李明超，張夢溪

（水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津大學，天津　300354）

1　研究背景

在水利工程中，數(shù)值仿真計算已成為工程設計和運行評價的重要環(huán)節(jié)，對于結構和邊界復雜的重力壩、拱壩等水工結構，常采用有限元分析（Finite Element Analysis，F(xiàn)EA）求解計算［1-4］。FEA方法需將計算機輔助設計（Computer Aided Design，CAD）建立的幾何模型，導入計算機輔助工程（Computer Aided Engineering，CAE），并利用有限元進行工程分析。但實際上，幾何模型與分析模型之間在概念和技術層面均存在較大差異［5］。二者建立基于兩個不同的平臺，分析模型由幾何模型簡化與網(wǎng)格離散化處理后形成，但這一過程不但會舍棄精細的幾何信息，造成求解失真，而且復雜耗時。據(jù)美國Sandia國家實驗室統(tǒng)計，整個仿真分析過程約80%時間用于模型操作與網(wǎng)格劃分，僅20%用于求解分析［6］。“精細化”分析是數(shù)值仿真的趨勢所在，“高效率”又是大型工程問題求解的必然要求，而水利工程地形條件不規(guī)則、水工建筑物體量龐大、各部件尺度不一，導致傳統(tǒng)有限元建模方法繁瑣耗時，且需要進行大量的簡化，模型間信息的單向傳輸更是增加了網(wǎng)格修改的難度。因此，有限元分析在一定程度上已難以滿足水工結構“精細化”與“高效率”分析的要求。

為實現(xiàn)CAD與CAE的集成統(tǒng)一，Hughes等［7］以計算機輔助設計的樣條基函數(shù)作為形函數(shù)提出了等幾何分析（Isogeometric Analysis，IGA）的思想，將傳統(tǒng)的有限元方法中的幾何模型和分析模型統(tǒng)一到同一個平臺，無需二次離散建模，不僅省略了耗時較多的自定義網(wǎng)格剖分過程，而且將設計模型中的幾何連續(xù)性保留到計算物理場中，提高了數(shù)值解的精度，節(jié)省了計算自由度。等幾何分析方法一經(jīng)提出便引起廣泛關注，其理論研究已取得較大進步，主要體現(xiàn)在：幾何造型的樣條理論［6］、控制網(wǎng)格的局部細化策略［8］、曲面裁剪與拼接［9］、數(shù)值積分方案［10］以及邊界條件施加［11-12］等技術的不斷發(fā)展；為發(fā)揮IGA的求解優(yōu)勢，國內(nèi)外學者開發(fā)了基于等幾何分析的CAE軟件平臺［13-14］，并成功地將等幾何方法與有限元方法結合計算［15-16］。目前，等幾何方法已成功應用于接觸分析［17］、流體力學［18］、結構優(yōu)化［19］等多類物理問題的求解。在水利工程領域，張勇等［20］將等幾何分析的思想引入比例邊界有限元中，提出了比例邊界等幾何方法，并將其應用于大壩的地震響應分析與求解?？傊葞缀畏治觯↖GA）的提出實現(xiàn)了幾何模型與分析模型的同一表達，在求解過程中相對于傳統(tǒng)有限元分析（FEA）優(yōu)勢明顯，具有較高的工程應用價值。非均勻有理B樣（Non-Uniform Rational B-Spline，NURBS）函數(shù)比傳統(tǒng)的網(wǎng)格建模方式能夠更好地控制物體表面的曲線度，為處理復雜模型形狀提供了極大的靈活性和精確性，目前，基于NURBS的參數(shù)化建模技術已成功解決水工結構、復雜地質(zhì)地形的精細化幾何建模問題［21］，但是等幾何分析方法在水利工程領域應用較少，該方法的能否同時實現(xiàn)“精細化”與“高效率”的建模與求解需要進一步驗證，圍繞等幾何分析思想展開的水利工程領域數(shù)值模擬有待深入。

考慮到NURBS技術的精細化建模特性與等幾何分析方法的高效率集成特性，以NURBS模型為基礎，對等幾何分析方法在水工結構數(shù)值仿真分析的適用性進行探索，通過消除有限元方法幾何模型與分析模型間的差異，為解決考慮復雜地形地質(zhì)條件下的大型水工結構建模與仿真計算難以有效耦合的問題提供了新的手段。通過對比IGA與FEA基本思想、網(wǎng)格模型生成等過程的差異，展示了IGA在建模過程的“精細化”與“高效率”的優(yōu)勢；進而以混凝土重力壩數(shù)值計算為例，建立適用于等幾何分析的多片幾何模型，改變模型的單元密度，分別從“計算精度”和“仿真效率”兩個方面對比分析IGA與FEA的仿真計算結果，來驗證IGA建模與計算分析的“精細化”與“高效率”。

2　等幾何分析與有限元分析方法對比

2.1等參元分析思想在利用有限元方法求解實際工程問題時，通常采用不規(guī)整單元離散逼近形狀不規(guī)則的幾何模型，但直接計算不規(guī)整單元比較困難，需利用坐標系變換、單元映射等技術，通過幾何規(guī)整單元（如：矩形單元、正六面體單元等）推導對應幾何不規(guī)整單元的計算結果［22］，如圖1所示，基于圖1左圖進行簡便的數(shù)值積分等計算，隨后將其計算結果映射到圖1右圖中，即得到求解區(qū)域的數(shù)值解。為解決CAD/CAE的集成問題，消除幾何模型與分析模型間的差異，同時考慮到等參概念可應用于包括B樣條和NURBS函數(shù)在內(nèi)的多種幾何建模函數(shù)，因此，Hughes等［7］提出采用幾何建模的樣條基函數(shù)（如：NURBS、T樣條等）建立精確的幾何模型，并使用相同的樣條基函數(shù)作為解空間的基函數(shù)進行求解，這就是等幾何分析的等參元思想［7，23］。等參元思想的引入，將待求解的物理量（如位移、溫度等）表示為與幾何模型描述相同的基函數(shù)的表現(xiàn)形式，實現(xiàn)了幾何模型與分析模型的統(tǒng)一。

圖1　矩形單元映射為任意四邊形單元［22］

傳統(tǒng)有限元方法在應用時同樣采用等參元的思想，IGA與FEA等參元思想主要區(qū)別在于：（1）FEA首先采用多項式基函數(shù)逼近未知解，再利用該基函數(shù)逼近已知的幾何模型，而IGA則先建立精確幾何模型，再利用建立幾何模型的基函數(shù)進行求解；（2）FEA求解過程中使用的基函數(shù)和網(wǎng)格離散后的分析模型通過分段多項式來定義，IGA方法在幾何建模和求解分析時使用相同的樣條基函數(shù)，實現(xiàn)了幾何模型與分析模型的同一表達；（3）FEA的等參變換是基于單元之間的映射，見圖1，而IGA的等參變換是基于整個區(qū)域間的映射，區(qū)域內(nèi)往往包括多個等幾何單元（見圖2），這樣就降低了映射的個數(shù)，減少了計算量，單元間的連續(xù)同時提升了區(qū)域內(nèi)數(shù)值解的連續(xù)性。

圖2　矩形參數(shù)域映射為模型域

2.2計算分析過程差異同傳統(tǒng)的數(shù)值分析方法一樣，等幾何分析仍是通過前處理、求解計算和后處理三個過程得到偏微分方程的近似解。FEA與IGA的求解流程如圖3所示［6］，二者差異主要體現(xiàn)在：（1）利用計算機輔助設計（CAD）構造適合分析的幾何模型（Analysis Suitable Geometry，ASG）后，通過前處理將ASG模型進行網(wǎng)格離散時，F(xiàn)EA需經(jīng)過二次建模過程生成有限元網(wǎng)格，而IGA網(wǎng)格在建模時自動生成，可節(jié)省大量的分析時間；（2）FEA的網(wǎng)格離散是利用近似幾何對求解域進行逼近，IGA則是對求解域的精確幾何表達，二者網(wǎng)格離散后主要區(qū)別如表1所示；（3）利用IGA與FEA求解后，通過后處理手段來檢查計算精度，若不滿足要求，則需對分析模型的網(wǎng)格細化處理，但兩種方法網(wǎng)格細化應用的對象不同，F(xiàn)EA在網(wǎng)格細化時需更改ASG模型，且信息為單向傳遞，修改模型復雜耗時，而IGA只需對分析模型進行操作即可，無需重復前處理的過程，極大地提高了仿真效率。

圖3　FEA與IGA仿真分析過程［6］

表1　IGA與FEA主要區(qū)別

3　基于NURBS建模的等幾何分析算法

3.1NURBS模型

3.1.1基礎幾何模型CAD幾何表示主要有顯式、隱式以及參數(shù)化等表示方法，其中，參數(shù)化表示因其良好的適用性和可操作性已成為主要建模方式［23-24］。NURBS是目前幾何建模應用最廣的參數(shù)化函數(shù)，故考慮將其作為等幾何分析的基函數(shù)。NURBS建模以節(jié)點向量和控制點的計算為核心，其中節(jié)點向量由一組非遞減的實數(shù)組成，用來描述曲線參數(shù)空間的參數(shù)，定義為n為基函數(shù)（控制點）個數(shù)，p為B樣條的階數(shù)。B樣條基函數(shù)通過遞推公式定義如下［7，23］：

為實現(xiàn)精確表示幾何模型，在B樣條的基礎上，引入權因子ωi，通過有理化方式構造出NURBS，其基函數(shù)定義如下［7，23］：

如圖4（a）所示，對于給定的n次樣條和節(jié)點向量I，可構建n個p階NURBS基函數(shù)，將n個控制頂點Pi與 NURBS基函數(shù)線性組合可確定p階 NURBS曲線為［7，23-24］：

對于二維模型，給定一張n×m的網(wǎng)格控制頂點Pij(i=1，2，…，n；j=1，2，…，m)；節(jié)點矢量如圖4（b）所示，可確定NURBS曲面為［23］：

如圖4（c）所示，給定n×m×l個控制頂點Pijk(i=1，2，…，n；j=1，2，…，m；k=1，2，…，l)與相應的節(jié)點矢量NURBS實體可通過下式定義［23］：

圖4　NURBS幾何模型

3.1.2多片幾何模型在實際情況下，單個NURBS曲面片難以處理材料介質(zhì)不均勻以及截面形式復雜的多連通區(qū)域問題，即使能夠只用一個NURBS片表示幾何模型，由于幾何本身的結構變化，也可能形成極端扭曲的網(wǎng)格，并影響單元計算。因此，有必要利用多個NURBS片拼接定義幾何模型，而將其拆分為多個片，能夠有效減少扭曲單元，形成更加自然光滑的網(wǎng)格。

多片等幾何模型建立的基本思想為：求出每塊NURBS曲面片的系數(shù)矩陣，再通過連通數(shù)組將其組裝成總體系數(shù)矩陣。如圖5所示，為兩個NURBS曲面片的拼接，上標代表該控制點所屬的面片，下標f代表交接處的控制點，下標n代表非交接處的控制點。則控制點可表示為［6］：

若通過插入節(jié)點對面片2細化處理，則細化后控制點可表示為［7］：

因此，為滿足面片交接處連續(xù)，對于兩個NURBS曲面片控制點處的位移應滿足：

圖5　NURBS模型面片拼接

3.2IGA建模

3.2.1等幾何離散建模網(wǎng)格離散是前處理的關鍵一環(huán)，需將求解域離散為多個單元。傳統(tǒng)的數(shù)值方法的計算分析模型均通過操作幾何模型，進行二次建模得到，這一過程不僅需要較大的工作量，而且會丟失原有模型的幾何特征，尤其是自定義單元在單元連接處將會喪失原有的幾何連續(xù)性，直接影響求解的精度。不同于FEA，等幾何離散生成的NURBS單元為參數(shù)化建模時自動生成，并非二次建模時生成，每一個NURBS單元都對應參數(shù)域中一個非零跨距的節(jié)點區(qū)間。如圖6所示，以雙二次的NURBS單元為例，將矩形模型離散為4個NURBS單元，每個單元與9個控制點關聯(lián)，相鄰兩個NURBS單元共用6個控制點。利用等幾何模式對幾何模型離散，既能使單元間保持高階連續(xù)，又節(jié)省了二次建模的過程，計算分析模型可直接繼承于前處理中的設計模型（幾何模型）。

圖6　等幾何離散生成的雙二次NURBS單元

3.2.2網(wǎng)格細化為提高求解精度，需對分析模型的控制網(wǎng)格精細化處理，NURBS模型網(wǎng)格細化方式主要有h-細化、p-細化和k-細化三種策略，細化過程中幾何表達不變，但插值位置和連續(xù)性有所區(qū)別。h-細化是運用節(jié)點插入方法在原節(jié)點矢量中插入新的節(jié)點值，將幾何形體的單元尺寸縮小，使模型參數(shù)域的自然網(wǎng)格面片和模型控制點增多，從而實現(xiàn)模型網(wǎng)格細化；p-細化是保持原網(wǎng)格固定的情況下，提升基函數(shù)的階數(shù)，對原有節(jié)點矢量的節(jié)點值進行相應的重復，以改善求解精度；k-細化是基于節(jié)點插入（h-細化）和基函數(shù)升階（p-細化）而提出的網(wǎng)格細化方法，是屬于等幾何分析特有的網(wǎng)格細化方法。圖7所示為k-細化過程中基函數(shù)的變化情況，將線性單元通過先升階后插值的方式細化為二次單元，且單元間保持C1連續(xù)性。

圖7　k-細化策略基函數(shù)變化過程

在有限元分析中，網(wǎng)格離散主要是對求解區(qū)域進行逼近，在網(wǎng)格密度較小的情況下，分析模型與幾何模型差異較大，尤其是對于包含曲線的求解區(qū)域，分別建立不同密度的1/4圓環(huán)網(wǎng)格模型如圖8所示，曲線部分被簡化為多段直線，失去了幾何的精確性，隨著網(wǎng)格密度的增加，多段直線才趨近于曲線。因此，針對復雜的水工結構、地質(zhì)模型進行分析時，F(xiàn)EA建模難度大、網(wǎng)格離散后精度有限、模型調(diào)整復雜耗時等缺陷愈發(fā)明顯。相比而言，等幾何分析離散的分析模型均是對求解區(qū)域的精確幾何表達，且在網(wǎng)格細化過程中，僅在幾何模型內(nèi)部進行節(jié)點插入和基函數(shù)升階等操作，不改變幾何外形，網(wǎng)格細化后的模型可直接求解計算，節(jié)省了大量復雜繁瑣的工作，可以說等幾何分析在前處理過程中消除了FEA幾何模型與分析模型在幾何表達方面的差異，彌補了FEA建模的缺陷。

圖8　網(wǎng)格細化分析模型變化情況

3.3IGA單元分析與整體分析通過等幾何離散得到分析模型后，與FEA原理相近，首先對單元進行分析，以位移為例，根據(jù)等參元思想，將變量場描述為［20，22］：

式中：ue為單元位移場；Ne為單元幾何形狀矩陣；qe為單元控制點位移列陣。

將單元的勢能對qe取一階極值，得到單元剛度方程為［20，22］：

單元剛度矩陣可表示為［20］：

等效荷載矩陣為面力項Pte與體力項之和［20］：

式中：Be為單元幾何函數(shù)矩陣；D為彈性系數(shù)矩陣；分別為面荷載與體荷載。

將單元分析結果按索引編號逐個裝配到整體矩陣中，得到關于所有控制點變量的整體方程［20-22］：

式中：K為整體剛度矩陣；q為控制點位移列陣；P為控制點等效荷載列陣。

對邊界條件進行處理，求解線性方程組，即可得到控制點變量，從而求得位移等未知變量。

3.4IGA算法實現(xiàn)根據(jù)以上分析，IGA與FEA最大的不同在于基函數(shù)的選擇，主要體現(xiàn)在前處理與求解分析過程中。因此，等幾何分析可基于成熟的有限元分析進行改進，應用于不同領域工程問題的求解，參照有限元分析過程，繪制基于NURBS的等幾何分析算法實現(xiàn)步驟如圖9所示。

（1）建模前處理。利用NURBS幾何造型技術建立適合分析的幾何模型（ASG）模型，結構相對簡單的模型可通過NURBS工具箱建立，對于復雜的幾何模型則可利用Rhinoceros等參數(shù)化建模軟件生成，得到的幾何模型由控制點和節(jié)點向量構成，自動生成初始單元網(wǎng)格；為提高求解精度，采用h、p、k三種策略細化單元網(wǎng)格，得到高密度、高精度、高階的連續(xù)網(wǎng)格單元，并將控制點、基函數(shù)等關鍵信息傳遞給求解分析模塊。

（2）計算求解。引入等參元思想，利用MATLAB提取分析模型的單元網(wǎng)格、NURBS基函數(shù)等信息，將待求解變量（如位移、溫度等）表示為建模時應用的NURBS基函數(shù)與相關系數(shù)組合的形式，相關系數(shù)通常為控制頂點變量；通過數(shù)值積分等手段得到單元系數(shù)矩陣，遍歷NURBS單元裝配生成整體矩陣，施加邊界條件后，求解整體控制方程，得到數(shù)值解。

（3）后處理分析。將控制頂點的計算結果在NURBS單元內(nèi)直接采樣，利用軟件ParaView對結果進行后處理，若仿真結果精度滿足要求，則輸出仿真結果。若精度不滿足要求，無需通過前處理調(diào)整ASG模型，直接對模型細化處理后求解即可，這一過程信息交互方便，克服了FEA信息的不足，實現(xiàn)了CAD/CAE的集成。

4　算例對比分析

4.1等幾何模型建立以某水電站碾壓混凝土重力壩為例進行等幾何數(shù)值仿真分析，旨在通過此算例說明IGA在求解上的優(yōu)勢。某工程以發(fā)電為主，電站為一等工程，工程規(guī)模為大（1）型，工程樞紐主要由碾壓混凝土重力壩、壩身泄洪表孔和泄洪放空底孔等泄洪建筑物以及左岸折線壩身進水口和地下引水發(fā)電系統(tǒng)組成，水庫正常蓄水位1619 m，相應庫容14.18億m3，選取計算壩段高114 m，建立初始的多片等幾何模型，如圖10所示，每片模型至少包含一個單元。

圖10　碾壓混凝土重力壩等幾何模型

壩體碾壓混凝土材料參數(shù)：彈性模量28 GPa、泊松比0.167、密度2400 kg/m3；地基基巖材料參數(shù)：彈性模量22 GPa、泊松比0.25。利用k-細化策略對網(wǎng)格細化，得到分網(wǎng)方案一到方案五，5種方案每片模型網(wǎng)格數(shù)分別為：4、16、64、256、1024個。圖11所示為方案二的網(wǎng)格模型。為便于對比研究，同時建立網(wǎng)格密度相同的有限元分析模型。模型建立完成后，確定模型的邊界條件并施加如圖12所示的靜力荷載，包括：壩體自重、上游水壓力、壩底揚壓力、基巖的位移約束等。采用等幾何分析（IGA）與有限元分析（FEA）兩種方法對碾壓混凝土重力壩進行求解分析，其中IGA方法采用2階、3階和4階NURBS基函數(shù)求解，F(xiàn)EA則采用4節(jié)點平面單元（一次有限元）和8節(jié)點平面單元（二次有限元）進行求解分析。

4.2IGA與FEA數(shù)值仿真計算對比分析

4.2.1計算精度對比分析通過IGA與FEA的靜力求解，得到如圖13所示的碾壓混凝土重力壩位移云圖。從圖13可以發(fā)現(xiàn)，等幾何分析方法可以得到連續(xù)的物理場分布，壩體最大位移均出現(xiàn)在壩頂，IGA求解得到最大位移為1.029 cm，F(xiàn)EA計算得到最大位移為1.031 cm，兩種方法計算得到結果接近，表明IGA結果可作為工程參考。

圖11　方案二等幾何網(wǎng)格模型

圖12　加載示意圖

圖13　碾壓混凝土重力壩位移云圖（單位：m）

在相同荷載的作用下，改變單元密度，典型點位移與應力數(shù)值解隨單元數(shù)增加的變化趨勢分別如圖14、圖15所示，對比不同方法的計算結果可以得出以下結論：（1）無論是IGA方法還是FEA方法，隨著網(wǎng)格密度的增加，典型點數(shù)值解的精度不斷提高，并逐漸趨于穩(wěn)定值，符合數(shù)值求解的一般規(guī)律；（2）對于IGA，選取基函數(shù)的階次越高，低網(wǎng)格密度時數(shù)值解越接近于穩(wěn)定值，收斂速度越快，即求解精度排序為：4階IGA＞3階IGA＞2階IGA；（3）對于FEA，利用8節(jié)點平面單元（二次有限元）計算結果精度高于4節(jié)點平面單元（一次有限元）且收斂速度更快；（4）以收斂速度和計算精度為指標，將選用的數(shù)值分析方法按收斂速度排序為：4階IGA＞3階IGA＞2階IGA≈2次FEA＞1次FEA。

根據(jù)上述結果，選取2階IGA、2次FEA和1次FEA的計算結果并得到圖16所示的壩體水平截面應力分布。從圖16可以看出，當網(wǎng)格密度較低時，因控制點或節(jié)點數(shù)量相對較少，出現(xiàn)明顯的折線，數(shù)據(jù)離散性大；隨著單元數(shù)的增加，水平截面的應力分布曲線逐漸趨于平滑，結果更加可靠。

圖14　位移數(shù)值解隨單元數(shù)的變化規(guī)律

圖15　應力數(shù)值解隨單元數(shù)變化規(guī)律

圖16　壩體水平截面應力分析結果

為充分比較IGA與FEA方法的計算精度，選取每邊16等分和32等分的壩體截面應力分布，如圖17所示。從圖17可以看出，利用2階IGA、2次FEA和1次FEA得到的壩體內(nèi)部應力值接近，均能較準確地反映應力分布規(guī)律，但1次FEA得到的靠近壩體邊緣位置應力分布發(fā)生轉折，結果明顯失真；2階IGA與2次FEA得到的整個截面應力分布一致性較高。因此，綜合比較IGA與FEA數(shù)值解的收斂速度與計算精度，IGA計算結果整體上優(yōu)于FEA，其中2階IGA與2次FEA結果較為接近，二者均優(yōu)于1次FEA，計算精度排序為：4階IGA＞3階IGA＞2階IGA≈2次FEA＞1次FEA。

圖17　壩體水平截面應力分析結果

4.2.2求解效率對比分析根據(jù)上述分析可知，2階IGA與2次FEA數(shù)值解的收斂速度和求解精度較為接近，本節(jié)主要對兩類方法的求解效率進行分析。無論是IGA還是FEA，分析模型的自由度數(shù)直接影響仿真計算的成本和時間，自由度數(shù)的大幅增加必然會造成求解時間的增加和計算資源的不合理分配，因此，模型的自由度數(shù)能夠直接衡量數(shù)值分析方法的求解效率。表2為2階IGA、2次FEA和1次FEA采用分析模型的單元個數(shù)與自由度數(shù)。

表2　分析模型的單元個數(shù)與自由度數(shù)

圖18為分析模型自由度數(shù)隨網(wǎng)格密度的變化規(guī)律。從圖18可以看出，隨著單元數(shù)的增加，自由度數(shù)不斷上升，在3種選用的計算模型中，2次FEA自由度數(shù)上升速度最快，求解效率較低；相比之下，2階IGA與1次FEA計算自由度上升速度均較慢，求解效率相對較高，三者求解效率排序為：2次FEA＞2階IGA≈1次FEA。綜合考慮計算精度與求解效率，2階IGA的計算精度和收斂速度高于1次FEA且與2次FEA接近，利用2次FEA模型求解時，自由度較高，求解時間較長、效率較低。綜合以上分析，2階IGA不但具有計算精度高和數(shù)值解收斂速度快的特點，在模型求解效率方面也表現(xiàn)出優(yōu)良特性。因此，IGA相比FEA在計算方面體現(xiàn)出較大的優(yōu)勢。

圖18　自由度數(shù)隨網(wǎng)格密度的變化規(guī)律

5　結論

本文以傳統(tǒng)有限元方法為參照，實現(xiàn)了等幾何分析算法的建模、計算求解與分析，將等幾何分析方法應用于碾壓混凝土重力壩的應力數(shù)值分析，通過IGA與FEA的仿真計算結果對比，表明IGA在模型建立與求解計算兩方面優(yōu)勢明顯：（1）等幾何分析方法統(tǒng)一了有限元分析中幾何模型與分析模型，消除了二者的差異，實現(xiàn)了CAD/CAE的集成；（2）適用于等幾何方法的分析模型具有幾何精確性，無需二次建模分網(wǎng)的過程節(jié)省了仿真分析時間，且單元間保持高階連續(xù)，網(wǎng)格細化時仍然保持對幾何特征的精確表達；（3）等幾何方法的數(shù)值解收斂速度快、計算精度高，其中2階IGA數(shù)值解的精度優(yōu)于普遍采用的1次FEA，與2次FEA接近；（4）等幾何方法的求解效率高、仿真成本小，對于計算精度接近的2階IGA與2次FEA，2階IGA計算自由度數(shù)較少，效率更高。

等幾何分析方法已在多個工程領域應用的過程中表現(xiàn)出優(yōu)良的特性，考慮其建模與求解的優(yōu)勢，該方法有望解決考慮復雜地形地質(zhì)條件下的大型水工結構三維建模與計算難以有效耦合的問題，實現(xiàn)跨尺度建模、精細化分析，以及取代有限元分析應用于水利工程中溫度場、滲流場、動力分析和水力學等問題的求解分析。因此，對于等幾何分析方法在復雜結構建模與高效計算分析方面還需不斷深入研究。

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