朱瑩瑩

[摘 要]】數(shù)學(xué)是“思維的體操”，無論課程改革倡導(dǎo)怎樣的教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)教師都要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，為促進學(xué)生的思維發(fā)展而教?！半u兔同籠”作為新增的一個教學(xué)內(nèi)容，教師可以它為載體，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程，讓學(xué)生在觀察、分析、抽象、概括的過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，促進學(xué)生思維的發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué)；學(xué)生思維；雞兔同籠

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）08-0024-02

“雞兔同籠”是我國古代著名趣題之一。以前，雞兔同籠問題只是作為小學(xué)奧數(shù)的常見題型。新課改后，不少版本的教材都新增了一個教學(xué)內(nèi)容——“雞兔同籠”。人教版教材在六年級上冊《數(shù)學(xué)廣角》中詳細介紹了“雞兔同籠”問題的出處、幾種典型解法及實際應(yīng)用，突出“解決問題策略的多樣化”。在北師大版教材中，“雞兔同籠”是作為研究問題的載體，意在讓學(xué)生經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的過程，體會解決問題的一般策略——列表。教材不僅呈現(xiàn)了“雞兔同籠”的情境和出處，還給出了三個表格，第一張表格是逐一列表法，第二張表格是跳躍列表法，第三張表格是取中列表法。下面就說說如何借助“雞兔同籠”這一載體，促進學(xué)生思維的發(fā)展。

一、任務(wù)導(dǎo)向，啟迪思維

通過課前調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有少數(shù)學(xué)生在課外就已經(jīng)接觸過“雞兔同籠”問題，能用假設(shè)法解決問題，但大部分學(xué)生都沒接觸過。這樣一來，如果讓全體學(xué)生都用列表法解題，已經(jīng)學(xué)過的學(xué)生就會說：“我會用假設(shè)法解決問題，多快！何必用列表法?！笔茄剑瑸槭裁匆欢ㄒ昧斜矸?？雖然這節(jié)課的一個教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生學(xué)會用“嘗試與猜測”解決問題，但是強迫學(xué)生用列表法解題，學(xué)生只會是為了列表而列表，會失去解題的動力。從大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)起點考慮，教學(xué)目標(biāo)“結(jié)合解決‘雞兔同籠的問題，借助列表法體驗嘗試與猜測的解題策略”沒有錯，但面對學(xué)習(xí)起點不一樣的學(xué)生，如何預(yù)設(shè)課堂，才能讓每個學(xué)生都能主動參與學(xué)習(xí)，思考問題呢？

分析假設(shè)法和列表法，我們不難發(fā)現(xiàn)，列表法是先假設(shè)雞或兔的腿數(shù)，再一個一個地進行嘗試和推算；假設(shè)法是先假設(shè)全是一種動物，再根據(jù)腿數(shù)的差距，求出只數(shù)。細細想來，假設(shè)法也是“先假設(shè)——調(diào)整——結(jié)論”，和列表法是在“做”一樣的事，從思維層次上講：假設(shè)法是列表法的一種表現(xiàn)形式，假設(shè)法可以看成是對列表法的進一步抽象和提升，而列表法在本質(zhì)上就是假設(shè)法，列表過程的每一步都是假設(shè)。

于是，我先讓會用假設(shè)法解決問題的學(xué)生思考問題：“能不能把用假設(shè)法解題的過程記錄在表格里呢？”學(xué)生對這個新任務(wù)很感興趣，在表格里嘗試記錄假設(shè)法解題的思考過程，不敢懈?。ㄈ绫?）。接著，讓學(xué)生介紹自己的方法，解釋為什么這么快就能找到正確答案?！?0-54=26（條），多了26條腿說明兔子多了13只，也就是雞要增加13只”。學(xué)生在介紹方法的過程中就能感悟到：假設(shè)法和列表法這兩種方法是有聯(lián)系的，在列表法中也能找到假設(shè)法的影子。

這樣的處理方式，既可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使他們能夠主動地參與課堂學(xué)習(xí)，也點破了列表法和假設(shè)法之間的關(guān)系，可謂一舉兩得。

二、聚焦策略，提升思維

著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞認為：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑，都是由自己去發(fā)現(xiàn)、探究，因為這種理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系?！币虼耍處熞行б龑?dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程，讓學(xué)生在觀察、辨析、判斷、分析、抽象、概括等具體的數(shù)學(xué)活動中積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)思考的能力。

在引導(dǎo)學(xué)生借助表格進行猜測與嘗試解決“雞兔同籠”問題時，除了給出教材上介紹的三種方法“逐一列表法、跳躍列表法、取中列表法”，還可介紹三步列表法（如表2）：先假設(shè)雞有1只，再假設(shè)雞有2只，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律“每增加一只雞，減少一只兔，腿數(shù)會著減少2條。而76比54多了22條腿，所以要增加11只雞”。

分析這幾種列表方式，發(fā)現(xiàn)它們的思維含金量是不一樣的。逐一列表法是學(xué)生一個一個去嘗試，學(xué)生有沒有根據(jù)前一次猜測的腿數(shù)對雞和兔的只數(shù)進行調(diào)整呢？我采訪過幾位學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們不是在調(diào)整，只是在一個一個地嘗試，進行地毯式的搜索，尋找答案；對于跳躍列表法，學(xué)生會根據(jù)腿數(shù)的多少進行調(diào)整，相差大，調(diào)整的幅度就大些，相差小，調(diào)整的幅度就小些，其思維含金量不言而喻——比逐一列表法要高；而取中列表法是學(xué)生對題中數(shù)據(jù)進行分析，再對答案進行估計：可能雞兔的只數(shù)相差不大，所以從中間開始猜測，再進行調(diào)整；最后一種是三步列表法，它要求學(xué)生利用“每增加一只雞，減少一只兔，腿數(shù)會著減少2只”這個規(guī)律，一步調(diào)整到位。

在分析學(xué)生可能出現(xiàn)的幾種思考方法后，我就可以做到有的放矢，由淺入深地組織學(xué)生學(xué)習(xí)。在組織交流逐一列表法時，我引導(dǎo)學(xué)生思考：“你是怎么猜測的？”重點觀察雞的只數(shù)、兔的只數(shù)及相應(yīng)的腿數(shù)的變化規(guī)律。在組織交流跳躍列表法時，讓學(xué)生通過思考“腿數(shù)是多了還是少了”“說明了什么”“怎么調(diào)整”“為什么調(diào)整幅度這么大” “調(diào)整幅度怎么變小了”這幾個問題，進一步學(xué)習(xí)“調(diào)整”的策略。在組織交流“取中列表法”的過程中，學(xué)生就能感悟到：各種方法不是孤立的，要綜合運用，才能更快地解決問題。

三、辨析錯誤，矯正思維

一節(jié)課只有40分鐘，對于學(xué)生的一些錯誤，教師可以“放大”處理：拋出錯誤，讓學(xué)生在討論和爭辯中矯正思維，加深理解。在用列表法解決“雞兔同籠”問題時，如何根據(jù)已有猜測進行調(diào)整是教學(xué)難點，為了幫助學(xué)生把這個內(nèi)容“踩實”，教師就要及時捕捉學(xué)生的錯誤，把其作為教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生在辨析錯誤的過程中鞏固正確認知。

有位學(xué)生給出了如表3所示的方法：在進行第二次猜測“雞有5只，兔有15只”時，他算出腿有70條，這70條說明腿多了。因此，在進行下一輪猜測時，就應(yīng)該減少兔的只數(shù)，增加雞的只數(shù)，但這位學(xué)生還要增加兔的只數(shù)，顯然，他的調(diào)整是不恰當(dāng)?shù)摹?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2018/04/19/qkimagesxisxxisx201803xisx20180312-3-l.jpg"/>

我對這位學(xué)生的錯誤進行了放大處理?！?0說明了什么？接著你又假設(shè)雞有4只，兔有16只，為什么這么調(diào)整？你是怎么想的？”這樣的問題，能讓學(xué)生深刻認識到：腿多了，說明兔多了，應(yīng)該要增加雞的只數(shù)，減少兔的只數(shù)。

做教師要細心，做數(shù)學(xué)教師更要細心，要關(guān)注到學(xué)生解題背后的思考過程“這樣的思考過程對不對，這樣的思考過程是否簡潔”，只有深入分析學(xué)生的思考過程，才能糾正學(xué)生的錯誤，才能發(fā)展學(xué)生的思維。

四、建構(gòu)模型，拓展思維

一節(jié)好的數(shù)學(xué)課應(yīng)該讓學(xué)生懂得一個知識點，獲得一種思想，積累一類問題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，形成簡單的數(shù)學(xué)模型，同時要讓學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)模型過程中，思維品質(zhì)得到發(fā)展，思維能力得到拓展。在學(xué)生掌握了列表法之后，教師應(yīng)從問題出發(fā)，提煉出“雞兔同籠”問題的基本模型，再帶領(lǐng)學(xué)生將這一簡單的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到各種問題情境中，完成數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與應(yīng)用。

師：“雞兔同籠”問題是一個經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題。在日本也有此類問題的研究，日本人稱它為“龜鶴問題”。

師（出示龜鶴問題的圖片）：日本人說的“龜鶴”和我們說的“雞兔”有聯(lián)系嗎？

生1：有聯(lián)系，龜相當(dāng)于兔，都是四條腿，鶴相當(dāng)于雞，都是兩條腿。

師：像四條腿和兩條腿的，假如不叫它“雞兔同籠”，也不叫“龜鶴問題”，是否還可以取個其他名字？

生2：人狗問題。

生3：鴨貓問題。

……

師：看來，“雞兔同籠”可以換成烏龜和仙鶴，人和狗等問題，但歸根結(jié)底，它們也是“雞兔同籠”問題。其實“雞兔同籠”問題只是這一類問題的模型。在生活中也有許多類似于“雞兔同籠”的問題。

（1）三輪車和自行車共11輛，總共有25個輪子。三輪車和自行車各有多少輛？

（2）樂樂的儲蓄罐里有1角和5角的硬幣共27枚，總值5.1元，1角和5角的硬幣各有多少枚？

師：這些問題和“雞兔同籠”問題有關(guān)聯(lián)嗎？

生4：第（1）題里的自行車相當(dāng)于2條腿的雞，三輪車相當(dāng)3條腿的兔。

生5：第（2）題里的1角相當(dāng)于雞，而5角就相當(dāng)于兔，27枚相當(dāng)于頭數(shù)，5.1元相當(dāng)于腿數(shù)。

師：看來，在生活中有很多類似的問題都可以看成是“雞兔同籠”問題。

在這樣一個建構(gòu)與應(yīng)用中，學(xué)生明白了“雞兔同籠”問題只是一個簡單的“數(shù)學(xué)模型”，雖然問題的情境在變化，但問題的本質(zhì)是沒有變，學(xué)生在解決這些問題的過程中逐漸形成“雞兔同籠”問題的解題思路和策略。

通過教學(xué)“雞兔同籠”這個內(nèi)容，我深刻地認識到：教師要為學(xué)生的思維發(fā)展而教！數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)，作為一名數(shù)學(xué)教師，要把握課堂的每一個細節(jié)，尋找行為背后的原因，思考結(jié)果背后的過程，為提升學(xué)生的思維能力而努力。當(dāng)然，提高學(xué)生的思維能力是一個長期的過程，“冰凍三尺，非一日之寒”，如果能帶著“發(fā)展學(xué)生思維”的理念展開教學(xué)，相信我們的數(shù)學(xué)課堂一定會實現(xiàn)更大的效能！

（責(zé)編 金 鈴）