北京市第十二中學(xué)高中部(100071) 趙毅 劉剛

在2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川初賽中有這樣一道試題:如圖1,點(diǎn)A與點(diǎn)A′在x軸上,且關(guān)于y軸對稱,過點(diǎn)A′垂直于x軸的直線與拋物線y2=2x交于兩點(diǎn)B,C,點(diǎn)D為線段AB上的動點(diǎn),點(diǎn)E在線段AC上,滿足

(1)求證:直線DE與此拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn);

(2)設(shè)直線DE與此拋物線的公共點(diǎn)F,記△BCF與△ADE的面積分別為S1,S2,求.

由（1）問可得直線是拋物線的切線,這樣(2)問中的△ADE與△BCF就是拋物線的外切三角形與內(nèi)接三角形,如果點(diǎn)A是拋物線外的任意一點(diǎn),對于拋物線的外切三角形與內(nèi)接三角形有怎樣的性質(zhì)呢？借助幾何畫板軟件,經(jīng)過一般化探究,得到了下面的結(jié)論．

圖1

圖2

性質(zhì)1 如圖2,△ADE與△BCF分別是拋物線y2=2px(x＞0)的外切三角形與內(nèi)接三角形,其中B,C,F是切點(diǎn),則

證明(1)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),F(x3,y3),則切線AB,AC,DE的方程分別為

同理,

所以S△ADE=t(1?t)S△ABC,故

因?yàn)?/p>

[1]劉剛,趙毅．探究拋物線切線問題的幾何解法[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊(上半月),2016(7-8)．

[2]盧偉峰．拋物線外切三角形與內(nèi)接三角形的一個(gè)性質(zhì)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2007(6)．