廣東省華南師范大學附屬中學(510630) 趙煒

在高中數(shù)學函數(shù)性質這一章的學習過程中,奇偶性無疑是最為重要的性質之一.當然,奇函數(shù)是中心對稱函數(shù)的特殊情況,偶函數(shù)是軸對稱函數(shù)的特殊情形.一般地,我們可以利用函數(shù)對稱性解決很多問題.通常來說,學生只要找到這類問題的切入點,并不會覺得此類問題特別困難.但是筆者在最近一段時間的教學中發(fā)現(xiàn)這類問題變化多端,大部分學生并不能舉一反三,類比發(fā)散.本文將通過數(shù)例對這一類問題進行一番抽絲剝繭,探本尋源.

一.一般函數(shù)的對稱性問題

例1(2012全國文科第16題)設函數(shù)的最大值為M,最小值為m,則M+m=___.

解法一

解法二,x∈R,故f(x)+f(?x)=2.即 f(x)關于 (0,1)對稱,由圖像性質知f(x)max+f(x)min=2.

評注本題先將原函數(shù)進行化簡,然后利用到定義在R上的奇函數(shù)最大值與最小值之和為0這一重要性質,并未真正求得M與m.一部分同學并未看到這一點,而嘗試用導數(shù)的知識分別去求M 和m的具體數(shù)字,就會深陷泥沼,無法自拔了.

例2若函數(shù)在區(qū)間[?k,k](k＞0)上的值域為[m,n],則m+n等于( )

A.0 B.1 C.2 D.4

解析

所以f(x)關于(0,2)對稱.所以f(x)max+f(x)min=4,即m+n=4.故選D.

評析1.例1中奇函數(shù)最大值與最小值之和為0這一結論只對形如[?k,k]型的定義區(qū)間成立.

2.例1中的解法二仍然適用于本題,但是解法一就不適用于本題了,因為并不是奇函數(shù).所以解法二才是本質的,解法一只是表面的,并不適于一般情況.那些通過死記硬背記住解法一結論的同學在本題中不經(jīng)過變通就會遇到很大的困難.

例3(第八屆陳省身杯浙江賽區(qū)復賽)已知函數(shù),其中a,b,c為實數(shù).若f(lnlog521)=17,則f(lnlog215)=___.

解析,所以lnlog21 =5?lnlog215.又 f(x)+f(?x)=40,所以 f(lnlog215)=40?f(lnlog521)=23.

評析本題除了考察正切函數(shù),冪函數(shù)的奇偶性,還考察了對數(shù)的換底公式和函數(shù)的奇偶性,綜合性較高.

二.有關三次函數(shù)的對稱問題

例4設實數(shù)α,β分別滿足方程α3?3α2+5α?4=0,β3?3β2+5β ?2=0,則α+β =___.

方法一整理得(α?1)3+2(α?1)?1=0,(1?β)3+2(1?β)?1=0,即α?1,1?β為方程x3+2x?1=0的解.而x3+2x?1=0只有一個實數(shù)解,則α?1=1?β,所以α+β=2.

方法二整理得(α?1)3+2(α?1)=1,(β?1)3+2(β?1)= ?1,即對于函數(shù)f(x)=x3+2x,滿足f(α?1)=1,f(β?1)=?1.又f(x)為奇函數(shù),所以α?1=?(β?1),所以α+β=2.

評析方法一的變形很有技巧性,需要很強的觀察能力與代數(shù)變形能力.方法二利用奇偶性來解決問題,相對來說比較容易想到.但是不論方法一還是方法二,都間接用到了“三次函數(shù)是中心對稱的”這一性質.

一般的三次(函數(shù))f(x)=ax3+bx2+cx+d都有對稱中心(見[1]),這是隱藏在這類題目下的本質原因.因此解題時只要向此方向上化歸,本類題目一般都可迎刃而解.

例5設函數(shù)f(x)=x3+3x2+6x+14,且f(a)=1,f(b)=19,則a+b=___.

解析經(jīng)變形得f(x)=(x+1)3+3(x+1)+10,故f(x)的圖像關于點(?1,10)對稱.由于,故點(a,f(a))與(b,f(b))關于點(?1,10)對稱,所以a+b=?2.

評析此題又與上題的問法不同,而且從題干很難直接看出f(x)的對稱中心.如果沒想到從對稱性來入手,則很難下手解出a,b的具體數(shù)值.

例6(河南省鄲城縣第一高級中學2016-2017高一上學期第二次月考)已知函數(shù)f(x)= ?x?x3,α,β,γ∈R且α+β＞0,β+γ＞0,γ+α＞0,則f(α)+f(β)+f(γ)的值( )

A.恒為正數(shù) B.恒為負數(shù)

C.恒等于零 D.可能大于零,也可能小于零

解析由題意得f(x)為奇函數(shù)且f(x)單調遞減.α+β＞0?α＞?β?f(α)＜f(?β)?f(α)＜?f(β),從而有f(α)+f(β)＜0,同理可得 f(β)+f(γ)＜0,f(γ)+f(α)＜0.三式相加得2(f(α)+f(β)+f(γ))＜0,故選B.

三.總結

此類有關函數(shù)對稱性的問題難度頗大,在高考經(jīng)常出現(xiàn)在選擇填空的壓軸題部分,在數(shù)學競賽中也時有出現(xiàn).透過以上幾例可以看出,盡管此類對稱性問題涉及的知識點是基礎的、熟悉的,但是它的變化卻是豐富的,巧妙的,甚至有些時候出題的方式很怪,導致大部分學生并不能識破出題者的“套路”.另外,三次函數(shù)是一類比較特殊的對稱函數(shù),命題者常常從此角度出發(fā)編出新題.因此,只有把握這類問題的對稱本質,并通過適當?shù)木毩曊莆找话愕某鲱}套路,才能有的放失,達到以不變應萬變的境界.

強化練習題

1.設函數(shù)f(x)=x3+6x2+13x+13,且f(a)=1,f(b)=5,則a+b=____.

2. 設函數(shù)f(x)= sinπx+x3?6x2+12x+,若f(lg5)= 5,則f(lg2000)=____.

(答案:1.?4;2.4050.)

[1]管宏斌.三次函數(shù)對稱中心初探[J].數(shù)學通訊,2004(15):25-26.