楊垠，盛衛(wèi)星，韓玉兵，馬曉峰

南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，南京 210094

對(duì)陣列天線陣元激勵(lì)幅度進(jìn)行量化，將陣元激勵(lì)幅度量化成固定數(shù)目的量化臺(tái)階，這就是陣元激勵(lì)幅度分檔問題。常用的幅度分檔優(yōu)化主要分為3種,一種是幅度錐化加權(quán)。經(jīng)典的幅度錐化加權(quán)算法諸如泰勒分布加權(quán)、切比雪夫分布加權(quán)[1]等已然成熟，被廣泛應(yīng)用于各種實(shí)際工程中。但是主瓣增寬、增益下降等缺點(diǎn)卻大大限制了這些算法的進(jìn)一步應(yīng)用。在這些算法的基礎(chǔ)上各種改進(jìn)幅度錐化加權(quán)算法相繼被提出。文獻(xiàn)[2]提出了部分幅度錐化加權(quán)算法，只對(duì)陣列最外圍的N個(gè)陣元加以幅度錐化加權(quán)，對(duì)于其他的陣元在均勻分布加權(quán)的基礎(chǔ)上，加上一個(gè)切比雪夫多項(xiàng)式，來(lái)起到降低副瓣的作用，這樣在近似達(dá)到完整幅度錐化加權(quán)的同時(shí)，也能弱化其所帶來(lái)的缺陷。文獻(xiàn)[3]提出了基于測(cè)試天線增益和副瓣的幅度錐化加權(quán)，使用了單參數(shù)泰勒線源分布和單參數(shù)漢森圓分布來(lái)作為口徑分布，然后通過控制其中的參數(shù)來(lái)調(diào)整主瓣寬度、副瓣電平和增益大小之間的關(guān)系。幅度錐化加權(quán)還被應(yīng)用到了大型陣列中。文獻(xiàn)[4]給出了兩種關(guān)于對(duì)子陣使用幅度錐化加權(quán)的方法，同時(shí)文獻(xiàn)[5]將傳統(tǒng)的子陣幅度錐化加權(quán)和遺傳算法相結(jié)合，這樣無(wú)論線陣和圓陣都可以得到優(yōu)化。

盡管各式各樣的技術(shù)被相繼提出以提升幅度錐化加權(quán)的性能，但是其低增益寬主瓣的固有缺陷卻只能被削弱而無(wú)法被消除。為了彌補(bǔ)其不足，密度錐化加權(quán)算法被引入。密度錐化加權(quán)算法大致分為兩種，一種是通過對(duì)陣元擺放位置不斷的試驗(yàn)，以使其能準(zhǔn)確地和理想地幅度錐度分布匹配；或是根據(jù)某種逼近技術(shù)對(duì)整個(gè)口徑分布的積分做逼近，以得到一組陣元的空間密度分布[6-10]。這種方法屬于早期的密度錐化加權(quán)算法，通過實(shí)驗(yàn)或是以口徑分布作為逼近準(zhǔn)則使得它們不能提供很準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。另一種方法是一種數(shù)值方法[11]，它使用理想幅度分布作為一個(gè)概率密度函數(shù)，用這個(gè)函數(shù)來(lái)決定某個(gè)陣元是否將坐落于口徑上的固定位置。文獻(xiàn)[12]將密度加權(quán)陣與遺傳算法相結(jié)合，使用非線性算法對(duì)密度陣進(jìn)行了優(yōu)化。

密度錐化加權(quán)陣相比幅度錐化加權(quán)陣來(lái)說在控制方向圖副瓣性能方面略有不足，同時(shí)這類算法是將陣元位置作為變量來(lái)進(jìn)行加權(quán)，這在許多陣元位置固定的天線上無(wú)法適用。因此，多階密度加權(quán)陣的概念開始流行。文獻(xiàn)[13-15]在密度加權(quán)的基礎(chǔ)上提出了陣元激勵(lì)幅度分層的概念，即對(duì)加載在每個(gè)陣元上的激勵(lì)幅度分為了幾個(gè)檔位，這樣在一定程度上彌補(bǔ)了密度加權(quán)陣副瓣降低的不足。文獻(xiàn)[16]提出了一種固態(tài)陣列天線副瓣控制的方法。對(duì)于一個(gè)平面矩陣陣列，用一個(gè)平面橢圓陣列來(lái)逼近，將整個(gè)口徑按照長(zhǎng)短軸比分為相應(yīng)的N個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域內(nèi)的陣元激勵(lì)幅度都是相同的，然后通過梯度搜索的方法來(lái)得到相應(yīng)區(qū)域的劃分以及陣元激勵(lì)的選取。不過，由于使用橢圓口徑來(lái)逼近，口徑面積利用率被大大減少。文獻(xiàn)[17-19]通過概率統(tǒng)計(jì)的方法，事先設(shè)計(jì)出一組處于0和1之間的數(shù)，然后根據(jù)概率理論將這組權(quán)重和理想的陣元激勵(lì)進(jìn)行逼近，從而得到這組量化數(shù)值。同時(shí)期，文獻(xiàn)[20-21]提出了一種直接優(yōu)化量化綜合(DOQSM)的方法，將對(duì)方向圖指向性的要求變?yōu)榱藢?duì)主瓣寬度的最小化，并作為其目標(biāo)函數(shù)；在限制方面，除了對(duì)副瓣的控制之外，還加入了對(duì)量化臺(tái)階的限制，使得優(yōu)化結(jié)果更具實(shí)際性。在近年來(lái)，多階密度加權(quán)陣開始和非線性優(yōu)化算法相結(jié)合，文獻(xiàn)[22-23]中分別介紹了多階加權(quán)密度陣和變異退火遺傳算法(AMAGA)以及粒子群算法相結(jié)合的應(yīng)用。

本文提出了一種新的基于幅度分檔的方向圖綜合方法。該方法首先利用交替投影得到綜合方向圖的陣元激勵(lì)，然后使用概率密度分布理論對(duì)陣元激勵(lì)幅度進(jìn)行量化，最后在量化陣元激勵(lì)幅度的基礎(chǔ)上通過半正定松弛(SDR)[24]方法得到陣元激勵(lì)的相位分布。本文結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)給出了綜合方向圖的表達(dá)式；第2節(jié)使用概率密度分布方法得到量化的陣元激勵(lì)幅度；第3節(jié)詳述了如何根據(jù)量化陣元激勵(lì)幅度獲取陣元激勵(lì)相位的步驟，其中SDR方法的應(yīng)用被重點(diǎn)介紹；第4節(jié)列出了算法的整體流程；第5節(jié)給出了仿真算例以及對(duì)算法性能的分析。

1 綜合方向圖

為了方便下文表述，本文使用uv坐標(biāo)系來(lái)定義方向圖空間，表示為

{u=sinθcosφ

v=sinθsinφ

(1)

式中：θ和φ為俯仰角和方位角。假設(shè)有N個(gè)陣元，排布在一個(gè)任意形狀的陣列上，第n個(gè)陣元的坐標(biāo)為(xn,yn),fn(u,v)為相應(yīng)的嵌入式陣元方向圖。根據(jù)文獻(xiàn)[25]可得，陣列天線的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射方向圖為

(2)

式中：In為陣元激勵(lì)為；ψ=2π/λ為波數(shù),λ為波長(zhǎng)。將綜合方向圖離散化，在整個(gè)uv平面上采樣M個(gè)點(diǎn)得到(um,vm)|m=1,2,…,M，則綜合方向圖的矩陣表達(dá)式為

{[F]M×1=XI

[X]M×N=Fe⊙B

(3)

式中：Fe=[f1f2…fn…fN],I=[I1I2…In…IN]T,fn=[fn(u1v1)

fn(u2,v2) …fn(uM,vM)]T。符號(hào)⊙為矩陣之間的hadamard乘積。陣列導(dǎo)向矢量B代表了陣列的結(jié)構(gòu)特性，其表達(dá)形式為

[B]M×N=[b1b2…bn…bN]

[bn]M×1=

根據(jù)上述參數(shù)表示，式(3)中的矩陣X可以表示為X=[β1β2…βn…βN],其中βn=fn⊙bn。

這里，嵌入式陣元方向圖被定義為當(dāng)陣列中一個(gè)輻射陣元被激勵(lì)其他陣元接負(fù)載時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射方向圖[26]。本文使用加權(quán)反向交替投影(Weighted Alternating Reverse Projection,WARP)算法[27]來(lái)獲取波束的無(wú)激勵(lì)幅度限制的陣元激勵(lì)。文獻(xiàn)[27]中已對(duì)該算法進(jìn)行了詳細(xì)分析，在這里不再贅述。

2 幅度量化

在第1節(jié)中，結(jié)合WARP算法和陣列方向圖模型，得到了方向圖的無(wú)激勵(lì)幅度限制的陣元激勵(lì)。本節(jié)將給出如何對(duì)得到的激勵(lì)幅度加以優(yōu)化使其達(dá)到量化的效果。

對(duì)式(2)中的陣元激勵(lì)值幅度歸一化，并用一組隨機(jī)變量Ln來(lái)表示，這里L(fēng)n的取值為C0,C1,…,CK,(C0≡0,Ck-1

FL(um,vm)=

(4)

式中：φ(n,um,vm)=φIn+φfn(um,vm),φIn為第n個(gè)陣元的激勵(lì)相位，φfn(um,vm)為第n個(gè)陣元的陣元方向圖在(um,vm)方向的相位。FL(um,vm)稱之為隨機(jī)變量方向圖。將第1節(jié)中得到的陣元激勵(lì)用Id表示，并且將使用Id得到的綜合方向圖稱為理想方向圖。則根據(jù)式(3)，理想方向圖Fd可表示為

[Fd]M×1=XId

(5)

由于所有陣元激勵(lì)所得到的方向圖的平均值須等于理想方向圖。結(jié)合式(5)，該性質(zhì)可用公式表示為

E[FL(um,vm)]=Fd(um,vm)

(6)

式中:E[FL(um,vm)]為對(duì)隨機(jī)變量方向圖的每個(gè)采樣點(diǎn)取均值；Fd(um,vm)為Fd中的第m個(gè)元素。從式(4)中可以看出，隨機(jī)變量方向圖中除了Ln中沒有其他隨機(jī)變量，因此式(6)可寫為

E[FL(um,vm)]=

(7)

結(jié)合式(6)和式(7)可得

(8)

(9)

式中：pn為第n個(gè)陣元激勵(lì)歸一化幅度選取檔位的概率。

這樣E[Ln]=pnCk+(1-pn)Ck+1。結(jié)合式(8)和式(9)，可得

(10)

從上述推導(dǎo)可以看出，量化臺(tái)階的選取標(biāo)準(zhǔn)為使量化的激勵(lì)幅度綜合出來(lái)的方向圖的平均值盡可能的和理想方向圖一致。然而僅憑此并不能使該方法具有實(shí)用價(jià)值。當(dāng)?shù)玫降拿總€(gè)綜合方向圖都偏離理想方向圖較遠(yuǎn)時(shí)，即使方向圖的均值等于理想方向圖也沒有用，因?yàn)檫@個(gè)均值是不能被具體實(shí)現(xiàn)的，從而統(tǒng)計(jì)理論也失去了其實(shí)用價(jià)值。因此，在這里我們給出了方差的概念，即綜合方向圖和理想方向圖之間的差距大小。方差可表示為

(11)

鑒于整個(gè)陣列方向圖表達(dá)式中Ln是唯一的隨機(jī)變量，結(jié)合式(7)可以將式(11)作如下變換：

(12)

(13)

式中：

α(m,p,q)=ψu(yù)m(xp-xq)+ψvm(yp-yq)+

[φ(p,um,vm)-φ(q,um,vm)]

(14)

根據(jù)式(12)和式(13)，式(11)可寫為

cos(α(m,p,q))cov(Lp,Lq)

(15)

式中：cov(Lp,Lq)為L(zhǎng)p和Lq的協(xié)方差。從式(9)可看出，所有隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立，因此式(15)中的cov(Lp,Lq)=0。如此，式(15)可以寫為

(16)

將式(10)代入式(16)，可得

(17)

則式(11)可寫為

(18)

(19)

由于式(19)是一個(gè)非線性優(yōu)化問題，因此可以用MATLAB中的fmincon函數(shù)來(lái)求解其最優(yōu)解。

在求得量化電平之后，根據(jù)式(19)來(lái)選取這些量化電平的分布范圍。當(dāng)一個(gè)陣元的激勵(lì)幅度落在[Ck,Ck+1]之間時(shí)，可以根據(jù)式(10)將相應(yīng)的概率分布pn算出來(lái)。當(dāng)pn≤1-pn時(shí)，激勵(lì)幅度取Ck+1,當(dāng)pn>1-pn時(shí)，激勵(lì)幅度取Ck。這樣，就得到了陣元激勵(lì)幅度量化電平以及每個(gè)量化電平的分布位置。得到的量化陣元激勵(lì)幅度用Ir表示，Ir為N×1維的列向量。

3 量化幅度加載下的陣元激勵(lì)相位分布

第2節(jié)中給出了量化陣元激勵(lì)幅度的計(jì)算方法，本節(jié)將重點(diǎn)描述如何在該組激勵(lì)幅度加載下獲取波束的激勵(lì)相位信息。圖1為一個(gè)腳印圖的示例，其中深灰色部分為賦形區(qū)域Si，So為非賦形區(qū)域。中灰色部分則代表了過渡區(qū)域St。

設(shè)方向圖在賦形區(qū)域內(nèi)的理想形狀表達(dá)式為Gd(u,v)。為表征兩個(gè)曲面相似程度，引入指標(biāo)函數(shù)：

(20)

圖1 帶有賦形區(qū)域、過渡區(qū)域、非賦形區(qū)域的腳印圖Fig.1 Footprint with shaped region, transient region and unshaped region

除綜合方向圖在賦形區(qū)域的形狀要求外，在非賦形區(qū)域的方向圖能量應(yīng)抑制得足夠低以獲得較低的副瓣區(qū)域電平。?So‖F(xiàn)(u,v)‖2dudv可以表示非賦形區(qū)域的方向圖能量。與此同時(shí)，賦形區(qū)域的方向圖能量?Si‖F(xiàn)(u,v)‖2dudv需要優(yōu)化得盡可能高，這樣整個(gè)系統(tǒng)的能量才能最大程度地被分配在主瓣波束內(nèi)，而且在過渡區(qū)域的方向圖也能有一個(gè)較快的下降速率。

考慮到上述優(yōu)化項(xiàng)，優(yōu)化方程可構(gòu)建如下：

(21)

式中：一共有兩個(gè)正則化參數(shù)，分別為μ1和γ。其中μ1為表征副瓣電平和主瓣波動(dòng)度之間關(guān)系的參數(shù)，通常根據(jù)過渡區(qū)域的大小來(lái)設(shè)定。

本文將其設(shè)定為非賦形區(qū)域和賦形區(qū)域的面積的比值。由于過渡區(qū)域在整個(gè)綜合過程中起著相當(dāng)重要的作用。擴(kuò)大過渡區(qū)域會(huì)導(dǎo)致主瓣波動(dòng)度的升高，而減小它則會(huì)引起副瓣電平的變壞。賦形區(qū)域和非賦形區(qū)域中的采樣點(diǎn)離過渡區(qū)域越近，這種現(xiàn)象越明顯?；谏鲜隼碚?，由于設(shè)定為非賦形區(qū)域和賦形區(qū)域的面積的比值，因此當(dāng)過渡區(qū)域擴(kuò)大時(shí)，μ1相應(yīng)降低，以此來(lái)補(bǔ)償過渡區(qū)域?qū)τ诰C合方向圖的影響。

第2個(gè)正則化參數(shù)γ的作用為平衡主瓣增益和副瓣電平之間的關(guān)系。在使用本文算法綜合方向圖之前，事先會(huì)確定綜合方向圖需要達(dá)到的最高副瓣電平以及主瓣增益，然后將γ設(shè)定為最高副瓣電平與主瓣增益的比值。這樣，非賦形區(qū)域內(nèi)方向圖的積分和賦形區(qū)域內(nèi)方向圖的積分之間即可保持這恒定的關(guān)系，從而使得綜合出來(lái)的方向圖盡可能地達(dá)到先前設(shè)定的最高副瓣電平及主瓣增益的目標(biāo)。

根據(jù)離散數(shù)值積分的概念，可將式(21)中的3個(gè)優(yōu)化項(xiàng)寫為

(22)

(23)

式中：W1、W2和W3為3個(gè)對(duì)角矩陣，分別代表了式(22)中3個(gè)積分優(yōu)化項(xiàng)里數(shù)值積分的矩陣形式。其形式如下

(24)

此外

(25)

其中：

(26)

其中：Gd為Gd(u,v)的向量形式；./代表了兩個(gè)矩陣中對(duì)應(yīng)位置的元素相除。

假設(shè)向量Ip代表陣元激勵(lì)的相位部分，則波束的陣元激勵(lì)可表示為I=diag(Ir)Ip的形式。代入式(23)中，則可得

(27)

式中：

(28)

根據(jù)文獻(xiàn)[24]，使用如下關(guān)系

ρHQρ=Tr(QρρH)

(29)

(30)

將式(30)代入式(25)中，可得

(31)

式中：Zi為一個(gè)N×N維的矩陣，其中的元素除了Zi(i,i)=1之外皆為0。由于對(duì)于Yp秩約束的存在，式(31)并不是一個(gè)凸優(yōu)化問題。因此，將秩約束去掉后，式(31)即可轉(zhuǎn)換成一個(gè)如下的凸優(yōu)化問題

(32)

使用CVX工具箱[28]即可求得Yp。

求得Yp后，如何從中分解出合適的陣元激勵(lì)相位便成了需要進(jìn)一步解決的問題。傳統(tǒng)的分解方法有3種：① 特征值分解法(文獻(xiàn)[24]) ；② 降秩特征分解法(文獻(xiàn)[29])；③ 隨機(jī)分解法(文獻(xiàn)[24])。

其中，隨機(jī)分解法在三者中有最好的效果[24]，因此本文選擇隨機(jī)分解法來(lái)獲取陣元激勵(lì)的相位信息。3種方法的分析和效果已在文獻(xiàn)[24]中給出，因此本文不再贅述，這里直接給出相位獲取步驟。

步驟1 設(shè)定一個(gè)隨機(jī)變量個(gè)數(shù)D。

則Ip=δimin即為最終得到的相位解。

4 量化陣元激勵(lì)幅度下的方向圖綜合步驟

綜上所述，本文提出的基于概率密度分布的量化陣元激勵(lì)幅度方向圖綜合步驟如下：

步驟1 輸入方向圖的腳印圖信息。

步驟2 設(shè)定Gd(u,v)和μ1。

步驟3 使用加權(quán)交替投影算法得到綜合方向圖的無(wú)陣元激勵(lì)幅值限制的歸一化陣元激勵(lì)I(lǐng)d。 步驟4 對(duì)Id使用概率密度方法處理得到量化后的陣元激勵(lì)幅值。

步驟5 通過式(25)和式(26)得到Q1、Q2和Q3。 步驟6 將Q1、Q2和Q3代入式(30)得到式(32)，使用cvx工具箱求解式(32)得到Y(jié)p。

步驟7 使用隨機(jī)法從Yp中提取出最優(yōu)陣元激勵(lì)相位Ip，并得到最終陣元激勵(lì)I(lǐng)=diag(Ir)Ip，從而得到相應(yīng)的賦形波束綜合方向圖。

5 仿真算例

本節(jié)通過3組算例對(duì)文中算法的性能進(jìn)行了例證。第1組算例給出了平頂方向圖的賦形效果，算例中使用的陣元方向圖為嵌入式陣元方向圖。算例使用的腳印圖和陣列陣元排布形狀較為規(guī)則，為一個(gè)正六邊形的區(qū)域。算例給出了使用量化陣元激勵(lì)幅度綜合的方向圖與非量化陣元激勵(lì)幅度綜合的方向圖性能對(duì)比，以此來(lái)得出量化陣元激勵(lì)幅度的效果。第2組算例為對(duì)賦形波束的方向圖綜合仿真，陣列的陣元方向圖同樣均為嵌入式陣元方向圖。該算例主要意義在于檢測(cè)文中算法對(duì)于非平頂方向圖的賦形效果。第3組算例為一組對(duì)比算例，算例中給出了在陣列陣元個(gè)數(shù)相同，陣元激勵(lì)法幅度量化的檔位個(gè)數(shù)不同，以及陣列陣元個(gè)數(shù)不同，陣元激勵(lì)法幅度量化的檔位個(gè)數(shù)相同的兩種情況下，綜合方向圖的效果，從而給出了量化檔位對(duì)于綜合方向圖的影響。在這里，一些仿真參數(shù)設(shè)定如下：

1)ri=max{d(x)|x∈Si}，rt=max{d(x)|x∈St},其中d(·)代表與原點(diǎn)的歐幾里得距離。

2) 所有的綜合方向圖都為歸一化方向圖了。

3)M=91×181。

4) 所有陣元都是微波貼片天線。

5) 算例中的陣元激勵(lì)幅度均為歸一化陣元激勵(lì)幅度。

6) 所有算例均是在2.6 GHz主頻的筆記本電腦(Intel I5-4200M CPU 4 GB SDRAM)上進(jìn)行的。

5.1 平頂方向圖綜合

圖2 陣列結(jié)構(gòu)和腳印圖Fig.2 Array structure and footprint

圖3 歸一化量化陣元激勵(lì)幅度及其對(duì)數(shù)值Fig.3 Excitation amplitude and logarithmic value of normalized element array

圖4 使用非量化幅度的陣元激勵(lì)得到的綜合 方向圖及等高線 Fig.4 Synthesized pattern and its contour line with non-normalized element excitations amplitudes

本節(jié)給出了平頂方向圖的綜合算例。該算例使用的陣列在圖2(a)中被給出，為一個(gè)由91個(gè)陣元組成的六邊形陣列，陣元間距為半波長(zhǎng)，同時(shí)腳印圖為圖2(b)中給出的六邊形規(guī)則腳印圖。賦形區(qū)域Si、過渡區(qū)域St和非賦形區(qū)域So在圖中被標(biāo)出，采樣點(diǎn)數(shù)Min=9 931，Mext=17 924，ri=0.5，rt=0.72。圖3(a)給出了陣元激勵(lì)幅度的量化分檔。共分6檔，0、0.337 1、0.380 9、0.529 4、0.736 8和1。圖3(b)為量化檔位的對(duì)數(shù)值，可以看出量化后陣元激勵(lì)的動(dòng)態(tài)范圍為4.7 dB，可以滿足大部分的工程應(yīng)用要求。綜合結(jié)果在圖4中被給出。其中圖4(a)和圖4(b)為使用普通陣元激勵(lì)得到的綜合方向圖及其等高線圖，圖5(a)和圖5(b)為使用幅度量化的陣元激勵(lì)得到的綜合方向圖及其等高線圖。從圖4和圖5中可看出，不論是使用量化幅度的陣元激勵(lì)還是使用非量化幅度的陣元激勵(lì)，綜合方向圖的賦形區(qū)域均被-3 dB等高線完全圍住。其中，使用非幅度量化的陣元激勵(lì)得到的綜合方向圖在主瓣區(qū)域內(nèi)的波動(dòng)度為2 dB，而使用量化幅度的陣元激勵(lì)得到的綜合方向圖在主瓣內(nèi)最大波動(dòng)度為3 dB。與此同時(shí)，副瓣最高電平值分別為-23.62 dB和-20 dB。因此，幅度量化后的陣元激勵(lì)綜合出的方向圖性能相比量化前并沒有很大的衰退。此外，圖4中的綜合方向圖在波束離開賦形區(qū)域后立刻開始下降，并且在賦形區(qū)域達(dá)到了-20 dB，這說明綜合方向圖能夠滿足腳印圖的設(shè)定。算例中方向圖的方向性系數(shù)為13.001。

圖5 使用量化幅度的陣元激勵(lì)得到的 綜合方向圖及等高線 Fig.5 Synthesized pattern and its contour line with normalized element excitations amplitudes

5.2 賦形方向圖綜合

本節(jié)給出了使用幅度量化的陣元激勵(lì)對(duì)賦形方向圖的綜合結(jié)果。圖6(a)給出了綜合方向圖的腳印圖和所用的陣列。波束的腳印圖為一個(gè)長(zhǎng)方形，Min=3 898，Mext=24 857,ri=0.316 2，rt=0.514 8。賦形波束頂部形狀為

Gd(um,vm)=((um)2+(vm)2+0.2)|(um ,vm )∈Si

(33)

圖6(b)給出了賦形所用的陣列圖。陣列為13×13的方陣，陣元間距半波長(zhǎng)，每個(gè)陣元的陣元方向圖為嵌入式陣元方向圖。

圖7和圖8給出了賦形方向圖的綜合展示。其中，圖7為使用非幅度量化的陣元激勵(lì)綜合的方向圖賦形結(jié)果，圖8為使用幅度量化的陣元激勵(lì)綜合的方向圖賦形結(jié)果。兩種情況下，波束的最大副瓣電平值均未超過-20 dB，同時(shí)賦形波束在賦形區(qū)域內(nèi)的形狀與理想方向圖基本一致，最大差距不超過1 dB。此外，從圖中可以看出，使用本文算法得到的賦形方向圖在性能上與使用非量化幅度陣元激勵(lì)得到的賦形方向圖相差無(wú)幾，這說明本文算法得到的量化幅度的陣元激勵(lì)可以較好地完成賦形波束的方向圖綜合。圖9給出了該組算例的陣元激勵(lì)量化幅度分布圖。陣元激勵(lì)幅度的量化共分成了9個(gè)檔位，分別是1、0.81、0.76、0.67、0.64、0.61、0.56、0.55和0。圖9(a)給出了量化陣元激勵(lì)幅度的分布，圖9(b)為其對(duì)數(shù)取值。

圖6 賦形波束腳印圖及陣列Fig.6 Footprint of shaped-beam pattern and array structure

圖7 非幅度量化陣元激勵(lì)綜合的長(zhǎng)方形賦形波束Fig.7 Rectangular shaped-beam pattern synthesis with non-normalized element excitation amplitudes

圖8 幅度量化陣元激勵(lì)綜合的長(zhǎng)方形賦形波束Fig.8 Rectangular shaped-beam pattern synthesis with normalized element excitation amplitudes

圖9 歸一化量化陣元激勵(lì)幅度及其對(duì)數(shù)值Fig.9 Normalized element excitation amplitudes and logarithm value of arrary

5.3 量化檔位個(gè)數(shù)的影響

在方向圖綜合問題中，陣元激勵(lì)的幅度個(gè)數(shù)作為變量的自由度對(duì)綜合方向圖的性能有著極大的影響，因此本節(jié)給出了陣元激勵(lì)幅度量化檔位個(gè)數(shù)對(duì)于綜合方向圖的影響。賦形算例為使用圖2(a)中的正六邊形陣列來(lái)完成一個(gè)腳印圖為正方形的平頂方向圖。腳印圖如圖10所示，其中Min=6 063,Mext=23 039,ri=0.282 9,rt=0.565 7。

表1給出了在不同陣元激勵(lì)幅度量化檔位個(gè)數(shù)的情況下，綜合方向圖的性能。表中列出了賦形區(qū)域波束的波動(dòng)度和副瓣區(qū)域的最高電平值兩個(gè)評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)， 陣元激勵(lì)幅度的量化檔位個(gè)數(shù)為12、10、8、6、4。陣元激勵(lì)的幅度和相位可以看做方向圖綜合問題中的優(yōu)化變量，因此量化檔位的個(gè)數(shù)即為優(yōu)化變量的自由度。當(dāng)自由度大的時(shí)候，就可以得到較好的優(yōu)化結(jié)果。而這一現(xiàn)象也從表中可以看出。當(dāng)量化檔位個(gè)數(shù)為12時(shí)，綜合出的方向圖性能和使用非幅度量化的陣元激勵(lì)得到的方向圖性能相似，并沒有相差太多；而隨著陣元激勵(lì)幅度的量化檔位個(gè)數(shù)減少，綜合方向圖的性能出現(xiàn)了大幅度的衰退。當(dāng)檔位個(gè)數(shù)為4時(shí)，綜合方向圖的性能已經(jīng)嚴(yán)重失真。因此，當(dāng)陣元個(gè)數(shù)固定時(shí)，量化檔位越多，綜合方向圖效果越好。圖11給出了綜合方向圖主瓣波動(dòng)度和最高副瓣電平隨陣元激勵(lì)幅度量化檔位變化而變化的趨勢(shì)圖。

圖10 正方形腳印圖Fig.10 Rectangular footprint

表1 不同陣元激勵(lì)幅度量化檔位個(gè)數(shù)下波束性能

Table 1 Beam performance with different quantizations of normalized elements excitation amplitudes

陣元激勵(lì)幅度量化檔位個(gè)數(shù)最大副瓣電平值/dB賦形區(qū)域波束最大波動(dòng)度/dB4-14.65.86-15.92.38-18.42.010-22.41.912-23.11.9

表2給出了在相同的陣元激勵(lì)幅度量化臺(tái)階個(gè)數(shù)下，不同陣列陣元數(shù)對(duì)綜合方向圖的性能影響。表中同樣列出了賦形區(qū)域波束波動(dòng)度和副瓣區(qū)域最高電平值兩個(gè)評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，陣元激勵(lì)幅度的量化檔位個(gè)數(shù)為10，陣列陣元數(shù)為91、127、169、217、271和331。從表中可以看出，在同等個(gè)數(shù)的量化檔位個(gè)數(shù)下，綜合方向圖的效果的性能和陣列陣元個(gè)數(shù)并沒有線性的關(guān)系。這是因?yàn)?，?dāng)陣列陣元個(gè)數(shù)變多的時(shí)候，雖然量化檔位個(gè)數(shù)相對(duì)減少導(dǎo)致陣元激勵(lì)幅度的自由度在減少，然而陣元激勵(lì)相位的自由度卻在增加，因此綜合方向圖的性能并沒有過多的惡化。

圖11 量化檔位個(gè)數(shù)變化時(shí)綜合方向圖的性能曲線 Fig.11 Synthesized pattern performance curves with changing normalized element excitations amplitudes quantizations

表2 陣元激勵(lì)幅度量化檔位個(gè)數(shù)為10時(shí)波束性能和陣列陣元個(gè)數(shù)的關(guān)系

Table 2 Relationship between beam performance and array element numbers when quantizations of element excitation amplitudes are 10

陣列陣元個(gè)數(shù)最大副瓣電平值/dB賦形區(qū)域波束最大波動(dòng)度/dB91-22.413.0127-23.003.1169-23.003.0217-22.903.2271-27.532.9

5.4 算例比對(duì)

除了使用文中算法來(lái)對(duì)方向圖進(jìn)行仿真外，本文給出了使用其他算法來(lái)綜合方向圖的算例，以此來(lái)進(jìn)行比較。使用粒子群算法來(lái)得到帶有量化陣元激勵(lì)幅值[30,31]是近來(lái)提出的一種新方法，由于其良好的綜合效果而被廣泛的應(yīng)用于各種背景中。因此這里本文選擇文獻(xiàn)[30]和文獻(xiàn)[31]中的兩個(gè)算法來(lái)作為對(duì)比。

為了使對(duì)比更具有說服力，使用了文獻(xiàn)[30]中的仿例作為仿真場(chǎng)景來(lái)完成3個(gè)算法的對(duì)比。使用的陣列為陣元數(shù)為64的線陣，陣元間距半波長(zhǎng)，同時(shí)所有陣元均為各向同性陣元。仿真波束為一個(gè)指向零點(diǎn)的針狀波束。圖12中給出了本文算法以及文獻(xiàn)[30]和文獻(xiàn)[31]中算法的綜合結(jié)果比較。圖12(a)及圖12(b)為使用本文算法得到的綜合方向圖以及陣元激勵(lì)幅度檔位分布，圖12(c)及圖12(d)為使用文獻(xiàn)[30]中算法得到的綜合方向圖以及陣元激勵(lì)幅度檔位分布，圖12(e)及圖12(f)為使用文獻(xiàn)[31]中算法得到的綜合方向圖以及陣元激勵(lì)幅度檔位分布。陣元激勵(lì)幅度檔位設(shè)置為8個(gè)檔位，兩個(gè)算法得到的量化陣元激勵(lì)幅值均為對(duì)稱式分布。使用本文算法得到的量化陣元激勵(lì)幅度為(0.079 3，0.197 5，0.334 7，0.453 3，0.606 0，0.746 3，0.880 1，1)，使用文獻(xiàn)[30]中算法得到的量化陣元激勵(lì)幅度為(0.075 5，0.206 4，0.360 6，0.532 5，0.698 6，0.841 1，0.945 1，1)，使用文獻(xiàn)[31]中算法得到的量化陣元激勵(lì)幅度為(0.139，0.260 8，0.388 0，0.520 1，0.624 4，0.755 4，0.881 2，0.999 8)。表3給出了該對(duì)比算例中兩個(gè)綜合方向圖的具體參數(shù)。

從圖12和表3中可以看出，本文算法在陣元激勵(lì)幅值動(dòng)態(tài)范圍一項(xiàng)上占有優(yōu)勢(shì)，在方向圖性能方面略遜于文獻(xiàn)[30,31]中的算法。然而，文獻(xiàn)[30,31]使用了粒子群算法作為優(yōu)化方法，其良好的綜合結(jié)果是以綜合時(shí)間以及計(jì)算復(fù)雜度作為代價(jià)來(lái)獲取的。因此這里對(duì)3個(gè)算法的綜合時(shí)間及計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行分析對(duì)比。

圖12 64陣元線陣的綜合方向圖效果對(duì)比Fig.12 Comparison of performance of synthesized pattern using linear array with 64 elements

表3 使用3個(gè)算法得到的針狀波束綜合效果

Table 3 Comparison of performance of pencil beam synthesis using three algorithms

算法最高副瓣電平值/dB3dB寬度/(°)陣元激勵(lì)幅度動(dòng)態(tài)范圍/dB本文算法-33.13.8920文獻(xiàn)[30]中算法-35.482.41825文獻(xiàn)[31]中算法-35.592.4120

表4給出了3個(gè)算法的計(jì)算復(fù)雜度以及在綜合5.4節(jié)的算例時(shí)3個(gè)算法所用時(shí)間。由于3個(gè)算法的核心及主要工作量均在于如何獲取陣元激勵(lì)幅度檔位和加權(quán)寬度，因此這里的對(duì)比也將著重于分析獲陣元激勵(lì)幅度檔位和加權(quán)寬度的時(shí)間及復(fù)雜度。

1) 本文對(duì)式(19)的求解使用了MATLAB中的fmincon工具箱，求解算法為序列二次規(guī)劃算法(SQP)[32]。根據(jù)文獻(xiàn)[32]中提及的sqp算法的復(fù)雜度，本文算法獲取陣元激勵(lì)幅度檔位和加權(quán)寬度的時(shí)間復(fù)雜度可以寫為O(K3.5)，其中K為量化陣元激勵(lì)幅度檔位。

表4 使用本文算法以及文獻(xiàn)[30,31]中算法綜合針狀波束的時(shí)間

Table 4 Comparison of time of pencil beam synthesis using proposed algorithm and algorithms of Refs.[30,31]

算法綜合時(shí)間/s計(jì)算復(fù)雜度本文算法4.36O(K3.5)文獻(xiàn)[30]中算法45.00O(χ1(MCI1NCP1K+MSI1NSP1K))文獻(xiàn)[31]中算法60.00O(χ2(MCP2NCP2K+MSI2NSP2K+TpMp(Np)2))

從上述分析中可以看出，本文算法的優(yōu)點(diǎn)可以歸納如下：

1) 效果良好。從仿真算例可以看出，仿真結(jié)果滿足大部分實(shí)際工程需求。

2) 速度快，計(jì)算步驟不繁瑣。從對(duì)比中可以看出，由于計(jì)算過程較為復(fù)雜，文獻(xiàn)[30,31]中算法的計(jì)算復(fù)雜度含有較多的變量，這些變量的取值往往大于陣元激勵(lì)幅度檔位個(gè)數(shù)，因此整個(gè)綜合時(shí)間會(huì)受到多個(gè)變量的共同影響，這不僅會(huì)增大計(jì)算量，也對(duì)預(yù)先估計(jì)算法的運(yùn)行時(shí)間增添了難度。本文算法的計(jì)算復(fù)雜度僅和量化陣元激勵(lì)幅度的檔位個(gè)數(shù)有關(guān)，不僅綜合過程簡(jiǎn)單，同時(shí)也能提供較快的綜合速度，這也是本文算法最大的優(yōu)勢(shì)所在。

3) 陣元激勵(lì)幅值動(dòng)態(tài)范圍的減少也使得本文算法有著更廣泛的工程應(yīng)用性。

6 結(jié) 論

本文提出了一種如下的新型的基于幅度分檔的賦形波束方向圖綜合算法。

1) 提出了使用概率密度理論得到量化的陣元激勵(lì)幅度的方法，使得量化過程可以根據(jù)任意形狀的陣面和陣元柵格排布來(lái)劃分幅度的檔位區(qū)間。

2) 在1)的基礎(chǔ)上使用半松弛正定方法來(lái)得到陣元激勵(lì)的相位分布，利用優(yōu)化過的相位分布減小因陣元激勵(lì)幅度量化所帶來(lái)的誤差，從而進(jìn)一步提高最終方向圖的性能效果。

本文實(shí)現(xiàn)方法簡(jiǎn)單，無(wú)需迭代，從而有著更廣泛的適用性。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的正確性和有效性。

[1] WARREN L， STUTZMAN A， THIELE G. Antenna theory and design[M]. New York： John Wiley & Sons, 1998: 76-171.

[2] STRAIT B J. Antenna arrays with partially tapered amplitudes[J]. IEEE Transactions on Antennas & Propagation, 1967, AP15(5): 611-617.

[3] HANSEN R C. Effect of field amplitude taper on measured antenna gain and sidelobes[J]. Electronics Letters, 1981, 17(7): 260-261.

[4] HAUPT R L. Reducing grating lobes due to subarray amplitude tapering[J]. IEEE Transactions on Antennas & Propagation, 1985, 23(8): 119-122.

[5] HAUPT R L. Optimization of subarray amplitude tapers[C]∥Antennas and Propagation Society International Symposium. Piscataway, NJ: IEEE Press, 1995, 4: 1830-1833.

[6] OGG F C. Steerable array radars[J]. IRE Transactions on Military Electronics, 1961, MIL-51(2): 80-94.

[7] MAFFETT A. Array factors with nonuniform spacing parameter[J]. IRE Transactions on Antennas & Propagation, 1962, 10(2): 131-136.

[8] LO Y. A spacing weighted antenna array[C]∥1958 IRE International Convention Record. Piscataway,NJ:IEEE Press, 1966: 191-195.

[9] WILLEY R. Space tapering of linear and planar arrays[J]. IRE Transactions & Antennas and Propagation, 1962, 10(4): 369-377.

[10] ISHIRU A. Theory of unequally-spaced arrays[J]. IRE Transactions on Antennas & Propagation, 1962, 10(6): 691-702.

[11] SKOLNIK M L, SHERMAN J, OGG F. Statistically designed density-tapered arrays[J]. IEEE Transactions & Antennas and Propagation, 1964, 12(4): 408-417.

[12] HAUPT R L. Thinned arrays using genetic algorithms[J]. IEEE Transactions on Antennas & Propagation, 1994, 42(7): 993-999.

[13] NUMAZAKI T, MANO S, KATAGI T, et al. An improved thinning method for density tapering of planar array antennas[J]. IEEE Transactions on Antennas & Propagation, 1987, 35(9): 1066-1070.

[14] BALL G J. Statistical density and amplitude tapering[C]∥1989 Sixth International Conference on Antennas and Propagation. Coventry: IET, 1989: 249-253.

[15] MAILLOUX R J, COHEN E. Statistically thinned arrays with quantized element weights[J]. IEEE Transactions on Antennas & Propagation, 1991, 39(4): 436-447.

[16] LEE J J. Sidelobes control of solid-state array antennas[J]. IEEE Transactions on Antennas & Propagation, 1988, 36(3): 339-344.

[17] XUE F, GUO Y, FANG N. Analysis and computation of circular aperture arrays with multi-step amplitude quantization[C]∥IEEE Antennas & Propagation Society International Symposium. Piscataway, NJ: IEEE Press, 1992:470-473.

[18] QIN L J, SHAO J D. Design of multi-step amplitude quantized weights for solid-state planar phased array antennas[C]∥Aerospace & Electronics Conference. Piscataway, NJ: IEEE Press, 1995: 77-80.

[19] TIE G, JIAN X L, YAN C G. Design and analysis of multi-step amplitude quantization weighted 2-D solid-state active phased array antennas[J]. Journal of Electronics, 1994, 11(1): 71-78.

[20] HUAN Z, WANG Y X, XU X W, et al. Direct amplitude optimization and quantization for ultralow sidelobe phased arrays[C]∥IEEE International Conference on Computational Electromagnetics and Its Applications. Piscataway, NJ: IEEE Press, 1999: 183-186.

[21] HUAN Z, WANG Y X, XU X W, et al. Multi-step amplitude quantization for ultralow sidelobe phased arrays by direct optimization synthesis[J]. Journal of Systems Engineering and Electronics, 2001, 12(1): 65-69.

[22] XU H. Research on phased array antenna multi-step mixed feed[C]∥Microwave and Millimeter Wave Technology. Piscataway, NJ: IEEE Press, 2010: 2003-2006.

[23] XU F M, MENG L Q, XIE Y N. Realizing stepped amplitude quantization of low sidelobe linear array using particle swarm optimization algorithm[C]∥IET International Communication Conference on Wireless Mobile and Computing. Coventry: IET, 2009: 570-573.

[24] LUO Z Q, MA W K, SO A M C, et al. Semidefinite relaxation of quadratic optimization problems[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2010, 27(3): 20-34.

[25] BALANIS C A. Antenna theory: Analysis and design[M]. New York: Harper & Row, Publishers, Inc.，1982: 212-216.

[26] POZAR D M. The active element pattern[J]. IEEE Transactions on Antennas & Propagation, 1994, 42(8): 1176-1178.

[27] HADDADI A, GHORBANI A, RASHED M J. Cosecant-squared pattern synthesis using a weighted alternating reverse projection method[J]. IET Microwaves, Antennas & Propagation, 2011, 5(15): 1789-1795.

[28] BOYD S, VANDENBERGHE L. Convex optimization[M]. New York: Cambridge University Press, 2004: 51-53

[29] HUANG Y, PALOMAR D P. Rank-constrained separable semidefinite programming with applications to optimal beamforming[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2010, 58(2): 664-678.

[30] ZHANG Z H, HU W D, YU W X. Design of quantized amplitude weights for low sidelobe phased array antennas[J]. Acta Electronica Sinica, 2007, 35(3): 580-584.

[31] 徐鋒明， 孟令琴， 謝亞楠. 基于改進(jìn)的粒子群算法實(shí)現(xiàn)階梯幅度量化相控陣天線的低副瓣[J]. 上海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2010, 16(4): 361-366.

XU F M, MENG L Q, XIE Y N. Realization of low sidelobe for step-quantized amplitude phased array antennas based on modified particle swarm optimization[J]. Journal of Shanghai University (Natural Science Edition), 2010, 16(4): 361-366 (in Chinese).

[32] 虞泓波, 馮大政, 解虎. 采用序列二次規(guī)劃求解的穩(wěn)健波束形成新算法[J]. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2016, 43(2): 41-45.

YU H B, FENG D Z, XIE H. Novel robust beamforming algorithm using sequential quadratic programming[J]. Journal of Xidian University, 2016, 43(2): 41-45 (in Chinese).

[33] KENNEDY J. Particle swarm optimization[M]. Encyclopedia of machine learning. Berlin: Springer, 2011: 760-766.

[34] LIU Y Q, LIU S Y, GU M T. Application of powell algorithm in linear support vector machine[J]. Computer Engineering, 2011, 37(12): 161-163.