裴生雷　賈國慶　葉利娟

1(青海民族大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院　青海 西寧 810007) 2(青海民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院　青海 西寧 810007)

0　引　言

在傳統(tǒng)的分類任務(wù)中，人們很少去考慮數(shù)據(jù)的有序性。然而現(xiàn)實世界中很多任務(wù)都存在這類問題，特征值的序關(guān)系，可以更好地描述數(shù)據(jù)本身的特點，使用戶獲得潛在的偏好信息。在解決多屬性決策問題時，有序特征的評價指標(biāo)就顯得非常重要。這些指標(biāo)可以用于有限決策方案的排序擇優(yōu)問題，可以應(yīng)用于信用評價、顧客滿意度評估、社會調(diào)查統(tǒng)計、故障診斷等領(lǐng)域[1-5]。在這里我們舉一個例子，來說明數(shù)據(jù)本身具備的有序特征。假設(shè)信用評價任務(wù)中存在三個條件屬性(歷史信譽、收入和學(xué)歷)用于描述客戶，決策屬性是信用等級。在這里，如果客戶X的三個條件屬性值比客戶Y的好，那么X的信用等級也不比Y的差。這類問題中，對象的條件屬性和決策屬性存在序關(guān)系，即屬性值之間是可以比較大小。目前，在機器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘和智能決策領(lǐng)域中越來越引起研究人員的重視。

有序分類問題中，隨著研究的深入和發(fā)展，特征評價指標(biāo)也得到了改進(jìn)和發(fā)展。有序條件熵、排序互信息、排序基尼不純度可以很好地判斷排序一致性，進(jìn)而獲取有效的特征，完成數(shù)據(jù)的分類或者決策模型的優(yōu)化[6-7]。但是，模型由于應(yīng)用不同有序判別指標(biāo)，導(dǎo)致分類任務(wù)的效果有所不同。這三個指標(biāo)，在決策樹模型中應(yīng)用較多，例如經(jīng)典C4.5算法使用的評價指標(biāo)是信息增益，即互信息；CART決策樹使用的評價指標(biāo)是基尼不純度。在實際應(yīng)用中應(yīng)考慮有序特征評價指標(biāo)的選擇問題，文中主要針對這三個有序特征判別指標(biāo)進(jìn)行分析，以方便用戶更好的根據(jù)實際需求選擇必要的指標(biāo)，完成特征評價。

1　有序特征評價指標(biāo)

本文引入三個有序分類的特征評價指標(biāo)。它們是目前應(yīng)用比較廣泛的特征評價指標(biāo)，較好地反映兩個變量之間的排序一致性，即反映出變量值之間序的關(guān)系，特征值好的樣本應(yīng)該被分到好的類別中。

假設(shè)給定有序數(shù)據(jù)集U={x1,x2,…,xn}，特征集A={a1,a2,…,am},B?A，Y是一組類標(biāo)記，并且有yi是xi的類標(biāo)記。

1.1　有序條件熵

有序條件熵是胡清華教授等于2010年提出的用于有序分類的判別指標(biāo)，能夠反映特征值之間的序關(guān)系，用于評價特征質(zhì)量[6]。在香農(nóng)熵基礎(chǔ)上定義的有序條件熵，考慮了對象之間的序結(jié)構(gòu)，可以有效地度量特征和決策之間的排序一致性。由于繼承了香農(nóng)熵的魯棒性特點，使得單個噪聲樣本不會引起概率分布的變化。香農(nóng)熵是數(shù)據(jù)不確定性的度量，不確定程度越高，熵值越大。

有序條件熵是基于概率分布函數(shù)計算的，由于屬性值之間存在序關(guān)系，因此被分為向上的有序條件熵和向下的有序條件熵。給定屬性集C，且C?A，如果C已知的情況，B的不確定性信息表示為關(guān)于C的向上的有序條件熵或者是向下的有序條件熵，形式化定義如下[6]。

向上的有序條件熵：

向下的有序條件熵：

1.2　排序互信息

排序互信息的提出有效地改進(jìn)了有序條件熵，能夠有效地刻畫變量之間單調(diào)一致性程度，因此可以應(yīng)用于多標(biāo)準(zhǔn)決策屬性的相關(guān)性和依賴性分析，以及有序分類學(xué)習(xí)。排序互信息受互信息的啟發(fā)而提出，依據(jù)排序條件熵和排序熵的形式化定義推導(dǎo)產(chǎn)生。它反映了對象根據(jù)屬性值提供的信息進(jìn)行排序的一致性程度，而不是分類的一致性程度。

假設(shè)給定有序數(shù)據(jù)集U={x1,x2,…,xn}，包含屬性集A，其中B?A，C?A，數(shù)據(jù)集U關(guān)于B和C的排序互信息，形式化定義如下[6]。

向上的排序互信息：

向下的排序互信息：

1.3　排序基尼不純度

基尼不純度與熵都是數(shù)據(jù)不確定性的度量，兩者的主要區(qū)別是熵達(dá)到頂峰的過程要慢一些，熵對于混亂數(shù)據(jù)集合的判罰要更重一些?；岵患兌葘碜约系哪撤N結(jié)果隨機應(yīng)用于某一數(shù)據(jù)項的預(yù)期誤差率，基尼不純度越小，純度越高，集合的有序程度越高，分類效果越好，它主要應(yīng)用于CART分類回歸樹。2015年，Masala受到排序互信息的啟發(fā)，基于基尼不純度提出了排序基尼不純度作為單調(diào)分類的判定指標(biāo)[7]。

排序基尼不純度使用優(yōu)勢集替代了傳統(tǒng)基尼不純度的等價類，形式化定義如下：給定有序數(shù)據(jù)集U={x1,x2,…,xn}，包含屬性集A，其中B?A，C?A，數(shù)據(jù)集U關(guān)于B的排序基尼不純度定義如下[7]。

向上的排序基尼不純度：

向下的排序基尼不純度：

如果C已知的情況下，關(guān)于B的向下排序基尼不純度形式化定義如下。

向上的有序條件基尼不純度：

向下的有序條件基尼不純度：

2　特征評價指標(biāo)的判別能力

為了對各項排序判別指標(biāo)有一個清晰的認(rèn)識，為不同排序判別指標(biāo)靈活運用于不同業(yè)務(wù)領(lǐng)域提供借鑒，需要對排序指標(biāo)的判別能力做出分析和比較。下面通過算法1來判斷不同指標(biāo)是否能夠很好地去選擇屬性，并進(jìn)一步地發(fā)現(xiàn)單調(diào)函數(shù)以判別屬性與決策的單調(diào)性，挖掘潛在的偏好信息。算法1是基于C4.5提出的，通過獲得最好的特征來完成數(shù)據(jù)劃分，遞歸的生成決策樹，進(jìn)而產(chǎn)生可理解的決策規(guī)則。

圖1　不同指標(biāo)的排序判別能力

通過觀察圖1，可以清楚的看到判別指標(biāo)在三組不同數(shù)據(jù)上的變化情況，隨著非單調(diào)噪聲的增大各項判別指標(biāo)都在發(fā)生變化。排序互信息的值在下降，并且下降較快，有較強的判別能力；其次是排序條件熵的值在上升，并且上升較快，具有一定的判別能力；最后是排序基尼不純度的值也在隨著噪聲的增大而緩慢上升，表明其判別能力較好。

因此，這三項指標(biāo)都能夠有效地實現(xiàn)有序分類任務(wù)特征判別，然而排序條件熵和排序互信息對信息的混亂程度懲罰更重一些。在實際應(yīng)用中要根據(jù)數(shù)據(jù)的不同特點選擇合適的判別指標(biāo)，以獲得更好的分類效果。

3　實驗分析

3.1　有序分類算法

通過設(shè)計的決策樹算法對三種指標(biāo)的評價效果做出分析，在真實的分類任務(wù)上進(jìn)行性能比較[8-9]。根據(jù)有序分類問題的特點，使用了平均絕對誤差對性能做出評價，可以看出基于排序互信息的決策樹算法在三種指標(biāo)中效果最好，排序條件熵和排序基尼不純度效果非常接近。因此，在實際應(yīng)用中，對于改進(jìn)的C4.5和CART決策樹中分別應(yīng)用排序互信息和排序基尼不純度將使得排序的一致性增強[10]。

有序決策樹算法1：

輸入：訓(xùn)練樣本集合，樣本用(A,D)來表述。停止參數(shù)：ε，L

輸出：有序決策樹。

// 根據(jù)不同判別指標(biāo)的定義，對于排序互信息和序條件熵計算最大值，排序基尼不純度計算最小值。

開始：

步驟1：生成決策樹根節(jié)點；

步驟2：如果剩余的樣本數(shù)小于L或者所有的樣本屬于同一類，則標(biāo)記為葉節(jié)點，返回；否則，執(zhí)行步驟3；

步驟3：對于每個屬性Ai對于每個分裂點Ai=a計算排序判別指標(biāo)的值，并得到每次的最大值(或最小值)對應(yīng)的分裂點以及最大值(或最小值)；

步驟4：選擇所有分裂點對應(yīng)的排序互信息的最大值或最小值)；

步驟5：如果最大值(或最小值)小于ε，則標(biāo)記葉節(jié)點，返回；否則繼續(xù)執(zhí)行步驟6；

步驟6：分裂點Aj=a劃分父節(jié)點為左右子節(jié)點；

步驟7：依據(jù)左右子節(jié)點，遞歸的構(gòu)造有序決策樹。

輸出：生成的有序決策樹

當(dāng)然，在實際分類任務(wù)中并不是所有的特征都是有序的，還存在部分有序的情況。對于這類問題，需要提出有效的有序分類特征選擇算法，從而選擇最好的特征完成數(shù)據(jù)劃分，這是一種較為合理的思路。文獻(xiàn)[4]中討論的齒輪裂紋的嚴(yán)重性識別任務(wù)，提到混合特征存在時的解決方案，通過設(shè)計特征選擇算法獲取分類能力較強的故障特征子集，進(jìn)而利用改進(jìn)的遺傳算法完成數(shù)據(jù)分類獲得了較好的效果。針對這類任務(wù)的算法設(shè)計，可以參照文獻(xiàn)[4]中的思路。

3.2　有序判別指標(biāo)的魯棒性分析

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中提到的算法生成單調(diào)數(shù)據(jù)集，并設(shè)計實驗來分析在不同的單調(diào)程度下判別指標(biāo)的排序性能，主要使用平均絕對誤差(MAE)來評價,這是有序分類任務(wù)中的重要性能評價指標(biāo)。生成訓(xùn)練樣本600個，測試樣本120個，屬性5個，屬性取值個數(shù)為5，樣本共分為4類，其中測試樣本非單調(diào)性指標(biāo)(NMI)為0.2%。為了驗證不同指標(biāo)的魯棒性，設(shè)置非單調(diào)性從0.2%逐步變化為1.2%，步長0.2%。

根據(jù)圖2中的曲線走勢可以看出，不同指標(biāo)的性能隨著單調(diào)程度的增大而發(fā)生變化。從趨勢可以看出三種判別指標(biāo)變化較為平緩，性能較為穩(wěn)定，魯棒性較強。其中，有序條件熵與排序互信息的隨著非單調(diào)性的變化趨勢較為一致，主要是因為都是以香農(nóng)提出的信息熵為基礎(chǔ)的。排序基尼不純度變化也較為平緩，性能下降稍微明顯一些。

圖2　判別指標(biāo)的魯棒性分析

3.3　有序判別指標(biāo)在真實任務(wù)上的性能評價

本文利用算法1在UCI數(shù)據(jù)集上實驗并分析對比[12]。使用三個向下的排序判別指標(biāo)分別訓(xùn)練，并且基于十折交叉驗證技術(shù)計算平均絕對誤差(MAE)及標(biāo)準(zhǔn)差。

在表1中描述了三個向下的排序判別指標(biāo)在10個任務(wù)上的性能比較，其中每個數(shù)據(jù)集對應(yīng)的第一行表示十折交叉驗證的平均絕對誤差(MAE)，第二行表示十折交叉驗證的標(biāo)準(zhǔn)差。表1中的最后一行表示在10個分類任務(wù)上MAE的平均值。

表1　排序判別指標(biāo)在10個任務(wù)上的性能比較

通過表1中顯示的平均絕對誤差可以看出，排序互信息與排序條件熵在多數(shù)數(shù)據(jù)集上相同。然而對于10個數(shù)據(jù)集來說，排序條件熵與排序基尼不純度的平均值相同。排序互信息在10個數(shù)據(jù)集上的平均性能高出3個百分點。根據(jù)統(tǒng)計檢驗確定不同判別指標(biāo)的平均性能是否存在顯著性差異，本文應(yīng)用t檢驗兩兩比較了所有指標(biāo)的平均性能，進(jìn)而明確了排序互信息指標(biāo)存在的優(yōu)勢[15-16]。

根據(jù)以上的實驗分析，可以清楚的看到三種有序分類判別指標(biāo)的效果，排序互信息具有很強的魯棒性，性能較好。排序基尼不純度在傳統(tǒng)的基尼不純度上提出，也大大增強了實際的有序分類效果，魯棒性較強。在現(xiàn)實生活中的有序分類任務(wù)有很多，可以根據(jù)三種有序判別指標(biāo)的特點進(jìn)行選擇，已達(dá)到預(yù)期效果和目標(biāo)。

4　結(jié)　語

根據(jù)有序分類任務(wù)的特點，對三類有序判別指標(biāo)的判別能力做出分析，給出不同任務(wù)下的平均絕對誤差，以此判斷三者的判別能力以及分類效果。對于包含噪聲的樣本，分別計算了三種有序判別指標(biāo)，結(jié)果顯示有序特征判別能力較強。然而，有序條件熵和有序排序互信息對混亂數(shù)據(jù)的懲罰更弱一些，并且性能更為接近。對三種指標(biāo)的魯棒性分析，顯示三種判別指標(biāo)度都較為魯棒，排序互信息繼承了互信息的魯棒性特點，排序基尼不純度繼承了基尼不純度的特點。通過判別指標(biāo)的比較及其在決策樹中的應(yīng)用，可輔助不同領(lǐng)域人員構(gòu)建適合需求的高效的有序分類模型，為從事相關(guān)研究工作的人員提供一定的參考。

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