應 磊， 周 叮， 房忠潔

(1. 南京工業(yè)大學 土木工程學院，南京 211816；2. 揚州工業(yè)職業(yè)技術學院，江蘇 揚州 225000)

在工程實際中，貯液與貯液結構之間的耦合振動是非常重要的一個問題。對于上述問題，常采用有限元、邊界元等數值方法進行求解，當邊界規(guī)則時，可通過解析方法[1]求解。尹立中[2]、高索文等[3]運用兩種不同的Lagrange函數，建立了液固耦合系統(tǒng)的耦合動力學方程，分別研究了矩形貯箱在水平與俯仰運動下的動力特性與響應。杜永峰等[4]基于剪切懸臂梁理論，對鋼筋混凝土矩形貯液結構的自振頻率與振型進行了研究，發(fā)現(xiàn)液動壓力對頻率影響不可忽略，對振型影響不大。程選生等[5]研究了帶彈性隔板的雙向壁式鋼筋混凝土矩形貯液結構的振動特性，給出了液動壓力計算的簡化公式。

貯液的對流晃動常常會引起貯液結構的破壞，為抑制液體晃動，隔板是工程中常用的防晃措施。因此有必要對帶隔板貯箱的晃動問題進行詳細分析。王佳棟等[6-7]通過流體子域法，對帶隔板圓柱形貯液結構的自振特性與動力響應做了系統(tǒng)研究。房忠潔等[8]對帶隔板矩形貯液結構的自振特性做了相應的研究。

本文假設流體為無黏、無旋、不可壓縮的理想流體、小震作用下液面做線性微幅晃動、貯箱與隔板均為剛性的，首先建立了水平激勵下的帶隔板矩形貯液結構的動力響應方程，通過液動剪力與液動彎矩相等，建立水平激勵下的等效力學模型，并通過該等效力學模型研究了俯仰運動下的貯液晃動響應。

1 基本方程

1.1 流體控制方程

在水平地震作用下,只需考慮結構沿縱向或橫向運動的情形, 因此可將矩形貯液結構在地震作用下的反應問題簡化為平面問題而近似地求解，故將貯箱與流體之間的相互作用簡化成圖1所示模型。貯箱底部寬度為B，貯箱內充液高度為H，隔板長度為a，隔板所處高度為h。貯液密度為ρf。由于隔板厚度h遠小于其他尺寸，可忽略不計，按圖2將流體區(qū)域劃分成4個子域Ωi(i=1,2,3,4)，各個子域內流體的速度勢為φi(x,z,t)。根據流體動力學理論，流體運動的速度勢函數滿足Lapalce方程：

(1)

Ωi中任意一點的速度：

(2)

圖1 貯箱及隔板 Fig.1 Tank and baffle

圖2 液體子域及界面 Fig.2 Sub-domains and interfaces

1.2 邊界條件

(3)

(4)

(5)

式中：fi(x,t)為自由液面晃動的波高方程且滿足：

(6)

1.3 流體子域間界面方程

設P為流體子域內的任意一點，Ωi1和Ωi2(i1

φi1|P∈Γk=φi2|P∈Γk

(7)

設n為不同子域交界面的法向量，則Ωi1和Ωi2在交界面Γk處的速度連續(xù)條件為：

(8)

2 水平運動方程的建立

2.1 速度勢函數的分解

將速度勢函數拆分成脈沖速度勢φA和對流速度勢φB兩部分和：

(9)

φA(x,z,t)和φB(x,z,t)分別滿足如下方程

2φA=0,2φB=0

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

2.2 子域法求解自由晃動模態(tài)

設Φ為流體自由晃動的振型函數，Φi為各個子域對應的振型函數。由文獻[8]可得：

2Φi=0

(16)

(17)

(18)

(19)

由式(16)～(19)可以看出，Φi的控制方程為二階線性偏微分方程，其邊界條件均為線性邊界條件。顯而易見，可采用疊加原理來求解Φi。設Φi為：

(20)

(21)

利用分離變量法便可求得各個子域內流體速度勢的各分量，并將之代入式(18)～(19)即得含待定系數的級數方程，將所有級數截斷至第N項，通過積分消元消除空間坐標得到特征方程，使用Matlab編程求解得到第n階(n=1,2,…,N)晃動模態(tài)Φn與頻率ωn。

2.3 動力響應方程的建立與求解

設水平激勵作用下的對流速度勢為：

(22)

將φA和φB代入式(14)與式(15)得：

(23)

兩邊同乘Φn(x,H)并對x在0到B上進行積分，可得動力響應方程：

(24)

式中：

(25)

在建立動力響應方程時，由于忽略了隔板與流體的阻尼特性，實際高估了貯液的晃動響應，因此計算結果是偏于安全的。

3 等效力學模型的建立

3.1 等效力學模型

根據伯努利方程，液體晃動產生的液動壓力為：

(26)

沿側壁積分，得到水平動水剪力(水平向右)為：

(27)

分別對側壁、底部及隔板進行積分，得到對底部中心的動水彎矩響應(順時針)為：

(28)

(29)

(30)

式中：

(31)

(32)

(33)

(34)

將式(27)～(30)截斷至第N項，有：

(35a)

(35b)

(35c)

(35d)

對式(24)，兩邊同時乘以Tn/Mn得：

(36)

對式(35a)變換得：

(37)

結合式(36)和式(37)可知，流體的每一階晃動分量皆可拆分成相應的對流分量與脈沖分量，而每一階對流分量與脈沖分量的等效質量可由剪力相等條件確定：

第n階晃動分量中對流分量等效質量：

Tn,n=1,2,…,N

第n階晃動分量中脈沖分量等效質量：

對式(35b)～ (35d)作類似變換可得：

(38)

(39)

(40)

由第n階晃動分量產生的動水彎矩可以確立對應階對流與脈沖質量的等效高度，則：對側壁作用彎矩提供的第n階晃動分量中對流與脈沖分量的等效高度分別為：

(41)

對底部作用彎矩提供的第n階晃動分量中對流與脈沖分量的等效高度分別為：

(42)

對隔板作用彎矩提高的第n階晃動分量中對流與脈沖分量的等效高度分別為：

(43)

綜合考慮側壁、底部、隔板的動水彎矩，第n階晃動分量中對流分量與脈沖分量的等效高度Hn與H0n分別為：

(44)

如圖3(a)，對于水平激勵下的連續(xù)流體的動力響應求解，可等效為N組等效力學模型的響應和問題。將等效地震激勵轉換成等效荷載激勵，得到圖3(b)所示的靜止地基上的等效荷載激勵力學模型。等效荷載滿足：

(45)

圖3 等效力學模型 Fig.3 Equivalent mechanical model

3.2 水平俯仰耦合晃動

假設貯箱繞底部中心做俯仰運動，根據等效力學模型，考慮水平俯仰耦合運動，對流等效質量的運動控制方程為：

(46)

圖4 耦合晃動模型 Fig.4 Coupling sloshing model

前N階晃動分量貢獻的液動剪力與彎矩分別為：

(47)

(48)

4 模型驗證

A1=1，A2=0時，系統(tǒng)受水平激勵。圖5分別給出了x=1/3、2/3處的液面波高時程曲線的本文解與有限元軟件ADINA計算結果之間的時程對比曲線，由圖可知，兩者吻合良好。當x=1/3時，兩者的峰值分別為0.030 6 m與0.030 0 m，峰值相對誤差為1.71%。當x=2/3時，兩者的峰值分別為0.030 8 m與0.030 0 m，峰值相對誤差為2.36%。從而驗證了本文建立的帶隔板貯箱在水平激勵下的動力響應相關理論的正確。

圖5 x=1/3、2/3處的液面波高時程曲線 Fig.5 Time history of height of wave at x=1/3、2/3

圖6分別給出了在不同激勵頻率ω=2和ω=5下，由等效力學模型與有限元軟件ADINA求解得到的水平動水剪力時程對比曲線。當ω=2時，ADINA解與本文解的峰值分別為1143.6 N和1 130.4 N，兩者峰值相對誤差為1.15%。當ω=5時，ADINA解與本文解的峰值分別為4 264.9 N和4 317.1 N，兩者峰值相對誤差為1.22%。由圖6可知，兩者整體吻合良好，從而驗證了水平激勵下等效力學模型的正確性。

圖6 ω=2、5時動水剪力時程曲線 Fig.6 Time history of hydrodynamic shear when ω=2, 5

圖7 俯仰激勵下動水剪力時程曲線 Fig.7 Time history of hydrodynamic shear under pitching loads

A1=0，A2=1時，系統(tǒng)受俯仰激勵。文獻[9]采用Housner模型[10]在SSI問題中研究了矩形儲液結構在水平與搖擺耦合運動下的動力響應，圖7給出了H=0.5，a=0.1，h=0.1時，本文等效力學模型同Housner模型在不同頻率(ω=30、2)的俯仰激勵下的水平動水剪力對比時程曲線。當隔板較短時，有隔板與無隔板兩者動力響應應該一致。由圖可知，兩者雖有出入，但大體走勢一致，吻合良好，從而驗證了用等效力學模型近似考慮平仰耦合運動的合理性。

5 參數分析

取A1=A2=1，同時考慮渡槽的水平運動與俯仰運動。定義俯仰因子β=[max(ShearP)-max(ShearL)]/ max(ShearL)。

圖8(a)給出了ω=2時，不同儲液高寬比(γ=H/B=0.5、1、1.5)下的平仰耦合動水剪力時程曲線，其俯仰因子β分別為0.536 2、0.618 9、0.810 4。圖8(b)給出了不同高寬下的平仰耦合相對于各自的僅平動下的動水剪力的對比時程曲線。由圖8可知，相對矮胖的儲液結構受俯仰晃動影響較小，相對高瘦的儲液結構則受俯仰晃動影響明顯。

(a)

(b)圖8 不同H/B下的動水剪力時程曲線 Fig.8 Time history of hydrodynamic shear under different H/B

圖9 隔板長度及高度對俯仰因子β的影響 Fig.9 Influence of length and height of baffle on β

圖9(a)和圖9(b)給出了在ω=2時，不同隔板長度a/B與高度h/H對β的影響。隔板高度一定時，隔板越長,β越大。隔板長度一定時，隔板所處位置越高，β越大。且當隔板較長或所處位置較高時，增高或增長隔板對β加劇最為明顯。

6 結 論

本文建立帶隔板矩形截面渡槽在水平激勵下的運動方程，然后構造等效力學模型，通過等效力學模型考慮水平與俯仰耦合運動的動力響應，對隔板長度與高度、充液高寬比等參數進行參數分析，得到如下結論。

(1) 高寬比較大時，考慮平仰耦合相對于純平動下的動力響應放大明顯，應予以考慮，相對矮胖的結構，平仰耦合對動力響應影響較小，可按平動考慮。

(2) 隔板越長，所處位置越高，平仰耦合動力響應峰值越大，俯仰運動動力響應峰值越大。

[ 1 ] 茍興宇, 王本利, 馬興瑞, 等. 液固縱向耦合系統(tǒng)的受迫響應[J]. 振動工程學報, 1998, 11(2): 31-37.

GOU Xingyu, WANG Benli, MA Xingrui, et al. Forced response of vertical liquid-solid coupling system [J]. Journal of Vibration Engineering, 1998, 11(2): 31-37.

[ 2 ] 尹立中, 劉敏, 王本利, 等. 矩形貯箱類液固耦合系統(tǒng)的平動響應研究[J]. 振動工程學報, 2000, 13(3): 113-

117.

YIN Lizhong, LIU Min, WANG Benli, et al. Study on dynamic response of the liquid-solid coupling system with the liquid in a rectangular container under horizontal excitation [J]. Journal of Vibration Engineering, 2000, 13(3): 113-117.

[ 3 ] 高索文, 尹立中, 王本利, 等. 矩形貯箱類液固耦合系統(tǒng)轉動特性分析[J]. 振動與沖擊, 2000,19(3): 19-21.

GAO Suowen, YIN Lizhong, WANG Benli, et al. Analysis on dynamic characteristics of the liquid-solid coupling system with liquid in a rectangular container under pitching excitation [J]. Journal of Vibration and Shock, 2000, 19(3): 19-

21.

[ 4 ] 杜永峰, 史曉宇, 程選生. 鋼筋混凝土矩形貯液結構的液固耦合振動[J]. 甘肅科學學報, 2008, 20(2): 45-49.

DU Yongfeng, SHI Xiaoyu, CHENG Xuansheng. Vibration of reinforced concrete rectangular liquid-storage structures with liquid-structure interaction [J]. Journal of Gansu Sciences, 2008, 20(2): 45-49.

[ 5 ] 程選生, 杜永峰. 彈性壁板下鋼筋混凝土矩形貯液結構的液動壓力[J]. 工程力學, 2009, 26(6): 82-88.

CHENG Xuansheng, DU Yongfeng. The dynamic fluid pressure of reinforced concrete rectangular liquid-storage tanks with elastic walls [J]. Engineering Mechanics, 2009, 26(6): 82-88.

[ 6 ] 王佳棟, 周叮, 劉偉慶. 帶環(huán)形隔板圓柱形儲液罐中液體晃動的解析研究[J]. 振動與沖擊, 2010, 29(2): 54-59.

WANG Jiadong, ZHOU Ding, LIU Weiqing. Analytical solution for liquid sloshing with small amplitude in a cylindrical tank with an annual baffle [J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(2): 54-59.

[ 7 ] 王佳棟, 周叮, 劉偉慶. 水平激勵下帶環(huán)形剛性隔板圓柱形儲液罐中流體的晃動響應[J]. 力學季刊, 2011,32(2): 166-172.

WANG Jiadong, ZHOU Ding, LIU Weiqing. Sloshing response of liquid in cylindrical tank with a rigid baffle under horizontal loads [J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2011, 32(2): 166-172.

[ 8 ] 房忠潔, 周叮, 王佳棟, 等. 帶隔板的矩形截面渡槽內液體的晃動特性[J]. 振動與沖擊, 2016, 35(3): 169-175.

FANG Zhongjie, ZHOU Ding, WANG Jiadong, et al. Sloshing characteristics of liquid in a rectangular adequate with baffle [J]. Journal of Vibration and Shock , 2016, 35(3): 169-175.

[ 9 ] LIVAOGLU R. Investigation of seismic behavior of fluid-rectangular tank-soil/ foundation systems in frequency domain [J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2008, 28: 132-146.

[10] HOUSNER G W. Dynamic pressures on accelerated fluid containers [J]. Bulletin of Seismological Society of America, 1957, 47(1): 15-35.