席愛勇

所謂數(shù)學多元表征，就是指數(shù)學知識在人的心理活動中的多種表現(xiàn)和記載的方式，分為數(shù)學外在多元表征和數(shù)學內(nèi)在多元表征兩類。數(shù)學外在多元表征是指“需要學生理解和掌握的數(shù)學知識點，包括數(shù)學概念、命題和問題解決等；或數(shù)學陳述性知識、程序性知識和策略性知識等”數(shù)學學習對象的外在形式，主要有情境表征、實物表征、模型表征、圖像表征、口語表征、文字表征、符號表征等多種形式；數(shù)學內(nèi)在多元表征則指個體對于數(shù)學學習對象的意義賦予與建構(gòu)，是數(shù)學多元外在表征的內(nèi)化結(jié)果，包括言語表征系統(tǒng)即言語碼和言語碼組織（如命題、圖式、CPFS結(jié)構(gòu)等），心象表征系統(tǒng)即心象碼和心象碼組織（如視空間表征、心智模式等），以及兩個系統(tǒng)整合的綜合表征系統(tǒng)。

數(shù)學多元表征，不僅僅給學生提供多元化問題解決方案，更重要的是培養(yǎng)學生多樣化思維方式和習慣，促進學生數(shù)學思維品質(zhì)的全面提升。筆者嘗試以蘇教版五年級《解決問題的策略——列舉》為例，讓學生經(jīng)歷數(shù)學多元表征的過程，讓列舉策略向?qū)W生的思維深處漫溯。

一、從動作表征走向圖形表征

對于解決像“用12個邊長為1厘米的小正方形可以拼成幾種不同的長方形？怎樣拼周長最??？”這樣的實際問題，學生最先想到的方法就是動手拼一拼。在教學中，教師要善于順應(yīng)學生的天性，不妨大膽放手讓學生先拼一拼，積累豐富的感性經(jīng)驗，在此基礎(chǔ)上引導學生逐步條理化和抽象化，一步步自然地走進問題的核心。

通過動手操作，有的學生能全部表征出拼成的長方形，但沒有按照一定的順序（如圖1），有的學生只能部分表征出拼成的長方形（如圖2）。

圖1

圖2

這時教師可組織學生通過小組交流和集體研討，按照寬從小到大或按照長從大到小有序全部表征出拼成的長方形（如圖3），教師還可以引導學生有序畫出示意圖（如圖4），進一步抽象化，實現(xiàn)從動作表征走向圖形表征。

圖3

圖4

二、從圖形表征走向符號表征

學生在實現(xiàn)從動作表征走向圖形表征的同時，教師還可以引導他們比較拼好的不同長方形，思考這幾個長方形有什么相同之處和不同之處？學生很容易看出它們的面積相等，都是12平方厘米，因為都是用12個邊長為1厘米的小正方形拼成的。學生還會進一步發(fā)現(xiàn)：拼成的長方形長與寬的積都等于12，因為長方形的面積=長×寬，3種形狀不同但面積相等的長方形可以寫出3道乘數(shù)不同的乘法算式：12×1=12，6×2=12，4×3=12。這樣就把“用 12 個邊長為1厘米的小正方形可以拼成幾種不同的長方形”轉(zhuǎn)化成“兩個自然數(shù)相乘，積是12的乘法算式有幾種”的問題，引導學生從圖形表征走向符號表征。

當學生遇到“用100個邊長為1厘米的小正方形可以拼成幾種不同的長方形”時，學生自然就會想到用符號表征（列舉算式）來解決問題：100×1=100（平方厘米），50×2=100（平方厘米），25×4=100（平方厘米），20×5=100（平方厘米），10×10=100（平方厘米），因此，用100個邊長為1厘米的小正方形可以拼成5種不同的長方形。學生的數(shù)學思維也逐步實現(xiàn)從具體形象思維向抽象符號思維不斷邁進。

三、從外在表征走向內(nèi)在表征

《解決問題的策略——列舉》教學最終要讓學生形成列舉的策略意識，就要把數(shù)學外在表征不斷內(nèi)化為學生的內(nèi)在表征和自覺的數(shù)學思維方式。在教學中，教師可以通過改變數(shù)據(jù)，讓學生很難通過書面一一列舉，從而激發(fā)他們從書面列舉走向在心里列舉，實現(xiàn)從外在表征向內(nèi)在表征的轉(zhuǎn)化。例如，教師在引導學生完成“王大叔用22根1米長的木條圍一個長方形花圃。有多少種不同圍法？怎樣圍面積最大？”圖形的書面外在表征（如圖5）和表格的書面外在表征（如表 1）后，適時將數(shù)據(jù)“22”改成“220”，讓學生產(chǎn)生很難在紙上畫圖和列表的認知沖突，這時教師可順勢引導學生在心里畫圖或列表，借助內(nèi)在表征系統(tǒng)解決問題，不斷提升學生內(nèi)在表征水平，促進學生數(shù)學思維水平的深度提升，將解決問題的策略上升到意識和思維方式層面。

圖5

表一

教學片斷如下：

師：如果老師把“22根”改成“220根”，你還能很快發(fā)現(xiàn)有多少種不同圍法？怎樣圍面積最大嗎？

（有的學生動手在紙上畫了一陣后發(fā)現(xiàn)圍法有很多種，放棄；也有的學生用列表的方法寫了一些數(shù)據(jù)后也發(fā)現(xiàn)圍法很多，不想寫下去了）

師：怎么愣在那里不畫不寫啦？

生1：圍法太多，一時畫不完、寫不完。

師：那我們能不能在心里畫或?qū)懩兀吭囍]上眼睛在心里畫一畫、寫一寫、算一算。

師：誰來試著說一說你在心里怎么畫的或想的？

生1：我在心里畫一畫、算一算：先用220÷2=110（米），長畫109米時寬畫1米，面積是109×1=109（平方米）；長畫108米時寬畫2米，面積是108×2=216（平方米）……長畫55米時寬畫55米，面積是55×55=3025（平方米）。一共有55種不同圍法，長55米、寬55米時，長方形面積最大。

生 2：我在心里列表算：先用 220÷2=110（米），長109米、寬1米、面積109平方米；長108米、寬2米、面積216平方米……長55米、寬55米、面積3025平方米。寬從1米變到55米，所以，一共有55種不同圍法，長55米、寬55米時，長方形面積最大。

從外在表征（圖形、表格的書面表達）走向內(nèi)在表征（圖形、表格的心象表達），順勢將學生的數(shù)學思維水平從具體形象思維推向直觀想象和抽象邏輯思維層次，有效提升學生解決問題的策略水平和數(shù)學思維品質(zhì)。