朱 宏

（甘肅土木工程科學(xué)研究院，蘭州 730020）

1 浸堿膨脹概念

浸堿黃土由于堿結(jié)晶及其生成物（包括生成的固體大結(jié)晶水化物）的增多，土孔隙體積隨著時間增長而不斷擴(kuò)大，從而使黃土地基產(chǎn)生膨脹變形，這個過程稱為黃土的浸堿膨脹[1-12]。

2 基本前提

在側(cè)限條件下，設(shè)土樣的初始高度為H0，浸堿過程中土樣完全被飽和，膨脹后土樣高度為H，則H=H0+S，S為膨脹力p作用下土樣膨脹穩(wěn)定后的變形量，假設(shè)土粒在浸堿過程中體積Vs不變，且設(shè)膨脹前初始孔隙比為e0，膨脹穩(wěn)定后孔隙比為e。為求膨脹穩(wěn)定后的孔隙比e，利用膨脹前后土粒體積和土樣橫截面面積不變的條件，得出

即

其中ds、ω0和γ0分別為土粒比重、土樣的初始堿液含量（即土中堿液與水含量之和）和初始重度，這樣，只要測得土樣在膨脹力p作用下的穩(wěn)定膨脹量S，就可按式(1-b)算出相應(yīng)的孔隙比e，從而繪制出土樣的膨脹曲線。

膨脹性不同的土，其e-p曲線的形狀不同（圖1），曲線上升愈快愈陡，說明隨著膨脹力的增加，土孔隙比的增加愈顯著，因而土的膨脹性愈大，所以，可用曲線上任一點的切線斜率a的大小來反映土的膨脹性大小。為此可將a定義為相應(yīng)膨脹力p作用下的膨脹系數(shù)，即：

圖1 土的e-p膨脹曲線

圖1表示隨著膨脹力p的增加，e逐漸增大，設(shè)膨脹力由 p1增至 p2，假定 p1、p2在 100～200kPa之間變化，相應(yīng)的孔隙比由e1增至e2，則與膨脹應(yīng)力增量Δp=p2-p1對應(yīng)的孔隙比的變化量為Δe=e2-e1，此時，土的膨脹性可用圖2割線M1M2的斜率近似表示。

設(shè)割線與橫坐標(biāo)軸的夾角為α，則式中α為土的膨脹系數(shù)，p1為地基某深度處土中豎向膨脹應(yīng)力，p2為同一深度處延續(xù)一段時間后土中的膨脹應(yīng)力，e1相應(yīng)于p1作用下膨脹穩(wěn)定后的孔隙比，e2相應(yīng)于p2作用下膨脹穩(wěn)定后的孔隙比。

圖2 以e-p膨脹曲線確定膨脹系數(shù)α

3 飽和土的浸堿膨脹

一般認(rèn)為當(dāng)土中孔隙體積的80%以上為液體填充時，土中雖有少量氣體存在，但大部分是封閉氣體，就可視為飽和土。

參照飽和土的滲透固結(jié)理論，可借助彈簧活塞模型來研究黃土地基浸堿膨脹規(guī)律，如圖3所示由土骨架與土中堿液分擔(dān)應(yīng)力變化的簡單模型可知，飽和土上的膨脹力初始時全部由土中堿液承擔(dān)，隨著時間的增加和堿液的不斷滲入，膨脹產(chǎn)生，膨脹力逐漸轉(zhuǎn)嫁給土骨架，直到全部由土骨架承擔(dān)為止。

圖3 土骨架與土中堿液分擔(dān)應(yīng)力變化的簡單模型

在飽和膨脹過程中，一定壓力下的膨脹應(yīng)力σ總是等于有效應(yīng)力σ'與孔隙堿液壓力之和，由于孔隙堿液壓力為負(fù)孔壓；土骨架受拉，有效應(yīng)力σ'為負(fù)，所以有

由上式可知，在膨脹的一瞬間，由于-u=σ，所以σ'=0；而當(dāng)膨脹變形完全穩(wěn)定時，則-σ'=σ，μ=0。因此，只要土在孔隙堿液壓力還存在，就意味著土的浸堿膨脹尚未完成。

4 一維膨脹模型的建立

仿照K.Terzaghi關(guān)于一維（壓縮）固結(jié)的理論方法[13-18]，可在不同情況下得出相應(yīng)于浸堿膨脹的一組公式和滿足堿液應(yīng)力的偏微分方程：假設(shè)土體孔隙中堿液主要沿豎向滲流，現(xiàn)考慮一維膨脹情形，設(shè)厚度為H的浸堿黃土層的頂面是透液的，而其底面是不透液的；又設(shè)土層在自重及頂面荷載p0的作用下，由堿液引起了土層的膨脹；并假設(shè)。

1)土是均質(zhì)、各向同性的和完全被堿液飽和的。

2）土粒和孔隙中的堿液是不可壓縮的，只有土的顆粒骨架可變形，膨脹系數(shù)α為常數(shù)。

3）荷載沿水平面是均勻無限分布的，而且是一次性加荷的，因此土層的膨脹和堿液的滲流都是唯一的。

4）土中堿液的滲流服從達(dá)西定律，V=K·i；其中k為滲透系數(shù)，i為滲透梯度。

在膨脹土層頂面z深度處的一個微元體（見圖4），由于飽和固結(jié)滲流是自上而下，在附加荷載下某時刻t流入和流出微單元體的堿液q'和q"分別為

圖4 微元體示意圖

式中k——z方向的滲透系數(shù)，cm/s(1cm/s≈3×107年)；

i——滲透梯度；

h——滲透面下z深度處的超靜液壓頭cm；

A——為微元體的過液面積，cm2；A=dxdy。

其中(5-b)是個近似等式，它是借助拉格朗日微分方程中值公式得到的，

即 f(z+dz)-f(z)=f'(z+θdz)dz,0＜θ＜1

于是，在時刻t，在單位時間(dt=1)內(nèi)微元體的液量變化為

已知微元體中孔隙體積的膨脹率（增加）為

式中e為土的天然孔隙比。

根據(jù)膨脹滲流的連續(xù)條件，微元體在某時刻t，在單位時間（dt=1）內(nèi)的堿液量變化等于同一時刻t，在單位時間內(nèi)該微元體中孔隙體積和膨脹量的變化，即

由土的應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系的側(cè)限條件，（2）式有：

或

上式即浸堿黃土的一維膨脹偏微分方程，其中Cv稱為土的豎向膨脹變形系數(shù)，它與豎向壓縮固結(jié)系數(shù)不同的是，Cv計算式中a為膨脹系數(shù)，如（2）或（3）式所示。

5 模型方程的解

5.1 討論模型方程所滿足的初始條件和邊界條件

當(dāng)t=0和0≤z≤H時，u=σ，這相應(yīng)于起始時刻浸堿土尚未膨脹且無生成物結(jié)晶時，膨脹應(yīng)力全部由飽和土的堿液壓力承擔(dān)；

0＜t＜∞和z=0時，相應(yīng)于頂層表面的堿液壓力為零；

t=∞和0≤z≤H時，u=0，這時浸堿土達(dá)到穩(wěn)定膨脹，土中孔隙的堿液壓力已減為零。

在上述初始條件及邊界條件下求方程（10）解的問題，稱為膨脹模型方程（10）拋物型方程的混合問題。

5.2 拋物型方程混合問題的解

下面利用富氏級數(shù)，以分離變量法對拋物型方程混合問題（10）求解。設(shè)方程（10）的通解形式為

將（15）代入（10），有

即

式中的λ與t和z無關(guān)，為常數(shù)，由（16）的第二等式，得

解上述微分方程，得通解

由邊界條件（13），得C2=0，所以通解為

由上式得

利用邊界條件（14），由 C1≠0 得

即

亦即

其中，n=0,1,2,…

于是得（17）的解為

解得

（19）式中的 C'n為常數(shù)。把（18）和（19）代入（15），并讓n從0到∞迭加，再令C1·C'n=Cn，可得方程（10）滿足邊界條件（13）和（14）的解

利用初始條件（11），有

為了確定Cn兩邊乘以，并從0到關(guān)于z的積分，其中，求得

將（21）式中的Cn代入（20），便求出拋物型方程混合問題（10）～（14）的解為

由此看出，（22）中的解u也適合t→∞時的穩(wěn)定條件（12），表達(dá)式（22）是混合問題（10）～（14）的唯一解。

當(dāng)n增大時，由于（22）式中含有急降的指數(shù)因子，因此級數(shù)（22）收斂很快，通?？扇∑渲械谝豁椬鳛閡的近似值，即在（22）中取n=0,可得

（23）式便是混合問題（10）～（14）的近似解析解。

由解得表達(dá)式（22）或（23）看出，當(dāng)時間 t增加時，由于u含急降因子，u的值將隨時間減少，并隨t→∞而趨于零；又因為在膨脹發(fā)展過程中，土的膨脹應(yīng)力不會減少，由（4）式

看出，這時有效應(yīng)力σ'將隨u的減小而逐漸增至σ，這與膨脹過程的實際相符。

為了進(jìn)一步應(yīng)用，現(xiàn)考慮土在完全側(cè)限條件下的豎向膨脹應(yīng)力與相應(yīng)的變增量之比值，設(shè)a為土的膨脹系數(shù)，e0為相應(yīng)于p0作用下膨脹穩(wěn)定后的孔隙比，則稱比值

為膨脹土的膨脹模量。

在內(nèi)部膨脹力的作用和側(cè)限條件下，土層的最終膨升量 S，由(1-a)式，解得

又由（3）式得膨脹系數(shù)

式中σ為一定壓力下的膨升應(yīng)力，由此得

將（26）式中的?e代入（25）式，并應(yīng)用關(guān)系式（24），得

公式（27）可用于計算膨脹土層的最終膨升量S。

有了孔隙堿液壓力u隨時間t和深度z變化的函數(shù)關(guān)系式（22）或（23），便可求得地層在任一時刻的膨升量，為此，需用到地基的膨脹度U，即

式中的St為地基在t時刻的膨升量，S為地基的最終膨升量。

地基土膨脹時，又（4）式知

在某一壓力下的膨升力為：

在豎向膨脹情況下，膨升量St與膨脹應(yīng)力σ成正比；最終膨升量S與P成正比，由圖5看出，由于σ'值隨z變化，為了確定U，就用σ'在區(qū)間[0，H]上的積分平均值，來替代（28）中的St，于是

式中的Uz稱為豎向平均膨脹度，u=u(z,t)為時刻t，深度z處的孔隙堿液應(yīng)力，p為土層在一定均布荷載下的膨脹力。

圖5 一維膨脹情況

將（30）代入（29）式右端，取σ=p得到

利用函數(shù)關(guān)系，可繪出圖6中的Uz-Tv關(guān)系曲線，便于在圖中求某Tv時間對應(yīng)的Uz值，反之亦然。

圖6 膨脹度Uz與時間因數(shù)Tv的關(guān)系曲線

6 兩個重要方程得建立

下面由前面的基本公式來推導(dǎo)瞬時膨升力pt與時間的函數(shù)關(guān)系，以及最終膨升量S與最終膨升力p的表達(dá)式。

視p2=ptp1=p0（初始膨升力）

由（27）得

再利用（28），并認(rèn)為t=0時，p0=0(尚未膨脹，膨升力為零)，于是得出瞬時膨升力pt為

其中

令 t→∞，由于 Uz→1，St→S，由（33）式，得到(34)表示最終膨升p力與土層的相對膨升量成正比，其比例系數(shù)正好為土層的膨脹模量Ez。由此看出（34）式與彈性力學(xué)中著名的Hooke定律極其相似。

當(dāng)最終膨升量S不變時，厚度H0越大，表明相對膨升量越小，所以最終膨升力p這時也越小，這表明最終膨升力p與H0成反比；同樣，當(dāng)H0固定時，（34）式表示p與S成正比，即瞬時膨升力p與相對膨升量成正比，其比例系數(shù)即為Ez。

7 應(yīng)用舉例

例題1 某飽和浸堿土層的厚度為1m，在大面積荷載p0作用下，設(shè)該土層的初始孔隙比e0=1，膨脹系數(shù)a=1MPa-1，膨脹模量Ez=6MPa，滲透系數(shù)k=0.75cm/年，對黃土層在單面浸堿條件下，已知p0荷載下膨脹力為120kPa。

求：（1）加荷半年時的膨升量；

（2）膨升量達(dá)10mm時所需的時間。

解：（1）求t=0.5年時的膨升量：

由公式（27）可求得黃土層的最終膨升量

黃土層的豎向膨脹變形系數(shù)

在單面浸堿條件下，豎向膨脹時間因數(shù)

由圖6中的Uz-Tv曲線查得相應(yīng)的膨脹度Uz=0.78，由（28）式，則得出t=0.5年時浸堿土的膨升量St=Uz·S=0.78×20=15.6mm

（2）求膨升量達(dá)10mm時所需的時間：

由圖6中的Uz-Tv曲線查得相應(yīng)的時間因數(shù)Tv=0.2；在單面浸堿的情況下，求得膨升量達(dá)10 mm所需的時間

即為2.4月

該計算結(jié)果與現(xiàn)場實測值基本相符；

例題2 某飽和浸堿土層的厚度為1m，膨脹模量Ez=60MPa，浸堿120天，最終膨升量為4mm，求其最終膨升力pmax為多大？

解：由（34）式，知

則

該計算結(jié)果與現(xiàn)場荷載試驗實測值基本相符。

8 結(jié)語

本文通過用土力學(xué)中Terzaghi一維固結(jié)理論的方法，研究黃土地基浸堿膨脹變形規(guī)律，建立了黃土地基浸堿膨脹的數(shù)學(xué)模型，從而推導(dǎo)出膨脹變形與時間的關(guān)系方程，此外還建立了膨脹力與膨脹變形的關(guān)系表達(dá)式： 此式與彈性力學(xué)中著名的Hooke定律極其相似。此方法對地基浸堿膨脹的事故的處理，有一定的理論價值。

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