劉劍萍， 鄭瑞玲, 陳錦松

(福州大學數學與計算機科學學院, 福建 福州 350116)

0 引言

一個2-連通的平面圖若其每個有限面是一個單位邊長的正六角形， 則稱之為六角系統(tǒng). 六角系統(tǒng)也稱為多六邊形圖或苯系統(tǒng)(蜂窩系統(tǒng)). 六角系統(tǒng)在理論化學方面是十分重要的， 因為它們是苯分子結構的自然圖形表示[1].

設G是一個六角系統(tǒng)， 以G中所有單位正六角形的中心為頂點集， 以相鄰正六角形中心的連線為邊集的圖稱為圖G的特征圖. 一個六角系統(tǒng)若其特征圖是路， 則稱之為六角鏈， 用Θh表示含有h個六角形的六角鏈的集合. 六角鏈具有如下性質： 1) 沒有一個頂點同時屬于3個六角形； 2) 每個六角形至多與2個六角形鄰接. 六角鏈是苯分子的一個重要子類的圖示. 一個六角系統(tǒng)若其特征圖是樹， 則稱為樹狀六角系統(tǒng)(見圖1). 用Ch∈Φh表示具有h個六角形的樹狀六角系統(tǒng)的集合. 對任意的Ch∈Φh， 用D(Ch)表示Ch的特征圖. 顯然， 樹狀六角系統(tǒng)的特征圖的最大度不會超過3.

圖1 不同類型的樹狀六角系統(tǒng) Fig.1 Different kinds of catacondensed hexagonal systems

圖2 樹狀六角系統(tǒng)中的轉向六角形與分枝六角形 Fig.2 The turned hexagon and the branched hexagon in catacondensed hexagonal systems

對任意的Ch∈Φh， 若Ch中的一個六角形S恰有兩個相鄰的2度點， 則稱S為轉向六角形(turned hexagon)； 若Ch中的一個六角形S沒有2度點， 則稱S為分枝六角形(branched hexagon)(見圖2). 令a(Ch)(b(Ch))表示Ch的轉向六角形的個數(分枝六角形的個數).Ch的一個轉向六角形(分枝六角形)在特征圖D(Ch)中對應一個2度點(3度點). 沒有轉向六角形和分枝六角形的樹狀六角系統(tǒng)稱之為線性六角鏈， 用Lh表示具有h個六角形的線性六角鏈(見圖1) . 若Bh∈Θh中的轉向六角形的個數恰為h-2個則稱之為鋸齒型鏈狀六角系統(tǒng)， 記為Zh.

本研究主要考慮樹狀六角系統(tǒng)基于頂點度的一些拓撲指數， 關于這方面的近期結論有： 2011年, Chen等[6]給出了樹狀六角系統(tǒng)的ABC指數一般表達式. 2013年， Rada等[7]通過定義樹狀六角系統(tǒng)的2種變換給出了其基于頂點度的拓撲指數的表示式， 但文獻[7]中一些結構的定義較含糊且有一些錯誤， 例如A2,A3,Eh等. 由以上分析可知， 文獻[7]中的A2、A3分別為本研究中的轉向六角形、 分枝六角形. 本研究將用另一種方法， 即從圖的直接構造入手， 結合數學歸納法給出樹狀六角系統(tǒng)基于頂點度的一些拓撲指數和該六角系統(tǒng)的轉向六角形個數以及分枝六角形個數的函數遞推式， 并刻畫了其對應的極圖.

1 樹狀六角系統(tǒng)基于頂點度的拓撲指數的遞推式

圖3 極圖集Ψh中的一些六角系統(tǒng)Fig.3 Examples of catacondensed hexagonal systems in the set Ψh of extremal graphs

以下給出樹狀六角系統(tǒng)基于頂點度的拓撲指數和該六角系統(tǒng)的轉向六角形個數a(Ch)以及分枝六角形個數b(Ch)的函數遞推式， 并確定其對應的極圖.

定理1設Ch∈Φh， 則

I)I(Ch)=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch)+3b(Ch)).

II) 若x22-2x23+x33<0， 則I(Ch)關于a(Ch)或b(Ch)是單調遞減函數， 且I(Eh)≤I(Ch)≤I(Lh)， 其中Eh∈Ψh.

III) 若x22-2x23+x33>0， 則I(Ch)關于a(Ch)或b(Ch)是單調遞增函數， 且I(Lh)≤I(Ch)≤I(Eh)， 其中Eh∈Ψh.

IV) 若x22-2x23+x33=0， 則I(Ch)=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h=I(Lh).

證明 I) 對h用數學歸納法.

若h=1， 則a(C1)=b(C1)=0且有I(C1)=6x22， 結論成立.

若h=2， 則a(C2)=b(C2)=0且有I(C2)=6x22+4x23+x33， 結論也成立.

若h=3，b(C3)=0， 此時a(C3)=0(或a(C3)=1)， 那么I(C3)=6x22+8x23+2x33(或I(C3)=7x22+6x23+3x33)， 因此 I )對h=3也成立.

假設對所有的Ch-1∈Φh-1(h≥4)， I)成立. 即I(Ch-1)=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)· (h-1)+(x22-2x23+x33)(a(Ch-1)+3b(Ch-1)).

由于對任意Ch∈Φh總可以通過某個Ch-1再粘上第h個六角形sh得到. 不失一般性， 可以假設六角形sh和Ch-1中的六角形si相鄰. 于是在新的樹狀六角系統(tǒng)Ch中si有如下3種情況.

情形1. 若si是Ch的一個分枝六角形. 那么a(Ch)=a(Ch-1)-1并且b(Ch)=b(Ch-1)+1. 由歸納假設和直接計算可得:

I(Ch) =I(Ch-1)+(2x22+3x33)

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)(h-1)+(x22-2x23+x33)(a(Ch-1)+3b(Ch-1))+(2x22+3x33)

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch-1)-1+3(b(Ch-1)+1))

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch)+3b(Ch))

I)成立.

情形2. 若si是Ch的一個轉向六角形. 那么a(Ch)=a(Ch-1)+1， 并且b(Ch)=b(Ch-1). 由歸納假設和直接計算可得:

I(Ch) =I(Ch-1)+(x22+2x23+2x33)

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)(h-1)+(x22-2x23+x33)(a(Ch-1)+3b(Ch-1))+(x22+2x23+2x33)

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch-1)+1+3b(Ch-1))

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch)+3b(Ch))

綜上， I) 成立.

情形3. 若si既不是Ch的一個轉向六角形也不是Ch的一個分枝六角形. 那么a(Ch)=a(Ch-1)， 并且b(Ch)=b(Ch-1). 由歸納假設和直接計算可得:

I(Ch) =I(Ch-1)+(4x23+x33)

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)(h-1)+(x22-2x23+x33)(a(Ch-1)+3b(Ch-1))+(4x23+x33)

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch-1)+3b(Ch-1))

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch)+3b(Ch))成立.

綜上， I )成立.

II) 若x22-2x23+x33<0， 由I)可知I(Ch)關于a(Ch)或b(Ch)是單調遞減函數. 由于 0=a(Lh)≤a(Ch)， 0=b(Lh)≤b(Ch)， 因此I(Ch)≤I(Lh).

I(Eh) =(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Eh)+3b(Eh))

I(Ch) =(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)(a(Ch)+3b(Ch))

=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)((a(Ch)+2b(Ch))+b(Ch))

=I(Eh)

III) 同理可證 若x22-2x23+x33>0， 則III)成立.

IV) 若x22-2x23+x33=0， 由I )即得. 定理1得證 .

注意到六角鏈中不含分枝六角形， 由定理1即可得到如下關于六角鏈的基于頂點度的拓撲指數的表示式.

定理2設Bh∈Θh， 則

I)I(Bh)=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h+(x22-2x23+x33)a(Bh).

II) 若x22-2x23+x33<0， 則I(Bh)關于a(Bh)是單調遞減函數， 且I(Zh)≤I(Bh)≤I(Lh).

III) 若x22-2x23+x33>0， 則I(Bh)關于a(Bh)是單調遞增函數， 且I(Lh)≤I(Bh)≤I(Zh).

IV) 若x22-2x23+x33=0， 則I(Bh)=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h=I(Lh).

記q=x22-2x23+x33， 接下來將著重討論以下幾種基于頂點度的拓撲指數.

根據以上討論并結合定理1可得以下定理：

定理3設Ch∈Φh， 則對于圖的廣義Randic指數、 廣義的和連通指數(α>1或α<0)、 第一類幾何—算術指數、 調和指數以及增強型薩格勒布指數都有I(Lh)≤I(Ch)≤I(Eh)， 其中Eh∈Ψh.

定理4設Ch∈Φh， 則對于圖的廣義的和連通指數(0<α<1)和ABC指數有I(Eh)≤I(Ch)≤I(Lh)， 其中Eh∈Ψh.

設Ch∈Φh， 則對于圖的第一類Zagreb指數有q=0， 結合定理1知M1(Ch)=(6x22-4x23-x33)+(4x23+x33)h=26h-2.

定理5設Ch∈Φh， 則Ch的第一類Zagreb指數為M1(Ch)=26h-2.

2 結語

本研究根據圖的基于頂點度的拓撲指數的定義， 從樹狀六角系統(tǒng)的直接構造入手， 結合數學歸納法等， 給出了樹狀六角系統(tǒng)基于頂點度的拓撲指數和該六角系統(tǒng)的轉向六角形個數以及分枝六角形個數的函數遞推式， 并確定了相應的極圖. 在此基礎上， 討論了樹狀六角系統(tǒng)的關于以下6種拓撲指數的極值問題： 廣義的Randic指數、 廣義的和連通指數、 第一類幾何—算術指數、 調和指數、 ABC指數和增強型薩格勒布指數.

參考文獻：

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[5] LI X, GUTMAN I. Mathematical aspects of Randic-type molecular structure descriptors[M]. Kragujevac： University of Kragujevac, 2006.

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[7] RADA J, ROBERTO C, GUTMAN I. Vertex-degree-based topological indices of catacondensed hexagonal[J]. Chemical Physics Letters, 2013, 572: 154-157.