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開始探索將隨機(jī)模型與數(shù)值方法結(jié)合以尋求數(shù)值方法的概率解決模式，基于概率的相關(guān)設(shè)計(jì)方法應(yīng)運(yùn)而生，并逐步在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、熱防護(hù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)、飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、飛行器總體優(yōu)化等領(lǐng)域得到了應(yīng)用[2-4]。本文綜述了基于概率的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，提出了基于概率的運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)流程及基于概率的控制器設(shè)計(jì)方法，并進(jìn)行了初步的仿真驗(yàn)證。

1 概率控制國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)基于概率的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的研究主要從兩方面進(jìn)行：一是系統(tǒng)偏差量統(tǒng)計(jì)建模方法，二是控制方法設(shè)計(jì)。

系統(tǒng)偏差量建模是指將系統(tǒng)不確定性因素按類型進(jìn)行劃分，采用概率模型量化系統(tǒng)偏差量。由于復(fù)雜系統(tǒng)的偏差量眾多，在完成偏差量建模后，還需要采用靈敏度分析方法進(jìn)行顯著性分析，濾除對(duì)系統(tǒng)性能影響微弱的偏差量，以此降低概率設(shè)計(jì)的復(fù)雜度。

系統(tǒng)偏差量建模需要計(jì)算出偏差量所服從的概率密度函數(shù)(Probability Density Function, PDF)。目前對(duì)偏差量建模的方法通常有兩種：一是通過(guò)對(duì)偏差量測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察，在多個(gè)可能的分布中選擇最合適的分布類型；二是通過(guò)對(duì)偏差量的產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行分析，確定偏差量的分布類型。第一種方法的缺點(diǎn)在于需要大量的對(duì)比分析工作，而且很難保證所選定的概率分布能準(zhǔn)確地反映偏差量試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律。第二種方法雖然從理論上來(lái)說(shuō)比較準(zhǔn)確，但在工程應(yīng)用中，由于偏差量產(chǎn)生的原因十分復(fù)雜，除了個(gè)別簡(jiǎn)單系統(tǒng)，難以進(jìn)行精確分析。

針對(duì)系統(tǒng)偏差量建模的問(wèn)題，劉常青[5]研究了基于偏差數(shù)據(jù)分布已知/未知的、小樣本/大樣本數(shù)據(jù)的Bayes估計(jì)的統(tǒng)計(jì)建模方法。李憲東[6]基于最大熵原理確定PDF。Yen[7]利用Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)確定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)PDF類型的可行性，但并沒(méi)有給出一般的擬合方法。Li 等[8]、湯保新[9]、Vidal等[10]分別利用Hermite正交多項(xiàng)式、Legendre正交多項(xiàng)式以及有理特征函數(shù)對(duì)給定PDF進(jìn)行擬合，目的是用于計(jì)算有顯式表達(dá)式的極限狀態(tài)函數(shù)的失效概率。黃卓[11]利用混合Gamma分布建立了通用的試驗(yàn)數(shù)據(jù)PDF擬合方法。

在概率控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方面，主要的研究思路是基于輸出PDF的閉環(huán)控制。1996年，Kárn等[12]將控制量描述為PDF形式，設(shè)計(jì)了控制器，但其僅具有數(shù)學(xué)理論上的正確性，因?yàn)閮H關(guān)聯(lián)控制量的PDF無(wú)法形成閉環(huán)控制回路。受此思想啟發(fā)，Wang等[13-20]研究了基于標(biāo)準(zhǔn)輸入量的控制輸出PDF的方法，之后Wang等進(jìn)一步深入研究了多種復(fù)雜控制輸入形式下的輸出PDF控制方法，并逐漸建立了輸出PDF控制理論體系。繼而，Wang及其研究團(tuán)隊(duì)[21]對(duì)基于PDF的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性進(jìn)行了分析，并研究了二次型目標(biāo)輸出PDF和實(shí)際輸出PDF為指標(biāo)時(shí)，一種解析緊湊的輸出PDF控制形式。為了提高對(duì)隨機(jī)控制系統(tǒng)模型的描述精度，以及對(duì)輸出PDF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)描述的數(shù)值魯棒性，Wang等[22]研究了根方B-樣條描述方法以及分式B-樣條描述方法等。此外，F(xiàn)orbes等[23]提出了過(guò)程PDF控制方法，由方程描述的平穩(wěn)PDF的過(guò)程包含了完整的信息，既包括過(guò)程的動(dòng)態(tài)信息，又包含了過(guò)程擾動(dòng)的PDF。為實(shí)現(xiàn)對(duì)PDF誤差的最小化控制，國(guó)外學(xué)者設(shè)計(jì)了多種控制算法，但這些算法對(duì)計(jì)算量的要求較高，難以獲得工程應(yīng)用。為了減小計(jì)算量、便于離線設(shè)計(jì)參數(shù)、降低設(shè)計(jì)參量維數(shù)，Guo等[24-25]研究了固定控制結(jié)構(gòu)如PI或PID結(jié)構(gòu)下的控制算法，并采用LMI方法對(duì)控制設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行了求解。

當(dāng)PDF不可測(cè)時(shí)，隨機(jī)控制系統(tǒng)的目標(biāo)則變?yōu)樽钚』]環(huán)系統(tǒng)的不確定性和隨機(jī)性。當(dāng)控制系統(tǒng)的輸入滿足高斯分布特性且為線性時(shí)，可采用傳統(tǒng)的最小變分方法進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。對(duì)于其他控制輸入形式，則須對(duì)不確定性的一般測(cè)量狀態(tài)進(jìn)行分析，Yue等[26]基于最小熵原理進(jìn)行了此種狀態(tài)下的隨機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

總體來(lái)說(shuō)，國(guó)外對(duì)概率設(shè)計(jì)方法的研究相對(duì)于國(guó)內(nèi)領(lǐng)先較多，在不同的行業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，且具有較為完整的一套設(shè)計(jì)規(guī)范和流程，而調(diào)研相關(guān)文獻(xiàn)表明我國(guó)在概率設(shè)計(jì)領(lǐng)域研究較少，特別是在運(yùn)載火箭概率控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)領(lǐng)域，鮮見相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)表。

2 運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)概率設(shè)計(jì)基本思想及流程

概率設(shè)計(jì)法基本思想可以總結(jié)為對(duì)系統(tǒng)可靠度賦予概率定義，以系統(tǒng)的失效概率或可靠指標(biāo)來(lái)度量系統(tǒng)的可靠度。在采用概率設(shè)計(jì)法進(jìn)行系統(tǒng)可靠度分析時(shí)，必須首先明確系統(tǒng)的極限狀態(tài)，即當(dāng)系統(tǒng)的極限狀態(tài)分布在某一部分超過(guò)某一特定狀態(tài)后，不再滿足設(shè)計(jì)規(guī)定的某一功能要求時(shí)，則此特定狀態(tài)就稱為該功能的極限狀態(tài)。其次，概率設(shè)計(jì)需要對(duì)系統(tǒng)的極限狀態(tài)進(jìn)行評(píng)價(jià)，其在控制系統(tǒng)中可以表述為最大控制力矩大于干擾力矩的概率。因此，概率設(shè)計(jì)要求準(zhǔn)確獲得系統(tǒng)的極限狀態(tài)并對(duì)其進(jìn)行精確評(píng)價(jià)，進(jìn)而衡量系統(tǒng)的可靠度，以此來(lái)評(píng)價(jià)概率設(shè)計(jì)結(jié)果的適用性。

在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，采用概率設(shè)計(jì)方法不僅能定量分析系統(tǒng)極限狀態(tài)與可靠性之間的關(guān)系，還可以利用這種關(guān)系，建立安全系數(shù)與可靠度之間的規(guī)范，從而定量分析控制系統(tǒng)的控制能力需求，設(shè)計(jì)在概率層面上滿足精度要求的控制系統(tǒng)，在保證一定可靠度下降低受干擾火箭的最大需求控制力矩，進(jìn)而降低傳統(tǒng)裕度安全設(shè)計(jì)中過(guò)大的系統(tǒng)冗余度,減少生產(chǎn)費(fèi)用,降低系統(tǒng)復(fù)雜度，使控制系統(tǒng)更加精細(xì)化。

不同于傳統(tǒng)極限偏差設(shè)計(jì)方法，由于其采用基于概率理論并通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析的方式進(jìn)行精細(xì)化設(shè)計(jì)，因此其設(shè)計(jì)過(guò)程相較于傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法更加復(fù)雜。運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)概率設(shè)計(jì)的流程如圖1所示。

由圖1可知，運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)概率設(shè)計(jì)流程主要包括3部分內(nèi)容:1)控制系統(tǒng)偏差精細(xì)化建模及分析；2)概率密度函數(shù)建模；3)基于密度函數(shù)成型的控制系統(tǒng)概率設(shè)計(jì)。其中，控制系統(tǒng)偏差精細(xì)化建模及分析主要是通過(guò)對(duì)偏差分布的精細(xì)化描述、蒙特卡洛打靶和靈敏度分析選取對(duì)火箭飛行影響較大的偏差因素及其分布，為后續(xù)設(shè)計(jì)提供基本條件并降低設(shè)計(jì)過(guò)程的復(fù)雜性；概率密度函數(shù)建模主要是通過(guò)擬合的方法得到蒙特卡洛打靶結(jié)果的分布，為后續(xù)概率密度函數(shù)成型控制提供基礎(chǔ)；基于密度函數(shù)成型的控制系統(tǒng)概率設(shè)計(jì)主要是通過(guò)期望概率密度函數(shù)和輸出概率密度函數(shù)的權(quán)值比較并基于穩(wěn)定控制設(shè)計(jì)理論形成相應(yīng)的控制律，最后通過(guò)需求控制力矩須大于干擾力矩來(lái)判斷是否需要對(duì)控制器進(jìn)行重新設(shè)計(jì)。

3 基于概率的控制器設(shè)計(jì)方法

(1)期望概率密度函數(shù)設(shè)計(jì)

考慮到火箭實(shí)際飛行過(guò)程中受到隨機(jī)干擾的影響，控制器實(shí)際輸出姿態(tài)角誤差是概率分布的，這種情況可假設(shè)如圖2所示。

圖2中，Z表示控制器輸出誤差，且假設(shè)其服從正態(tài)分布，曲線為變量Z的概率密度函數(shù)曲線，其中，分布1和分布2表示為在相同隨機(jī)干擾下，不同控制指令的輸出誤差分布，該誤差分布可以看作是不同控制器或相同控制器在不同控制參數(shù)作用下的結(jié)果。分布1和分布2之間的關(guān)系為μ1=μ2=0，σ1>σ2?；鸺藨B(tài)穩(wěn)定的標(biāo)志可以表述為Z≈0，或者說(shuō)控制器輸出誤差在大概率下保持一個(gè)很小的范圍。從圖2中可以看出，分布2比分布1的變量Z在坐標(biāo)原點(diǎn)附近的分布更加集中，因此控制器2的魯棒性更強(qiáng)。

從上述討論中可知，在進(jìn)行火箭控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，首先需要考慮的是設(shè)計(jì)期望輸出姿態(tài)角誤差的概率密度函數(shù)，即將期望輸出角誤差概率密度函數(shù)設(shè)計(jì)為μ=0，σ足夠小的分布形式，然后通過(guò)設(shè)計(jì)合適的控制方法，使控制器輸出的火箭姿態(tài)控制量u(k)(如舵偏、推力矢量等)能夠使系統(tǒng)輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)與期望輸出角誤差概率密度函數(shù)相符合。

(2)輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)擬合

通過(guò)B樣條概率密度函數(shù)擬合方法，火箭在隨機(jī)復(fù)合干擾下的輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)可表示為[13]：

e(y,U(k-1))

(1)

且

(2)

其中，Bi(y)為定義在多維區(qū)間[a,b]n上的多元基函數(shù)；Ω為由輸出姿態(tài)角誤差構(gòu)成的空間；wi(k)為t=kT時(shí)刻輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)的擬合權(quán)值，|e0|≤δ；y是控制系統(tǒng)輸出，y∈[a,b]；μ(k)是采樣時(shí)刻的控制輸入；U(k-1)={μ(0),μ(1), …,μ(k-1)}，為系統(tǒng)t=kT時(shí)刻之前的控制輸入，即該時(shí)刻的實(shí)際輸出角誤差概率密度函數(shù)γ(y,U(k-1))與過(guò)去的輸入相關(guān)。

(3)概率系統(tǒng)狀態(tài)空間

對(duì)于隨機(jī)復(fù)合干擾作用下飛行的火箭而言，在不同推力矢量控制序列作用下輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)不同，概率密度函數(shù)的擬合權(quán)值也不同。因此,擬合權(quán)值wi和姿態(tài)控制量μi之間存在動(dòng)態(tài)關(guān)系，即

W(k+1)=AW(k)+Bu(k)

(3)

或

(4)

將式(2)代入式(4)得：

(5)

將式(2)代入式(1)得輸出方程：

(6)

因此建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間為：

(7)

G、H、E需要由標(biāo)準(zhǔn)遞推最小二乘法等辨識(shí)方法獲得。

(4)系統(tǒng)矩陣辨識(shí)

考慮狀態(tài)方程：

V(k+1)=GV(k)+Hu(k)

(8)

將其轉(zhuǎn)化為如下形式：

(9)

式(9)為進(jìn)行遞推最小二乘法的標(biāo)準(zhǔn)形式，且

(10)

通過(guò)使用如下標(biāo)準(zhǔn)遞推最小二乘算法：

(11)

求出系統(tǒng)矩陣G和H，一般認(rèn)為擬合精度足夠，忽略擬合誤差影響，則E可由式(12)求出：

(12)

(5)基于最優(yōu)控制原理的概率控制器設(shè)計(jì)

為了通過(guò)推力矢量等控制序列μ(k)控制火箭在隨機(jī)復(fù)合干擾下的輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)，設(shè)期望輸出角誤差的概率密度函數(shù)為g(y)，系統(tǒng)的實(shí)際輸出角誤差概率密度函數(shù)為γ(y,U(k-1))，將擬合權(quán)值V(k)作為被控制量。將期望輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)g(y)同樣表示成B樣條基函數(shù)擬合的形式：

g(y)=C(y)Vg+L(y)

(13)

則系統(tǒng)的控制量μ(k)應(yīng)滿足：

μT(k)Rμ(k)

(14)

式(14)為典型的LQR問(wèn)題，可通過(guò)求解黎卡提方程得到：

(15)

可得到滿足控制要求的反饋控制律：

μ(k)=K(k)(V(k)-Vg)

(16)

其中，

K(k)=-(R+HTP(k+1))-1HP(k+1)G

上述μ(k)即是使輸出概率密度函數(shù)與期望概率密度函數(shù)滿足指標(biāo)約束的最優(yōu)控制量，將其直接作為火箭執(zhí)行器的控制指令完成火箭的姿態(tài)控制。μ(k)的計(jì)算步驟為：

1)置k=1，在t=kT時(shí)刻采樣求γ(y,U(k-1))；

2)通過(guò)B樣條基函數(shù)擬合γ(y,U(k-1))得到V(k)；

3)根據(jù)姿態(tài)角誤差精度要求設(shè)計(jì)g(y)，通過(guò)B樣條基函數(shù)擬合g(y)得到Vg(k)；

4)通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)遞推最小二乘算法求θ、G、H、E；

5)根據(jù)式(16)計(jì)算μ(k)，k=k+1，返回a。

綜上，基于最優(yōu)控制的概率控制器結(jié)構(gòu)如圖3所示。

4 概率控制仿真分析

某運(yùn)載火箭縱向運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

(17)

輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)權(quán)值與控制量間的動(dòng)態(tài)關(guān)系為：

V(k+1)=GV(k)+Hμ(k)

(18)

經(jīng)過(guò)最小二乘方法辨識(shí)得到：

在初始時(shí)刻，姿態(tài)角誤差的概率密度函數(shù)如圖4所示，可以看出，在正態(tài)分布偏差F作用下，輸出姿態(tài)角誤差的分布比期望分布更加分散，控制的目的是使輸出概率密度函數(shù)跟蹤期望分布。

基于最優(yōu)控制的控制器仿真結(jié)果如圖5～圖7所示。從圖5可以看出輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)在最優(yōu)控制器作用下逐漸趨近于一個(gè)穩(wěn)定的分布，從圖6可以看出，輸出姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)的擬合權(quán)值與期望姿態(tài)角誤差概率密度函數(shù)的擬合權(quán)值之差逐漸趨近于0，實(shí)現(xiàn)了對(duì)期望分布的跟蹤，同時(shí)從圖7可以看出，控制量趨向穩(wěn)定，因此基于最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)概率密度成型控制。

5 結(jié)論

本文綜述了基于概率的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，梳理了運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)概率設(shè)計(jì)的基本流程，并論述了基于概率的運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了基于最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)概率密度成型控制。表明通過(guò)概率密度函數(shù)成型控制的方法能夠?qū)崿F(xiàn)控制系統(tǒng)的精細(xì)化設(shè)計(jì)。但是，本文當(dāng)前的研究只是初步驗(yàn)證了簡(jiǎn)單系統(tǒng)模型和價(jià)值函數(shù)的情況，后續(xù)還需結(jié)合運(yùn)載火箭精細(xì)化模型，開展各類隨機(jī)偏差影響分析及其概率密度函數(shù)建模，探索研究概率控制在運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)領(lǐng)域的工程實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，從而為我國(guó)運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)的精細(xì)化設(shè)計(jì)提供參考。

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