劉帥琦，王布宏，李夏，劉新波，曹帥

1.空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安 710077 2.中國(guó)人民解放軍93995部隊(duì)，西安 710306 3.中國(guó)人民解放軍93801部隊(duì)，咸陽(yáng) 712200

混合多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)相控陣?yán)走_(dá)[1-5]近幾年引起國(guó)內(nèi)外廣泛關(guān)注，通過(guò)在傳統(tǒng)相干MIMO雷達(dá)[6-7]發(fā)射陣列基礎(chǔ)上進(jìn)行合理子陣分割，形成的子陣間發(fā)射相互正交信號(hào)，子陣內(nèi)發(fā)射相干信號(hào)，兼具M(jìn)IMO雷達(dá)[8]波形分集增益和相控陣?yán)走_(dá)[9-10]傳輸相干增益優(yōu)勢(shì)的工作模式靈活多變的新型雷達(dá)系統(tǒng)[11]。相較于傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)，子陣分割帶來(lái)的傳輸相干增益，提高了混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)接收端信噪比，進(jìn)而提高了雷達(dá)系統(tǒng)波達(dá)方向(Direction Of Arrival, DOA)估計(jì)性能[12]。

然而發(fā)射端子陣分割帶來(lái)一系列優(yōu)勢(shì)的同時(shí)，卻減少了混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)所能形成的虛擬陣元數(shù)目。當(dāng)發(fā)射陣元個(gè)數(shù)為M，接收陣元個(gè)數(shù)為N，子陣分割數(shù)為K(K≤M)時(shí)，MIMO雷達(dá)可以形成MN個(gè)虛擬陣元，而混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)只能形成KN個(gè)虛擬陣元，這種虛擬陣元數(shù)目的損失會(huì)直接造成部分雷達(dá)陣列自由度的損失。而自由度大小是影響雷達(dá)系統(tǒng)所能探測(cè)目標(biāo)數(shù)目的關(guān)鍵因素，也是評(píng)價(jià)雷達(dá)性能的一項(xiàng)重要指標(biāo)。相較于MIMO雷達(dá)，子陣分割帶來(lái)的自由度損失在一定程度上制約了混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)可辨識(shí)目標(biāo)數(shù)目、抗干擾能力，進(jìn)而對(duì)雷達(dá)系統(tǒng)的整體性能造成影響。因而如何在保留二維混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)優(yōu)勢(shì)的基礎(chǔ)上，通過(guò)某種措施彌補(bǔ)自由度損失，進(jìn)一步提高二維混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)性能是目前亟待解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。

目前學(xué)術(shù)界就如何增加陣列自由度已有大量的相關(guān)研究，文獻(xiàn)[13]采用的最小冗余陣列可以利用較少的物理陣元形成較大的虛擬陣元數(shù)目以增加陣列自由度，然而采用窮舉搜索法優(yōu)化得到陣元位置所帶來(lái)的高計(jì)算復(fù)雜度不利于實(shí)際應(yīng)用。文獻(xiàn)[14]提出的互質(zhì)陣列可以利用M+N個(gè)陣元形成O(MN)個(gè)自由度，但互質(zhì)陣列稀疏排列帶來(lái)的相位模糊對(duì)DOA估計(jì)精度產(chǎn)生了較大影響。文獻(xiàn)[15]提出的嵌套陣可以在陣元總數(shù)給定的情況下，產(chǎn)生陣元位置相對(duì)確定的虛擬陣元數(shù)目擴(kuò)展，獲得較大的自由度，便于工程實(shí)現(xiàn)。基于此，文獻(xiàn)[16]將二級(jí)嵌套陣列應(yīng)用在了一維陣列的DOA估計(jì)中，利用N個(gè)陣元形成了N2個(gè)自由度，取得了較好的研究成果。文獻(xiàn)[17]針對(duì)MIMO雷達(dá)，利用近乎一半的陣元構(gòu)造嵌套陣恢復(fù)了全陣元的自由度。雖然文獻(xiàn)[13-17]的研究成果顯著，但均只是針對(duì)一維陣列進(jìn)行研究，對(duì)于二維陣列這種實(shí)用性更廣的陣列沒(méi)有進(jìn)行考慮。

文獻(xiàn)[18]利用互相平行的兩行一維嵌套陣列構(gòu)造二維陣列形式，提高了二維DOA估計(jì)精度，但局限在于只是線陣的簡(jiǎn)單疊加，對(duì)陣元數(shù)目較大的陣列沒(méi)有提出較好的設(shè)計(jì)方案。而文獻(xiàn)[19]提出的二維嵌套陣列利用稀疏陣列和密集陣列構(gòu)成的自由度擴(kuò)展為研究二維陣列提供了新思路，且文獻(xiàn)[20]已經(jīng)將二維嵌套陣列成功應(yīng)用于DOA估計(jì)中，并取得了較好的研究成果。基于以上分析，本文將二維嵌套陣列引入二維混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)接收陣列的設(shè)計(jì)中，以增加二維混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)陣列自由度，提高DOA估計(jì)性能。本文的主要工作有：給出一種由稀疏陣列和密集陣列構(gòu)成的實(shí)際接收陣列模型，在此基礎(chǔ)上結(jié)合二維混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)信號(hào)模型，對(duì)接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行Khatri-Rao乘積處理并進(jìn)行詳盡分析，得到陣元數(shù)目虛擬擴(kuò)展的差異陣列，最后通過(guò)空間平滑處理，進(jìn)行DOA估計(jì)驗(yàn)證本文所提方法的有效性。

1 二維嵌套陣列模型

稀疏陣列中陣元數(shù)目為

Ns=(2Ns1+1)Ns2-1

式中：Ns1和Ns2為任意選定的整數(shù)，陣元位置為Nsns,其中ns=[ab]T為整數(shù)向量，滿足：-Ns1≤a≤Ns1，0≤b≤Ns2-1且[ab]T≠0。

對(duì)如圖1所示的二維嵌套陣列中任意兩個(gè)陣元位置進(jìn)行做差處理，并將得到的位置差作為新陣元位置，這樣得到的新陣列較原陣列擁有更多的陣元數(shù)目，本文將其定義為差異陣列，此時(shí)陣元位置可以描述為{±(Nsns-Ndnd),Ndnd-Ndnd,Nsns-Nsns}。

實(shí)際上，差異陣列是二維嵌套陣列陣元數(shù)目虛擬擴(kuò)展的本質(zhì)，而為了對(duì)差異陣列進(jìn)行DOA估計(jì)，需要選取差異陣列中陣元連續(xù)排列的一部分作為最終的等效陣列，經(jīng)過(guò)分析，陣元位置可以描述為{±(Nsns-Ndnd),Ndnd-Ndnd},去掉其中的冗余陣元最終得到的差異陣列所含陣元個(gè)數(shù)為F×L，其中F=(2Ns1+1)λ1，L=2Ns2λ2-1,如圖2所示。從圖1和圖2可以看到，通過(guò)對(duì)特殊排列的二維嵌套陣列中任意兩個(gè)陣元位置進(jìn)行做差處理可以得到比實(shí)際陣元數(shù)目更多的虛擬陣列，而如果在實(shí)際應(yīng)用中構(gòu)造出這種差異陣列，就可以使得陣元數(shù)目得到虛擬擴(kuò)展。

圖1 二維嵌套陣列模型Fig.1 Model of 2D nested array

圖2 差異陣列Fig.2 Difference array

2 二維混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)信號(hào)模型

一個(gè)典型的二維混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)是在收發(fā)陣列共址的MIMO雷達(dá)基礎(chǔ)上，對(duì)發(fā)射陣列進(jìn)行合理的子陣劃分形成的，假設(shè)目標(biāo)為遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)，發(fā)射端陣元數(shù)目為M×N，相鄰陣元間隔為半波長(zhǎng)，子陣分割數(shù)目為K，且K≤MN，K個(gè)子陣中陣元的發(fā)射信號(hào)集可以表示為φ(t)=[φ1(t)φ2(t) …φK(t)]T，其中子陣間信號(hào)滿足兩兩正交。用M×N維由0、1兩種元素構(gòu)成的矩陣Zk來(lái)表示第k個(gè)子陣包含的陣元位置，0表示陣元不在該子陣內(nèi)，1則表示屬于該子陣。因此，第k個(gè)子陣的發(fā)射導(dǎo)向矢量可以表示為

ak(θ,φ)=vec[Zk⊙[μ(θ,φ)υT(θ,φ)]]

k=1,2,…,K

(1)

式中：θ和φ分別為俯仰角和方位角;vec[·]為矩陣矢量化處理；⊙為Hadamand乘積;

μ(θ,φ)=[1 ej2πdmsin θ cos φ… ej2π(Mt-1)dmsin θ cos φ]T

υ(θ,φ)=[1 ej2πdnsin θ sin φ… ej2π(Nt-1)dnsin θ sin φ]T

(2)

其中：dm和dn分別為相鄰行相鄰列的陣元間距;Mt和Nt分別為發(fā)射陣每行和每列的陣元數(shù)。

(3)

式中：β為目標(biāo)反射系數(shù)；τk(θ,φ)為信號(hào)從第k個(gè)子陣的第1個(gè)單元到發(fā)射陣列第1個(gè)單元所需的時(shí)間差。假設(shè)接收陣列導(dǎo)向矢量為b(θ,φ)，那么此時(shí)雷達(dá)接收端接收到的信號(hào)為

x(t)=r(t,θ,φ)b(θ,φ)+n(t)

(4)

式中：n(t)為零均值的高斯白噪聲矩陣。對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行匹配濾波之后得到的接收數(shù)據(jù)矩陣為

(5)

(6)

3 基于二維嵌套陣列的接收信號(hào)處理

與傳統(tǒng)陣列不同的是，收發(fā)陣列形成的虛擬陣列結(jié)構(gòu)的陣元數(shù)目擴(kuò)展是相干MIMO雷達(dá)自由度較多的本質(zhì)，因而混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)發(fā)射子陣分割帶來(lái)的虛擬陣元數(shù)目減少，是其自有度損失的根本原因。因此，彌補(bǔ)自有度損失的關(guān)鍵應(yīng)從增加虛擬陣元數(shù)目出發(fā)?；谝陨戏治觯疚闹钟谠谔摂M陣列中引入嵌套陣，構(gòu)造與之對(duì)應(yīng)差異陣列，形成陣元數(shù)目的虛擬擴(kuò)展，提高陣列自由度。

將由稀疏陣列和密集陣列構(gòu)成的總陣元數(shù)目為Ns+Nd的二維嵌套陣列作為接收陣列，這里假設(shè)空間有D個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)，則接收信號(hào)進(jìn)過(guò)匹配濾波之后得到的信號(hào)矩陣可以表示為

(7)

(8)

式中：β=[β1(θ1,φ1)β2(θ2,φ2) …βD(θD,φD)]T為目標(biāo)反射系數(shù)向量；U=[u1u2…uD]為面對(duì)D個(gè)目標(biāo)的虛擬導(dǎo)向矢量形成的流形矩陣。則接收數(shù)據(jù)矩陣的協(xié)方差矩陣可以表示為

(9)

將式(9)中的協(xié)方差矩陣按列展開(kāi)為

(10)

式(10)可以看做一個(gè)新的信號(hào)模型，其中C=U*⊕U可以看做新的陣列流形，p為信號(hào)矩陣。下面著重討論如何在接收信號(hào)中構(gòu)造出陣元位置差的形式，進(jìn)而形成差異陣列。定義面向D個(gè)目標(biāo)的二維嵌套陣列流形矩陣為

(11)

式中：Ask為Ns×1維稀疏陣列流形矩陣；Adk(k=1,2,…,D)為Nd×1維密集陣列流形矩陣,且其中元素分別為

(12)

(13)

式中：uk=sinφk[cosθksinθk]T。為簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)發(fā)射權(quán)值矩陣采用傳統(tǒng)權(quán)值為

(14)

將其代入c(θk,φk),可得

(15)

用二維矩陣Nk(k=1,2,…,K),表示每個(gè)子陣第1個(gè)陣元的位置，則

(16)

進(jìn)而K(Ns+Nd)×1維虛擬導(dǎo)向矢量就可以表示為

(17)

進(jìn)而可以得到

u*(θk,φk)?u(θk,φk)=

(18)

C=(MN-K+1)×

(19)

可以看到，通過(guò)Khatri-Rao乘積處理，形成了K2(Ns+Nd)2×D維新的流形矩陣C，并且在矩陣C中構(gòu)造出了陣元位置差，由此可以形成差異陣列，初步實(shí)現(xiàn)了陣元數(shù)目的虛擬擴(kuò)展。經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證，這些行向量中存在大量的冗余元素，且形成的差異陣列陣元排列部分不連續(xù)，不能直接對(duì)其進(jìn)行DOA估計(jì)，需要選取差異陣列中連續(xù)的一部分，并進(jìn)行去冗余操作，最終形成的虛擬陣列包含陣元2(2Ns1+1)Ns2λ1λ2-(2Ns1+1)λ1個(gè)，定義矩陣C#為由去冗余后形成的差異陣列構(gòu)成的[2(2Ns1+1)Ns2λ1λ2-(2Ns1+1)λ1)]×D維虛擬接收導(dǎo)向矢量矩陣，式(8)就變成了

(20)

(21)

式中：Rss=ppH為目標(biāo)功率的協(xié)方差矩陣，可以看到，經(jīng)過(guò)空間平滑處理的信號(hào)協(xié)方差矩陣秩不為一，因而可以對(duì)其應(yīng)用DOA估計(jì)算法進(jìn)行DOA估計(jì)，更重要的是僅僅利用O(Ns+Nd)個(gè)實(shí)際物理陣元，形成了O(NsNd)個(gè)虛擬陣元擴(kuò)展，大大增加了二維混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)的自由度。

4 計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)

以文獻(xiàn)[21]中均勻重疊分割模式的5×5二維混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)為例。其中，各天線為全向發(fā)射的發(fā)射陣列中M=N=5，相鄰天線單元間隔設(shè)為半波長(zhǎng)，子陣分割數(shù)目K=2，且每個(gè)子陣包括24個(gè)天線單元。接收陣的二維嵌套列中，相關(guān)參數(shù)設(shè)置為

取Ns1=1,Ns2=2,則稀疏陣列和密集陣列陣元數(shù)分別Ns=8,Nd=9,實(shí)際接收陣元總數(shù)目為17，如圖1所示。而由此形成的差異陣列中F=9，M=17，如圖2所示。經(jīng)過(guò)空間平滑處理后最終應(yīng)用DOA估計(jì)的子陣陣元數(shù)目為45，如圖2中實(shí)線框內(nèi)所示。實(shí)驗(yàn)均為高斯白噪聲環(huán)境。

4.1 實(shí)驗(yàn)1:虛擬陣元數(shù)目對(duì)比

表1對(duì)比了MIMO雷達(dá)，混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)以及混合MIMO相控陣嵌套陣?yán)走_(dá)，3種雷達(dá)在發(fā)射陣列數(shù)相同的情況下采用圖1接收陣列最終得到的自由度數(shù)目。由于混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)是在MIMO雷達(dá)基礎(chǔ)上對(duì)發(fā)射陣列進(jìn)行合理子陣劃分形成的，滿足K≤MN，因此混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)相較于MIMO損失了一定的自由度。而在混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)接收端應(yīng)用嵌套陣形成差異陣列帶來(lái)的虛擬陣元擴(kuò)展可以在一定程度上彌補(bǔ)傳統(tǒng)混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)自由度的損失，在對(duì)發(fā)射陣列數(shù)目MN，子陣分割數(shù)目K，接收端陣元數(shù)目Ns+Nd進(jìn)行合理取值后，嵌套陣混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)在自由度上幾乎可以與MIMO雷達(dá)相等。

表1 3種接收陣列與自由度關(guān)系表Table 1 Three receiving array vs degrees of freedom

4.2 實(shí)驗(yàn)2：DOA估計(jì)精度對(duì)比

為了對(duì)比利用二維嵌套陣列形成的虛擬陣元數(shù)目擴(kuò)展對(duì)二維混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)DOA估計(jì)精度的影響，在發(fā)射陣列相同的情況下，對(duì)3種不同的接收陣列：直接采用圖1的接收陣列，采用圖1陣列并進(jìn)行Khatri-Rao乘積處理形成的嵌套陣接收陣列，與嵌套陣形成的差異陣列相同的5×9接收陣列，分別利用Unitary ESPRIT算法進(jìn)行俯仰角和方位角的聯(lián)合DOA估計(jì)。蒙特卡羅仿真次數(shù)設(shè)為100。

圖3和圖4分別為估計(jì)均方誤差(RMSE)與信噪比(SNR)和快拍數(shù)的關(guān)系，這里假設(shè)空間存在7個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)，(10i,10i)(i=1,2,…,7)。圖3中，信噪比從-30 dB以5 dB遞增到40 dB，快拍數(shù)為500，由圖可知，3種接收陣列的估計(jì)均方根誤差均隨著信噪比的升高而降低，其中17接收陣元表現(xiàn)最差，嵌套陣表現(xiàn)中等，45接收陣元最優(yōu)。圖4中，信噪比設(shè)置為0 dB，快拍數(shù)從1以10為間隔遞增到200。從圖中可知3種接收陣列在快拍數(shù)從0增加到10時(shí)，估計(jì)均方根誤差均呈劇烈下降趨勢(shì)，快拍數(shù)從10遞增到200時(shí)，估計(jì)均方根誤差呈小范圍波動(dòng)，趨于不變。其中45接收陣元估計(jì)精度最高，其次是嵌套陣，17接收陣元精度最低。

圖3 信噪比和估計(jì)均方誤差的關(guān)系Fig.3 Relationship between SNR and estimated RMSE

圖4 快拍數(shù)與估計(jì)均方根誤差的關(guān)系Fig.4 Relationship between snapshots and estimated RMSE

圖5為對(duì)兩個(gè)相近目標(biāo)(10,10)、(11,11)進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)，3種不同接收陣列的估計(jì)成功率與信噪比變化關(guān)系圖，信噪比從-30 dB以5 dB遞增到40 dB，定義估計(jì)成功準(zhǔn)則為

從圖5可以看到，在低信噪比時(shí)，3種陣列的估計(jì)成功率均呈上升趨勢(shì)，其中45陣元在信噪比-10 dB時(shí)成功率已接近1，其次是嵌套陣在-5 dB時(shí)接近1，表現(xiàn)最差是17陣元在5 dB時(shí)接近1。

總的來(lái)說(shuō)，由于差異陣列形成的虛擬陣元數(shù)目擴(kuò)展，使得嵌套陣混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)較傳統(tǒng)混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)在對(duì)空間相同目標(biāo)進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)顯示出了較高的估計(jì)精度，而由于差異陣列形成的只是虛擬陣元數(shù)目的擴(kuò)展，實(shí)際陣元數(shù)目沒(méi)有增加，因此嵌套陣混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)在與虛擬陣元數(shù)目相同的實(shí)際物理陣元對(duì)比時(shí)，估計(jì)精度略有下降。但也驗(yàn)證了在接收陣列中應(yīng)用嵌套陣可以在一定程度上彌補(bǔ)二維混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)發(fā)射陣列分割帶來(lái)的自由度損失，提高DOA估計(jì)精度。

圖5 成功率與信噪比的關(guān)系Fig.5 Relationship between successful probability and SNR

5 結(jié) 論

仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的基于二維嵌套陣的二維混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)接收陣列設(shè)計(jì)方法有如下結(jié)論：

1) 能夠在不增加實(shí)際陣元數(shù)目的情況下，形成更大規(guī)模的虛擬陣元數(shù)目擴(kuò)展，在一定程度上彌補(bǔ)二維混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)自由度的損失。

2) 相較于傳統(tǒng)混合MIMO相控陣?yán)走_(dá)可以在一定程度上提高DOA估計(jì)精度。

本文只是提出一種提高自由度的可行性方法，至于是否存在其他更優(yōu)方案，在下一步工作中將有所體現(xiàn)。

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