武文皓，于大國

(中北大學(xué)，太原 030051)

0 引 言

內(nèi)置式永磁同步電機(jī)中“V”型永磁體內(nèi)置形式相較于“一”字型嵌入結(jié)構(gòu)不僅可以增加永磁體放置量，增強(qiáng)氣隙磁密，同時也增加了電機(jī)的凸極比，擴(kuò)大了弱磁調(diào)速的范圍，故相對而言“V”型永磁體內(nèi)置結(jié)構(gòu)所具有的優(yōu)點(diǎn)較多。齒槽轉(zhuǎn)矩是由永磁體與定子齒之間的相互作用力引起的，并在電機(jī)運(yùn)行過程中產(chǎn)生了振動和噪聲，影響了電機(jī)的穩(wěn)定控制精度。諸多學(xué)者提出了多種削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的策略：槽口偏移[1]，斜極[2]，改變磁鋼寬度[3]，定子齒部開槽[4]，轉(zhuǎn)子偏心[5]等措施。經(jīng)實(shí)際驗(yàn)證得出，上述方法可較為理想地削弱齒槽轉(zhuǎn)矩。

“V”型內(nèi)置式永磁同步電機(jī)磁鋼夾角的選取影響著氣隙磁密的幅值的大小及波形的合理分布，同時也會影響齒槽轉(zhuǎn)矩的變化。較多文獻(xiàn)分析了極弧系數(shù)對氣隙磁密和齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，但對于“V”型內(nèi)置式永磁同步電機(jī)來說是磁鋼夾角的改變影響了極弧系數(shù)的變化，繼而影響了齒槽轉(zhuǎn)矩發(fā)生改變。極弧系數(shù)僅充當(dāng)中間變量，而磁鋼夾角才是通過聚磁作用影響氣隙磁密和齒槽轉(zhuǎn)矩的關(guān)鍵。

定子齒端部拐角處橫截面積較小，磁力線過于集中，易出現(xiàn)磁感應(yīng)強(qiáng)度飽和現(xiàn)象。在此提出健壯設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)的健壯設(shè)計(jì)是以增加機(jī)械結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度作為主要目的，此處采用健壯設(shè)計(jì)主要是為了增加定子齒端部的磁通面積以降低磁感應(yīng)強(qiáng)度飽和，并削弱齒槽轉(zhuǎn)矩。

本文建立數(shù)學(xué)分析模型，利用能量分析法給出齒槽轉(zhuǎn)矩關(guān)于磁鋼夾角的解析式，并建立以磁鋼夾角為變量的參數(shù)化掃描模型。根據(jù)掃描結(jié)果選擇能夠最大程度削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的最優(yōu)夾角，并分析影響齒槽轉(zhuǎn)矩的主要諧波分量。針對定子齒端部易出現(xiàn)磁感應(yīng)強(qiáng)度飽和的位置采用健壯設(shè)計(jì)，并從積分路徑的變化和切向力的作用方向兩個方面分析該結(jié)構(gòu)對削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的可行性，并通過有限元結(jié)果驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)構(gòu)的有效性。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

建立以磁鋼夾角為變量進(jìn)行參數(shù)化掃描的數(shù)學(xué)模型，利用能量法求解齒槽轉(zhuǎn)矩關(guān)于磁鋼夾角的解析式。

1.1 參數(shù)化分析模型

如圖1所示的數(shù)學(xué)模型中，兩塊永磁體均采用平行充磁,上表面可簡化為寬度為b線段，端點(diǎn)m隨磁鋼夾角φ的變化在以r為半徑的圓弧軌跡s上滑動，端點(diǎn)n在距y軸為x0的直線l上自適應(yīng)。模型左半平面為永磁體隨夾角φ的變化進(jìn)行平面運(yùn)動時的相對軌跡位置。

圖1參數(shù)化分析模型

在Δmnc中，由正弦定理求解單塊磁鋼所占圓心角α關(guān)于φ的表達(dá)式：

軌跡半徑r被與直線l的交點(diǎn)c分為r1和r2兩部分，其中，r1由幾何關(guān)系解析：

極弧系數(shù)為極弧長度與轉(zhuǎn)子極距τ的比值:

式中：p為極對數(shù)。

隔磁橋邊緣與轉(zhuǎn)子軛表面之間會存在漏磁現(xiàn)象，如圖1的局部放大圖，漏磁修正系數(shù)可由隔磁橋邊緣與轉(zhuǎn)子軛所夾區(qū)域面積與單塊磁鋼橫截面積的比值解析:

式中：u為隔磁橋?qū)挾?；v為隔磁橋邊緣距轉(zhuǎn)子軛表面的距離；s為磁鋼橫截面積。

1.2 齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型

如圖2所示，修正隔磁橋邊緣的漏磁影響后，氣隙磁場強(qiáng)度關(guān)于轉(zhuǎn)子機(jī)械角度θ呈偶函數(shù)周期分布，可通過傅里葉展開成關(guān)于夾角φ的余弦級數(shù):

圖2磁場強(qiáng)度分布

(5)

(6)

式中：Br為永磁體剩磁。式(5)、式(6)是以夾角φ為自變量的傅里葉分解系數(shù)。基于能量法解析齒槽轉(zhuǎn)矩[6]：

(7)

(8)

(9)

將式(9)對偏移角α求導(dǎo),便得到齒槽轉(zhuǎn)矩:

(10)

式中：L為定子鐵心長度。上述分析通過傅里葉分解和能量法給出了齒槽轉(zhuǎn)矩Ts關(guān)于夾角φ的表達(dá)式。

2 定子齒端部的健壯設(shè)計(jì)

齒槽轉(zhuǎn)矩是由相鄰槽側(cè)面上磁密的分布差異產(chǎn)生大小不等的切向力激發(fā)的[7-8]。如圖3所示，在定子齒端部采用健壯設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)以增大磁通面積，降低磁感應(yīng)強(qiáng)度飽和，達(dá)到削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的目的，并從積分路徑長度和切向力方向的變化兩方面分析該結(jié)構(gòu)的有效性。

圖3梯形齒端部分析模型

由磁路法定性分析時，在槽側(cè)面選取徑向面積微元Δs=L*d(Rs+ra)對氣隙磁密Bre積分，并對定子總槽數(shù)Qs疊加，便得到齒槽轉(zhuǎn)矩Ts:

式中：Brest1，Brest2為相鄰側(cè)面氣隙磁密的大??；b0為定子槽寬。

如圖3左半部分模型，定子齒端部高度尺寸Hs1較小，這種結(jié)構(gòu)在“拐角(高度：Hs0+Hs1)”區(qū)域A處磁力線過于集中，磁通面積相對較?。?/p>

SA=(Hs0+Hs1)L

(12)

此時磁場強(qiáng)度容易飽和，磁力線只能從較高齒側(cè)面處垂直進(jìn)入，磁力線路徑l較長，近似圓弧半徑ra較大，由式(11)求解齒槽轉(zhuǎn)矩Ts時的積分路徑較長，故齒槽轉(zhuǎn)矩較大。

上述分析中，SB>SA。增加尺寸Hs1，可降低磁感應(yīng)強(qiáng)度飽和現(xiàn)象，減小磁力線擁堵并允許磁力線小阻力通過，進(jìn)而降低了磁力線在定子齒側(cè)面的到達(dá)高度，縮短了積分路徑，達(dá)到了削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的目的。

2.3 兩組胎兒血流阻力指標(biāo)比較 治療前，兩組患者孕20周時胎兒S/D、RI、PI比較，差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P>0.05)；治療后，在用藥8周后胎兒S/D、RI、PI明顯低于治療前，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P<0.05)，且治療組顯著優(yōu)于對照組，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P<0.05)。見表3。

對切向力作用方向的變化作如下分析：由麥克韋斯磁應(yīng)力理論，徑向氣隙磁密的存在使得每個槽側(cè)面存在相應(yīng)的切向力：

式中：n為垂直于槽側(cè)面的法向量；Bre為沿槽側(cè)面的氣隙磁密徑向分量且正交于n。

由于原結(jié)構(gòu)的飽和現(xiàn)象，大多數(shù)磁力線垂直于定子齒側(cè)面進(jìn)入齒內(nèi)部，由積分產(chǎn)生的切向力垂直于齒側(cè)面(產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩的主要方向)，經(jīng)疊加后得到的齒槽轉(zhuǎn)矩?cái)?shù)值較大：

f=f1-f2

(15)

(16)

上述分析中，β為斜面傾斜角度，f′

3 有限元分析驗(yàn)證

本文以12槽8極內(nèi)置式永磁同步電機(jī)為例,驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的正確性及采用健壯設(shè)計(jì)的定子齒端部結(jié)構(gòu)對削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的有效性，模型參數(shù)如表1所示。

表1內(nèi)置式永磁同步電機(jī)模型參數(shù)

參數(shù)值參數(shù)值額定功率PN/kW4定子槽數(shù)Qs12額定轉(zhuǎn)速nN/(r·min-1)3000永磁體極對數(shù)p4定子內(nèi)徑Rs/mm55永磁體寬度b/mm16氣隙長度(最小)δ/mm0．8永磁體厚度hm/mm4定子齒距角度τ/(°)30永磁體剩磁Br/T1．189槽口寬角度γ/(°)3．5

對于該槽極配合的電機(jī)模型來說， 3k(k為正整數(shù))次傅里葉分解系數(shù)對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響較大。圖4為Brn(θ,φ)的3，6，9，12，15次傅里葉分解系數(shù)隨磁鋼夾角φ的變化曲線。

圖4Brn隨磁鋼夾角的變化趨勢

3.1 定子齒端部優(yōu)化模型

通過有限元仿真驗(yàn)證健壯設(shè)計(jì)對降低拐角處磁感應(yīng)強(qiáng)度飽和的有效性以及通過磁力線長度的變化定性分析齒槽轉(zhuǎn)矩的可行性。

通過圖5(a)與圖5(b)的有限元結(jié)果對比分析，健壯設(shè)計(jì)使定子齒端部處的磁場強(qiáng)度由2.2 T減小為1.5 T，有效地降低了區(qū)域A的磁場強(qiáng)度飽和程度。

(a) 原模型

(b) 健壯設(shè)計(jì)

圖5有限元模型

結(jié)合圖3對比分析，定子齒端部的磁場強(qiáng)度飽和程度越高，磁力線“越難擠入”且近似圓弧半徑越大、磁力線路徑越長。采用圖5(b)的優(yōu)化結(jié)構(gòu)后，降低了定子齒端部飽和程度，更多磁力線可在定子齒端部小阻力通過，也就降低了磁力線在齒側(cè)面上最終到達(dá)的高度。由齒槽轉(zhuǎn)矩解析式(11)分析，健壯設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)縮短了積分路徑，削弱了齒槽轉(zhuǎn)矩幅值。

3.2 參數(shù)化分析模型

通過參數(shù)化數(shù)學(xué)模型進(jìn)行定量分析，其中對掃描區(qū)間的選擇作如下解釋。夾角φ較小時氣隙磁密分布周期性不合理，且磁密波形的“鋸齒”幅值較大，電機(jī)運(yùn)行不穩(wěn)定；夾角φ較大時，永磁體近似于“一”字型內(nèi)置，不能充分利用“V”型結(jié)構(gòu)的聚磁作用。綜上所述，本文選擇90°～160°的范圍內(nèi)對齒槽轉(zhuǎn)矩Ts的變化趨勢進(jìn)行參數(shù)化分析。

由前述建立的數(shù)學(xué)模型將永磁體和隔磁橋上各點(diǎn)通過Maxwell建立有限元參數(shù)化掃描模型。以夾角φ為自變量，2°為步長，分析優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的齒槽轉(zhuǎn)矩Ts隨夾角φ的變化曲線。

對圖6參數(shù)化曲線進(jìn)行分析，在夾角φ=110°時，齒槽轉(zhuǎn)矩取得最小值，如前述分析，此處選取的最優(yōu)夾角φ是多次傅里葉分解系數(shù)共同作用出的最小值，也是能夠最大程度削弱齒槽轉(zhuǎn)矩Ts的夾角。

圖6參數(shù)化分析曲線

采用健壯設(shè)計(jì)可整體上對齒槽轉(zhuǎn)矩有較大幅度的削弱，在不同夾角φ處對齒槽轉(zhuǎn)矩的削弱程度不同，這是由齒槽轉(zhuǎn)矩的自身基數(shù)決定的。在φ=138°時，齒槽轉(zhuǎn)矩基數(shù)較大，為2.65 N·m，健壯設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)削弱齒槽轉(zhuǎn)矩為1.05 N·m；當(dāng)φ=110°時，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值的基數(shù)較小，削弱齒槽轉(zhuǎn)矩幅度為0.127 N·m。因此健壯設(shè)計(jì)在削弱齒槽轉(zhuǎn)矩方面取得的收益較為可觀。

圖7為定子齒端部分別采用兩種結(jié)構(gòu)時，在最優(yōu)解φ處一個定子齒距內(nèi)齒槽轉(zhuǎn)矩Ts的變化曲線。

圖7最優(yōu)解處齒槽轉(zhuǎn)矩波形曲線

由該電機(jī)模型的槽極數(shù)(12槽8極)配合可知，在一個定子齒距內(nèi)齒槽轉(zhuǎn)矩波形存在兩個周期。在最優(yōu)夾角φ=110°處，原模型下的齒槽轉(zhuǎn)矩Ts最小值為0.725N·m，采用健壯設(shè)計(jì)后最小齒槽轉(zhuǎn)矩Ts=0.578 N·m，健壯結(jié)構(gòu)削弱齒槽轉(zhuǎn)矩百分比：

如圖8所示，分析采用健壯設(shè)計(jì)前后該電機(jī)模型的齒槽轉(zhuǎn)矩主要諧波分量的變化情況。

圖8齒槽轉(zhuǎn)矩諧波分析

對該電機(jī)模型來說，3k(k為正整數(shù))次諧波分量對齒槽轉(zhuǎn)矩Ts的影響較大。對于兩種結(jié)構(gòu)來說，其中3次諧波分量占主要部分為40%以上。將定子齒端部優(yōu)化為健壯結(jié)構(gòu)后各次諧波分量均有一定程度上的削弱，其中對齒槽轉(zhuǎn)矩影響最大的3次諧波分量削弱百分比：

6次諧波分量削弱百分比：

故采用健壯結(jié)構(gòu)可較大幅度地削弱影響齒槽轉(zhuǎn)矩Ts的3k次諧波分量，進(jìn)一步驗(yàn)證了健壯設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的有效性。

4 結(jié) 語

本文通過研究基于能量法給出了“V”型內(nèi)置式永磁同步電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩關(guān)于磁鋼夾角的解析式。在保證氣隙磁密幅值的前提下，通過有限元仿真確定出能夠削弱齒槽轉(zhuǎn)矩幅值的最優(yōu)夾角。

在保證槽滿率的情況下，采用健壯設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)可有效地降低定子齒端部磁場飽和程度，并能夠較大程度削弱齒槽轉(zhuǎn)矩幅值、增加定子齒強(qiáng)度。選擇12槽8極內(nèi)置式永磁同步電機(jī)為測試模型，通過有限元方法驗(yàn)證了健壯設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)對削弱齒槽轉(zhuǎn)矩幅值的有效性。

[1] 黃守道,劉婷,歐陽紅林,等.基于槽口偏移的永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩削弱方法[J].電工技術(shù)學(xué)報,2013,28(3):99-106.

[2] 石松寧,王大志.消弱永磁驅(qū)動器齒槽轉(zhuǎn)矩的斜極優(yōu)化方法[J].電工技術(shù)學(xué)報,2015,30(22):27-32.

[3] 楊玉波,王秀和,丁婷婷.基于單一磁極寬度變化的內(nèi)置式永磁同步電動機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩削弱方法[J].電工技術(shù)學(xué)報,2009,24(7):41-45.

[4] 林福,左曙光,馬琮淦,等.考慮開槽的分?jǐn)?shù)槽集中繞組永磁同步電機(jī)電樞反應(yīng)磁場解析計(jì)算[J].電工技術(shù)學(xué)報,2014,29(5):29-35.

[5] 冀溥, 王秀和, 王道涵,等.轉(zhuǎn)子靜態(tài)偏心的表面式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩研究[J].中國電機(jī)工程學(xué)報,2004,24(9):188-191.

[6] 王秀和.永磁電機(jī)[M].北京：中國電力出版社,2007.

[7] ZHU Z Q,HOWE D.Instantaneous magnetic field distribution in brushless permanent magnet DC motors,part III:effect of stator slotting[J].IEEE Transactions on Magnetics,1993,29(1):143-151.

[8] ZARKO D,BAN D,LIPO T A.Analytical calculation of magnetic field distribution in the slotted air gap of a surface permanent-magnet motor using complex relative air-gap permeance[J].IEEE Transactions on Magnetics,2006,42(7):1828-1837.