鄭曉珍

摘 要：任何一種測(cè)量結(jié)果的測(cè)量值與客觀存在的真值之間總會(huì)或多或少地存在一定的差值，這種差值稱為該測(cè)量值的測(cè)量誤差（又稱為測(cè)量值的真誤差），簡(jiǎn)稱“誤差”。誤差存在于一切測(cè)量之中，一個(gè)優(yōu)秀的測(cè)量工作者，應(yīng)該是在一定的要求下，以最低的代價(jià)來(lái)取得最佳的結(jié)果，要做到既保證必要的測(cè)量精度又合理地節(jié)省人力與物力。

關(guān)鍵詞：測(cè)量誤差；測(cè)量精度

一、測(cè)量誤差的概念

任何一種測(cè)量結(jié)果的測(cè)量值與客觀存在的真值之間總會(huì)或多或少地存在一定的差值，這種差值稱為該測(cè)量值的測(cè)量誤差（又稱為測(cè)量值的真誤差），簡(jiǎn)稱“誤差”。

我們可以這樣定義誤差：設(shè)某量的真值為x，對(duì)其進(jìn)行n次觀測(cè)，得到n個(gè)觀測(cè)值：L1，L2，L3，…，Ln，則第i個(gè)觀測(cè)值的真誤差為：[Δi=Li-Xi=1，2，3，…，n。]

誤差存在于一切測(cè)量之中，一個(gè)優(yōu)秀的測(cè)量工作者，應(yīng)該是在一定的要求下，以最低的代價(jià)來(lái)取得最佳的結(jié)果，要做到既保證必要的測(cè)量精度又合理地節(jié)省人力與物力。

二、測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因

測(cè)量工作是在一定條件下進(jìn)行的，外界環(huán)境、觀測(cè)者的技術(shù)水平和儀器本身構(gòu)造的不完善等原因，都可能導(dǎo)致測(cè)量誤差的產(chǎn)生。通常把測(cè)量?jī)x器、觀測(cè)者的技術(shù)水平和外界環(huán)境三個(gè)方面綜合起來(lái)，稱為觀測(cè)條件。觀測(cè)條件不理想和不斷變化，是產(chǎn)生測(cè)量誤差的根本原因。通常把觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)，稱為等精度觀測(cè)；觀測(cè)條件不同的各次觀測(cè)，稱為不等精度觀測(cè)。具體來(lái)說(shuō)，測(cè)量誤差主要來(lái)自以下四個(gè)方面：①外界條件。主要指觀測(cè)環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、風(fēng)力以及大氣折光等因素的不斷變化，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果中帶有誤差；②儀器條件。儀器在加工和裝配等工藝過(guò)程中，不能保證儀器的結(jié)構(gòu)能滿足各種幾何關(guān)系，這樣的儀器必然會(huì)給測(cè)量帶來(lái)誤差；③方法。理論公式的近似限制或測(cè)量方法的不完善；④觀測(cè)者的自身?xiàng)l件。由于觀測(cè)者感官鑒別能力所限以及技術(shù)熟練程度不同，也會(huì)在儀器對(duì)中、整平和瞄準(zhǔn)等方面產(chǎn)生誤差。研究測(cè)量誤差的目的，是為了盡可能減少測(cè)量誤差，提高測(cè)量的精確度。

三、測(cè)量誤差的表示方法

誤差常用的表示方法有兩種：絕對(duì)誤差（真誤差、中誤差等）和相對(duì)誤差。

1.真誤差。真誤差Δ的定義為測(cè)量值L與真值X之差，即Δ=L-X。

采用真誤差來(lái)表示測(cè)量誤差往往不能很確切地表明測(cè)量質(zhì)量地好壞。例如，用鋼卷尺量200m和40m兩段距離，它們的真誤差都是±2cm，但不能認(rèn)為兩者的精度是相同的，顯然前者的相對(duì)精度比后者要高。

2.中誤差。中誤差又稱標(biāo)準(zhǔn)差，或稱均方差、方根差。在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)真值為X的一個(gè)未知量L進(jìn)行了n次觀測(cè)，觀測(cè)值分別為L(zhǎng)1，L2，L3，…，Ln，每個(gè)觀測(cè)值相應(yīng)的真誤差（觀測(cè)值與真值之差。）分別為：Δ1，Δ2，Δ3，Δn，則以各個(gè)真誤差之平方和的平均數(shù)的平方根作為精度評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)稱為觀測(cè)值的中誤差，簡(jiǎn)稱為“中誤差”，用符號(hào)m表示，即[m=±Δ21+Δ22+Δ23+…+Δ2nn]。 （公式一）

一組觀測(cè)值的測(cè)量誤差愈大，中誤差也就愈大，其精度就愈低；反之，一組觀測(cè)值的測(cè)量誤差愈小，中誤差也就愈小，其精度就愈高。

練習(xí)1：甲、乙兩個(gè)小組，各自在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某三角形內(nèi)角和分別進(jìn)行了8次觀測(cè)，求得每次三角形內(nèi)角和的真誤差分別為：

甲組：-3″，+3″，-1″，-3″，+4″，+2″，-1″，-4″；

乙組：+1″，-5″，-1″，+6″，-4″，0″，+3″，-1″。

求兩組觀測(cè)值的中誤差，并分析兩組觀測(cè)值的精度。

解：由中誤差公式一可得：

[m甲=±-32+32+-12+-32+42+22+-12+-428][=±2.9″]，

[m乙=±12+-52+-12+62+-42+02+32+-128][=±3.3″]。

由此可知，甲組觀測(cè)精度高于乙組。同時(shí)通過(guò)乙組觀測(cè)誤差的分布情況可看出其誤差值的波動(dòng)幅度較大，因而也可以判斷出乙組的觀測(cè)值的穩(wěn)定性較差，則精度較低。

3.相對(duì)誤差。對(duì)于衡量精度來(lái)說(shuō)，在很多情況下，僅僅知道觀測(cè)中的絕對(duì)誤差大小還不能完全表達(dá)觀測(cè)精度的好壞，為此必須再引入相對(duì)誤差。

相對(duì)誤差δ的定義為絕對(duì)誤差的絕對(duì)值與真值x的比值，用百分?jǐn)?shù)表示，即：[δ=∣Δ∣X×100%]。

[9.65=3.10644≈3.11]（保留3位有效數(shù)字）。

實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，相對(duì)誤差一般用于長(zhǎng)度、面積、體積、流量等物理量測(cè)量中。由于角度誤差的大小主要是觀測(cè)兩個(gè)方向引起的，并不依賴角度大小的變化，因此角度測(cè)量不采用相對(duì)誤差。

練習(xí)2：觀測(cè)兩段距離，分別為1000m±2cm和500±2cm，問(wèn)這兩段距離的真誤差是否相等？它們的相對(duì)精度是否相同？

解：這兩段距離的真誤差相等，均為±2cm。它們的相對(duì)誤差分別為：[δ1=∣±0.02∣1000×100%=0.02%]，[δ2=∣±0.02∣500×100%=0.04%]，則[δ1﹤δ2]，所以前一段距離的觀測(cè)精度要高于后一段距離。

真值是一個(gè)變量本身所具有的真實(shí)值，它是一個(gè)理想的概念，一般是無(wú)法得到的，是不能被準(zhǔn)確測(cè)量的，計(jì)算時(shí)一般用觀測(cè)值的算術(shù)平均值（即最或然值）來(lái)代替真值。

觀測(cè)值L與觀測(cè)值的算術(shù)平均值[x]之差，稱為觀測(cè)值的改正數(shù)，一般用V表示，則[V1=L1-XV2=L2-XV3=L3-X…Vn=Ln-X]式中Vi為第i次觀測(cè)值的改正數(shù)，可代替真誤差，Li為第i次觀測(cè)的觀測(cè)值（i=1，2，3，…，n）。

利用觀測(cè)值的改正數(shù)代替真誤差，計(jì)算觀測(cè)值的中誤差公式為：

[m=±V21+V22+V23+…+V2nn-1]。 （公式二）

計(jì)算算術(shù)平均值中誤差公式為：

[mx=±V21+V22+V23+…+V2nn（n-1）]。 （公式三）

由公式二和公式三可知，算術(shù)平均值（最或然值）中誤差是觀測(cè)值中誤差的[1n]倍，這說(shuō)明最或然值的精度比觀測(cè)值的精度要高。所以多次觀測(cè)取其平均值，是減少偶然誤差影響、提高成果精度的有效方法。

此時(shí)計(jì)算相對(duì)誤差公式為：[δ=∣mx∣X×100%]。 （公式四）