劉清楷，陳堅，汪立新，秦偉偉

(火箭軍工程大學(xué),陜西 西安 710025)

0 引言

多約束制導(dǎo)問題是提高精確武器打擊效能的一個重要方面[1]。Kim[2]首次給出滿足末端角度約束的次最優(yōu)制導(dǎo)律方法以來，學(xué)者在帶有約束的制導(dǎo)問題上，取得了豐碩的成果。

文獻[3]將末制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為帶約束條件的最優(yōu)控制問題，但由于目標高機動性和外界擾動的影響，建立的模型誤差較大，造成制導(dǎo)精度較低。而滑模變結(jié)構(gòu)控制對系統(tǒng)參數(shù)攝動具有不變性和對外部擾動的魯棒性，設(shè)計滑模面時加入角度約束約束項，得到帶角度約束的滑模制導(dǎo)律[4-6]。文獻[7-8]采用非奇異終端滑?？刂疲玫搅擞邢迺r間收斂的制導(dǎo)律。文獻[9]提出了結(jié)合最優(yōu)制導(dǎo)方法和變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)方法的復(fù)合制導(dǎo)律，但該方法過于復(fù)雜，難以進行工程應(yīng)用。文獻[10]研究了利用高增益觀測器進行目標加速度的估計方法，取得了較好的效果。

文獻[11]將分數(shù)階微積分理論結(jié)合比例導(dǎo)引律得到了分數(shù)階微積分比例制導(dǎo)律，但未加入角度約束。屈耀紅[12]等將分數(shù)階滑模用于改進傳統(tǒng)比例導(dǎo)引，實現(xiàn)了無人機空中加油過程的角度約束，但其受限于加油機為勻速直線飛行的場景。

目前已有的三維制導(dǎo)律大多是直接忽略俯仰通道與偏航通道之間的耦合，本文建立三維彈目相對運動模型，將耦合項作為干擾項，利用擴張狀態(tài)觀測器(extended state obsrever, ESO)進行實時估計，達到解耦的目的。采用分數(shù)階積分器防止積分器飽和現(xiàn)象的出現(xiàn)[13]，引入分數(shù)階微分器來增強控制器的魯棒性以及削弱抖振。同時設(shè)計一種新的滑模趨近律，保證系統(tǒng)狀態(tài)能夠快速收斂到滑模面上，利用ESO對目標機動加速度進行實時估計與補償，最終得到本文的自適應(yīng)分數(shù)階滑模導(dǎo)引律(adaptive fractional order sliding mode guidance law, AFOSG)。通過仿真驗證，說明本文所設(shè)計方法能夠削弱抖振，實現(xiàn)偏移量和角度約束。

1 分數(shù)階微積分基本定義

分數(shù)階微積分目前常用的3種定義為：Caputo(C)型、Grünwald-Letnikov(GL)型和Riemann-Liouville(RL)型。其中C型定義的拉普拉斯變換式最為簡潔[14]，更為常用。

連續(xù)可積函數(shù)f(t)的C型分數(shù)階微積分[15]為

(1)

以上可以看出，分數(shù)階微分與過去所有點的信息相關(guān)，即記憶性，將其引入到滑模設(shè)計中，使其穩(wěn)定性更強;其次隨著時間的增加，權(quán)值不斷減小，即遺忘性，利用這一特性可減小作用到被控系統(tǒng)上的控制量，達到減小抖振的目的。

2 彈目相對運動模型

由于導(dǎo)彈飛行過程中只能控制正交于速度方向的加速度大小[16]，故先在彈道坐標系建立其動力學(xué)方程。如圖1所示，圖中OxIyIzI為參考慣性系，Mxsyszs為視線坐標系。假設(shè)導(dǎo)彈和目標在飛行過程中保持最大速度飛行不變。

導(dǎo)彈和目標在彈道系及航跡系的動力學(xué)方程和其在慣性系的質(zhì)心運動方程[17]為

(2)

(3)

式中：vm為導(dǎo)彈飛行速度;θm為導(dǎo)彈彈道傾角;σm為導(dǎo)彈彈道偏角;vt為目標逃逸速度;φt為目標航跡傾角;ψt為目標航跡偏角。

由文獻[18]彈目相對運動模型為

(4)

(5)

(6)

因式(5),(6)形式相近，第3章制導(dǎo)律設(shè)計先以式(5)為基礎(chǔ)進行設(shè)計。

3 帶ESO的自適應(yīng)分數(shù)階滑模制導(dǎo)律設(shè)計

3.1 自適應(yīng)分數(shù)階滑模制導(dǎo)律設(shè)計

本文基于零化視線角速率[19]進行制導(dǎo)律設(shè)計。傳統(tǒng)整數(shù)階積分滑模面[20]為

(7)

本文為利用分數(shù)階微積分算子的記憶性和遺忘性，設(shè)計分數(shù)階滑模面如下：

(8)

式中：0<α1<1為分數(shù)階微積分算子的階次;c11,c12,c13,c14>0為待設(shè)計的增益系數(shù)。

設(shè)計一種新的自適應(yīng)滑模趨近律如下：

(9)

本文采用誤差向量的2-范數(shù)作為自適應(yīng)參數(shù)，保證系統(tǒng)的趨近速率保持較大，且避免在接近滑模面時產(chǎn)生抖振。由式(8)和式(9)設(shè)計帶攻擊角約束的自適應(yīng)分數(shù)階滑模制導(dǎo)律如下：

(10)

式(10)中包含dε總擾動項，根據(jù)文獻[20]，設(shè)計擴張狀態(tài)觀測器如下：

(11)

式中：z13為dε/r的觀測值;β11，β12，β13為待設(shè)計參數(shù);

式中：δ為線性段的長度。

綜合式(10)和式(11)得到含ESO的自適應(yīng)分數(shù)階滑模制導(dǎo)律如下：

(12)

3.2 穩(wěn)定性證明

選取Lyapunov函數(shù)：

(13)

對式(13)求導(dǎo)可得

2S1[c11e12+c12Dα1e12+c13Dα1e11-

將式(12)帶入上式整理得

當β11，β12，β13選取合適的值時，式(11)的觀測誤差趨于0[21]，即觀測值z13以有限時間收斂于dε/r的鄰域內(nèi)，則有

由文獻[22]可得，系統(tǒng)狀態(tài)是有限時間收斂的，且收斂到滑模面S1=0的時間為

(14)

式中：e12≠0;S1(0)為S1的初值。

當e12=0的時，將式(12)代入式(5)整理得：

(15)

由式(15)可得，e12=0不是穩(wěn)定狀態(tài)，故系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時間內(nèi)收斂到滑模面S1=0。

當S1=0時，得到滑模面動力學(xué)方程：

(16)

對式(16)進行Laplace變換[23]得到

c11E(s)+c12sα1E(s)+c13sα1-1E(s)+c14sE(s)=0.

上式可以看作是描述以e11(t)為輸出的閉環(huán)系統(tǒng)的方程，其開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為

上式中0<1-α1<1;c11，c12，c13，c14>0;開環(huán)傳遞函數(shù)的相位總是大于-π/2，且不含右半平面的極點，由Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可以得到原閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即e11(t)是收斂的。同時由分數(shù)階系統(tǒng)Laplace變換的終值定理[24]，可以得到

c14s2-α1)/c11s1-α1=0.

綜上，本文自適應(yīng)分數(shù)階滑模導(dǎo)引律能夠使系統(tǒng)狀態(tài)漸進收斂到滑模面，彈目視線角誤差e11(t)和視線角速率e12(t)能漸進收斂到0。

為減小抖振，將式(12)中的符號函數(shù)，用飽和函數(shù)替代，得到制導(dǎo)律：

(17)

式中：

ω為邊界層厚度，通過調(diào)節(jié)其值以削減抖振。

同樣由式(6)可以得到：

amzs= -cosε[c21re22+c22rDα2e22+

(18)

(19)

4 仿真驗證

為證明本文導(dǎo)引律的可行性，將新型自適應(yīng)分數(shù)階滑模制導(dǎo)律與增強比例導(dǎo)引律(augmented propotional navigation guidance law,APNG)以及非奇異終端滑模導(dǎo)引律(nonsingular terminal sliding mode guidance law，NTSMG)進行對比仿真。導(dǎo)彈初始位置(500,0,-1 500)m，目標初始位置(3 000,5 000,1 000)m，導(dǎo)彈速度為vm=800 m/s，目標速度為vt=300 m/s，導(dǎo)彈初始彈道傾角為θm0=π/3 rad，初始彈道偏角為σm0=-π/10 rad，目標初始航跡傾角為φt0=π/4 rad，初始航跡偏角為ψt0=-π/6 rad。AFOSMG的參數(shù)為簡單起見，2個方向制導(dǎo)律中同一位置的參數(shù)大小相等，即c11=c21=400，c12=150，c13=300，c14=1，k11=260，k12=200，α1=0.45，β11=100，β12=300，β13=1 000，δ=0.01，ω=0.01。利用文獻[25]的FOMCON工具箱進行分數(shù)階微積分的計算。APNG定義為

(20)

(21)

式中：N=4。

由于APNG需要獲取目標的精確機動信息，本文在利用此方法仿真時認為該信息為已知。NTSMG定義為

(22)

(23)

導(dǎo)引律在視線系中定義，需要將其轉(zhuǎn)換到彈道坐標系中，由于篇幅所限，具體方法見文獻[26]。

4.1 仿真1

目標機動加速度為atyd=atzd=5g;期望視線角為εd=π/3 rad，ηd=-2π/9 rad。分別采用3種導(dǎo)引律進行仿真，得到結(jié)果如圖2～4所示。

從圖4可以看出，APNG和NTSMG得到的加速度指令均存在一定程度的跳變或振蕩，而AFOSMG的加速度指令則保持平穩(wěn)變化。仿真的脫靶量和末端角度如表1所示。

導(dǎo)引律偏移量/m視線傾角/(°)視線偏角/(°)APNG0．15748．79-49．11NTSMG0．26558．24-41．85AFOSMG0．13359．33-39．97

從表1中可以看出在目標進行常值機動時，本文所設(shè)計的AFOSMG導(dǎo)引律無論是在偏移量還是角度偏差均要小于APNG和 NTSMG，證明本文導(dǎo)引律有較好的效果。

4.2 仿真2

當目標進行正弦機動時，atyd=80 sin 0.2t，atzd=80cos 0.2t;期望視線角為εd=π/3 rad，ηd=-π/3 rad。同樣進行仿真得到結(jié)果如圖5～7所示。

從表2中可以看出，相對于其他2種導(dǎo)引律,本文方法無論是偏移量還是末端角度都得到了更高的精度。而且從圖7a)和圖7b)導(dǎo)彈加速度指令信號變化中可以看出，AFOSMG加速度變化更為平穩(wěn)，未出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。

導(dǎo)引律偏移量/m視線傾角/(°)視線偏角/(°)APNG0．40448．91-49．05NTSMG0．37759．12-60．75AFOSMG0．16160．42-60．10

5 結(jié)論

本文將分數(shù)階微積分算子引入滑模面的設(shè)計，采用一種自適應(yīng)趨近律得到本文三維AFOSMG，并通過理論證明和仿真實驗驗證了方法的有效性。

(1) 采用分數(shù)階微積分算子進行滑模面的設(shè)計，利用了其記憶性和遺忘性，有效削弱了滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象;選取的自適應(yīng)趨近律能夠有效根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)與平衡點的距離，調(diào)節(jié)速率，并通過Lyapunov穩(wěn)定性定理對本文的導(dǎo)引律的收斂性進行了證明。

(2) 通過仿真比較，本文的導(dǎo)引律能使導(dǎo)彈的加速度指令更為平穩(wěn)，降低對導(dǎo)彈過載的要求。

(3) 分數(shù)階微積分的運算耗時較長，但隨著彈載機的計算能力增強，其工程應(yīng)用將不再困難。

本文在制導(dǎo)律設(shè)計時，將導(dǎo)彈自動駕駛儀作為理想環(huán)節(jié)，未考慮其的動態(tài)特性，可以在下一步的工作中加以研究;其次本文只是在滑模面的設(shè)計中引入了分數(shù)階微積分算子，可以嘗試將其引入趨近律的設(shè)計中，設(shè)計一種新的分數(shù)階滑模趨近律。

參考文獻：

[1] 李慶春,張文生,韓剛.終端約束條件下末端制導(dǎo)律研究綜述[J].控制理論與應(yīng)用,2016,33(1):1-12.

LI Qing-chun,ZHANG Wen-sheng,HANG Gang.Review of Terminal Guidance Law with Terminal Constraints[J].Control Theory and Applications,2016,33(1):1-12.

[2] KIM M,GRIDER K V.Terminal Guidance for Impact Attitude Angle Constrained Flight Trajectories[J].IEEE Transactions on Aerospace & Electronic Systems,1973,AES-9(6):852-859.

[3] LEE Y I,KIM S H,TANHK M J.Optimality of Linear Time-Varying Guidance for Impact Angle Control[J].IEEE Transactions on Aerospace & Electronic Systems,2012,48(4):2802-2817.

[4] TAO C,WANG S,MING Y.Angular Constrained Guidance Law and Its Optimization with Hybrid Optimization Algorithm[C]∥Guidance,Navigation and Control Conference,IEEE,2014:2455-2460.

[5] 吳鵬,楊明.帶終端攻擊角度約束的變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律[J].固體火箭技術(shù),2008,31(2):116-120.

WU Peng,YANG Ming.Variable Structure Guidance Law with Terminal Attack Angle Constraint[J].Journal of Solid Rocket Technology,2008,31(2):116-120.

[6] LEE C H,KIM T H,TAHK M J,et al.Design of Guidance Law for Passive Homing Missile Using Sliding Mode Control[C]∥International Conference on Control Automation and Systems,IEEE,2010:2380-2385.

[7] 周慧波,宋申民,劉海坤.具有攻擊角約束的非奇異終端滑模導(dǎo)引律設(shè)計[J].中國慣性技術(shù)學(xué)報,2014,22(5):606-618.

ZHOU Hui-bo,SONG Shen-min,LIU Hai-kun.Nonsingular Terminal Sliding Mode Guidance Law with Impact Angle Constraint[J].Journal of Chinese Inertial Technology,2014,22(5):606-618.

[8] 熊少鋒,王衛(wèi)紅,王森.帶攻擊角度約束的非奇異快速終端滑模制導(dǎo)律[J].控制理論與應(yīng)用,2014,31(3):269-278.

XIONG Shao-feng,WANG Wei-hong,WANG Sen.Nonsingular Fast Terminal Sliding-Mode Guidance with Intercept Angle Constraint[J].Control Theory and Applications,2014,31(3):269-278.

[9] HU Z,TANG X,WANG Y.A 3-Dimensional Robust Guidance Law with Impact Angle Constraint[C]∥Chinese Control and Decision Conference,IEEE,2011:999-1006.

[10] 馬克茂,賀風華,姚郁.目標機動加速度的估計與導(dǎo)引律實現(xiàn)[J].宇航學(xué)報,2009,30(6):2213-2219.

MA Ke-mao,HE Femg-hua,YAO Yu.Estimation of Target Maneuver Acceleration and Guidance Law Implementation in Homing Terminal Guidance[J].Journal of Astronautics,2009,30(6):2213-2219.

[11] 葉繼坤,韋道知,李炯,等.基于分數(shù)階微積分理論的新型三維末制導(dǎo)律[J].固體火箭技術(shù),2016(3):428-435.

YE Ji-kun,WEI Dao-zhi,LI Jiong,et al.Novel 3D Terminal Guidance Law Based on the Theory of Fractional Order Calculus[J].Journal of Solid Rocket Technology,2016(3):428-435.

[12] 屈耀紅,余自權(quán),張友民.無人機空中加油過程中分數(shù)階滑模會合導(dǎo)引控制[J].控制理論與應(yīng)用,2015,32(11):1464-1469.

QU Yao-hong,YU Zi-quan,ZHANG You-min.Fractional-Order Sliding-Mode Guidance Control for Rendezvous of Unmanned Aerial Vehicles During Air Refueling[J].Control Theory and Applications,2015,32(11):1464-1469.

[13] JOHANASTROM K,RUNDQWIST L.Integrator Windup and How to Avoid It[C]∥American Control Conference,IEEE,1989:1693-1698.

[14] SHAKOOR P,RICARDO A,DELFIM F M T.Numerical Approximations of Fractional Derivatives with Applications[J].Asian Journal of Control,2012,15(3):698-712.

[16] 佘文學(xué),周鳳岐.三維非線性變結(jié)構(gòu)尋的制導(dǎo)律[J].宇航學(xué)報,2004,25(6):681-685.

SHE Wen-xue,ZHOU Feng-qi.High Precision 3-D Nonlinear Variable Structure Guidance Law for Homing Missile[J].Journal of Astronautics,2004,25(6):681-685.

[17] 嚴晗,季海波.彈道坐標中三維魯棒非線性導(dǎo)引律[J].控制理論與應(yīng)用,2013,30(9):1079-1085.

YAN Han,JI Hai-bo.Three-Dimensional Robust Nonlinear Guidance Law in Trajectory Coordinates[J].Control Theory and Applications,2013,30(9):1079-1085.

[18] 錢杏芳,林瑞雄,趙亞男.導(dǎo)彈飛行力學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社,2000.

QIAN Xing-fang,LIN Rui-xiong,ZHAO Ya-nan.The Flight Dynanmics of Missiles[M].Beijing:Beijing Institute of Technology Press,2000.

[19] 劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真[M].2版.北京:清華大學(xué)出版社,2012.

LIU Jin-kun.Sliding Mode Control Design and MATLAB Simulation[M].2nd ed.Beijing:Tsinghua University Press,2012.

[20] 雷虎民,王華吉,周覲,等.基于擴張觀測器的三維動態(tài)面導(dǎo)引律[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2017,39(1):138-146.

LEI Hu-min,WANG Hua-Ji,ZHOU Jin,et al.Three-Dimensional Dynamic Surface Guidance Law Based on Extended State Observer[J].Systems Engineering and Electronics,2017,39(1):138-146.

[21] 韓京清.自抗擾控制技術(shù)—估計補償不確定因素的控制技術(shù)[M].北京：國防工業(yè)出版社,2008.

HAN Jing-qing.Active Disturbance Rejection Control Technique—the Technique for Estimating and Compensating the Uncertainties[M].Beijing：National Defense Industry Press,2008.

[22] BHAT S P,BERNSTEIN D S.Finite-Time Stability of Continuous Autonomous Systems[J].Siam Journal on Control & Optimization,2000,38(3):751-766.

[23] YU S,YU X,SHIRINZADEH B,et al.Continuous Finite-Time Control for Robotic Manipulators with Terminal Sliding Mode[C]∥Information Fusion,2003,Proceedings of the Sixth International Conference of IEEE,2003:1433-1440.

[24] MILLER K,ROSS B.An Introduction to the Fractional Calculus Fractional Differential Equations[M].New York:Wiley,1993.

[25] TEPLJAKOV A.FOMCON:Fractional-Order Modeling and Control Toolbox[C]∥Mixed Design of Integrated Circuits and Systems,IEEE,2011:684-689.

[26] SUN Chang-yin，MU Chao-xu，YU Yao.Some Control Problems for Near Space Hypersonic Vehicles[J].ACTA Automatica Sinica,2013,39(11):1901-1913.