蔡安江， 劉 磊， 李 玲， 張 華， 楊選文， 鄭 濤

(1. 西安建筑科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，西安 710055； 2. 陜西法士特齒輪有限責(zé)任公司，西安 710077； 3. 浙江省農(nóng)業(yè)機械研究院，浙江 金華 321017)

剃齒齒形中凹誤差的存在是齒輪傳動產(chǎn)生振動、噪聲的主要因素之一，嚴(yán)重影響齒輪使用壽命和傳動性能。剃齒過程為復(fù)雜的交錯軸空間不連續(xù)曲面嚙合，且伴隨著工藝系統(tǒng)各種因素所產(chǎn)生的綜合誤差，使得齒面成形過程本身復(fù)雜化，因此中凹誤差已成為世界性的難題[1]。

國內(nèi)外學(xué)者普遍認為中凹誤差的產(chǎn)生主要是因為節(jié)圓附近嚙合接觸點數(shù)變少，左右嚙合線接觸不平衡致使該區(qū)域產(chǎn)生受力沖擊，導(dǎo)致剃齒刀切削深度增加，并伴有隨機誤差復(fù)映，從而形成0.01～0.03 mm的中部凹陷。因此，剃齒嚙合的接觸特性成為解決中凹誤差的重點研究對象。Litvin等[2]提出螺旋錐齒輪齒面承載接觸分析技術(shù)(LTCA)是研究齒輪接觸力學(xué)性能的核心技術(shù)，其在齒面接觸分析(TCA)技術(shù)基礎(chǔ)上引入邊緣接觸理論，較好的克服了TCA技術(shù)的不足。但是在LTCA 分析過程中，若有2個以上的齒輪嚙合時，嚙合齒面壓力分配及齒面變形大小等問題無法得到解決，需要結(jié)合材料力學(xué)的莫爾能量法、彈性力學(xué)、有限元柔度矩陣法等進一步求解。唐進元等[3]以多體系統(tǒng)誤差建模理論為基礎(chǔ)提出齒面誤差接觸分析(ETCA)，并以SGM 法加工錐齒輪為例，得到機床運動誤差和安裝誤差對齒面加工質(zhì)量影響的定量關(guān)系，比較TCA技術(shù)，表明ETCA的分析結(jié)果對指導(dǎo)加工更為合理。Moriwaki等[4-5]基于彈性理論建立一種新的隨機切削模型，預(yù)測在精加工后剃齒刀的切削效果，并模擬了剃齒加工過程。Zhang等[6]建立了包含齒輪制造誤差、齒形表面誤差以及修形影響的交錯軸嚙合接觸模型，分析其嚙合情況與載荷分布，驗證了小嚙合角剃齒的良好效果。Chen等[7]建立螺旋齒輪和雙鼓形齒輪組嚙合模型，利用彈性理論和有限元法分析螺旋齒輪的接觸應(yīng)力與彎曲應(yīng)力，驗證了兩種方法的一致性。但在剃削過程中，齒面彈塑性變形并存，研究剃齒齒形中凹誤差需同時考慮彈塑性變形對齒面加工的影響。

上述針對齒面接觸的研究方法為解決中凹誤差問題拓寬了研究思路。通過計算嚙合接觸點法向作用力、接觸應(yīng)力和變形量分析接觸特性，以接觸應(yīng)力為量綱劃分齒廓的彈塑性變形區(qū)域，并確定不同載荷作用下的彈性、彈塑性和塑性變形區(qū)域，明確各變形階段所產(chǎn)生齒形中凹誤差的主要根源，從而為研究中凹誤差形成機理提供理論依據(jù)。并應(yīng)用有限元法及剃齒試驗與理論計算分析進行對比，驗證其正確性。

1 構(gòu)建剃齒嚙合分析模型

為得到剃齒嚙合過程中法向作用力Fn和接觸位置的應(yīng)力σH及彈性變形壓縮量δe，需確定齒廓上每一瞬時的接觸點數(shù)與位置，而嚙合方程和齒面方程則是獲取接觸點位置的前提。為了解決這幾個問題，剃齒嚙合分析模型應(yīng)包括幾何模型、數(shù)學(xué)模型和力學(xué)模型。

1.1 幾何模型

剃齒嚙合中，由于剃齒刀齒面的容屑槽和切削刃的存在，使其在工件齒面上的接觸線為間斷的空間曲線，這使得嚙合接觸問題復(fù)雜化，根據(jù)文獻[8]可將剃齒過程簡化為一對斜-直齒輪作交錯軸空間嚙合運動。由于絕大部分中凹誤差都是發(fā)生在剃齒嚙合重合度小于2的刀齒對，選取剃齒刀和工件齒輪參數(shù)如表1所示，推導(dǎo)出相應(yīng)的剃齒嚙合參數(shù)，其中重合度為1.401。建立如圖1所示的三維幾何模型，為方便后述數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)，建立相應(yīng)坐標(biāo)系。

表1 剃齒刀和工件齒輪參數(shù)Tab.1 Prametters of shaving cutter and work gear

圖1 剃齒嚙合幾何模型 Fig.1 Geometric model of shaving

1.2 數(shù)學(xué)模型

剃齒加工為雙自由度嚙合過程，根據(jù)嚙合原理和如圖1參數(shù)，用坐標(biāo)系S1(O1-x1y1z1)來表示嚙合方程式為：

(1)

嚙合方程中只含有兩個獨立參數(shù)，角速度ω1和軸向運動速度v02，所以式(1)可整理簡化成兩個條件式

U1cosφ1-V1sinφ1=W1

(2)

U2cosφ2-V2sinφ2=W2

(3)

式(2)、式(3)可知，兩個條件式都是角速度φ1與齒面參數(shù)(u,θ)的關(guān)系式，取一定的φ1角，可以映射出多個(u,θ)值。它的幾何意義為當(dāng)選定一個轉(zhuǎn)角值時，有一系列剃齒刀齒面Σ(1)上的點同時滿足嚙合，即齒面上此時有一條嚙合接觸線。若需要同時滿足式(2)和式(3)，則只有一對(u,θ)解，即任一瞬時在剃齒刀齒面Σ(1)上只有一個接觸交點[9]。顯然，若兩個條件式的形式相同或者對應(yīng)成比例，可視為剃齒嚙合點接觸向線接觸蛻變，即滿足如下蛻變條件式：

(4)

把式(1)、式(2)和式(3)整理代入式(4)，兩個方程可求出唯一解，化簡后的形式：

(5)

式中：p1為剃齒刀螺旋參數(shù)。

為了獲得剃齒刀與工件齒輪線接觸嚙合，需保證傳動比i21與i″之比等于剃齒刀螺旋面Σ(1)的螺旋參數(shù)p1與軸交角的余弦之比。在實際操作中，需要按照一定的要求來調(diào)整剃齒機，其中傳動比為i21=z1/z2，而傳動比i″則由差動機構(gòu)實現(xiàn)，其意義為當(dāng)剃齒刀相對工件齒輪移動一個導(dǎo)程2πp1，要保證工件齒輪的附加轉(zhuǎn)角為

(6)

工程實踐中，三自由度齒輪嚙合方程可以簡化成三個條件式，其蛻變成兩個條件式之后就是對角滾齒的理論基礎(chǔ)。聯(lián)立式(2)、式(5)，得嚙合關(guān)系式

(7)

把式(7)代回式(2)或式(3)，可以得到關(guān)于θ的超越方程，由牛頓迭代算法計算結(jié)果為發(fā)散。若畫出相應(yīng)圖形，會有無數(shù)個交點，該結(jié)果與點接觸蛻變?yōu)榫€

接觸的觀察結(jié)果相一致。顯然，蛻變后嚙合面方程以及工件齒輪齒面Σ(2)方程可利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得出，這里不再贅述。

1.3 力學(xué)模型及LTCA

剃齒加工實際上為無側(cè)隙嚙合擠壓切削過程，以加工工件齒輪右齒面Σ(2)為例，當(dāng)剃齒刀左(右)齒面為切削側(cè)時，剃齒刀右(左)齒面僅作擠壓拋光和平衡力矩的作用，可知一個完整的剃削過程中工件齒輪左右齒面受力對稱，故選取工件齒輪右齒廓作為研究對象。根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型，建立剃齒嚙合的力學(xué)模型，如圖2所示，并對模型進行齒面載荷接觸分析(LTCA)[10]。圖2中：L1,L2,L3,L4為各接觸點到動坐標(biāo)系S2軸y2的距離，K1,K2,K3,K4為有效嚙合線的各極限接觸點，F(xiàn)1,F2,F3,F4為各法向作用力，F(xiàn)r為給定徑向力。

求解嚙合過程中的接觸變形，需推導(dǎo)出接觸點的法向作用力。當(dāng)重合度小于2的刀齒嚙合時，有三種嚙合狀態(tài)交替變化。齒面上法向作用力隨嚙合狀態(tài)變化而變化，現(xiàn)對圖2三種嚙合狀態(tài)進行詳細的力學(xué)分析。三點接觸與兩點接觸的受力為簡單的靜力學(xué)分析，此處不再贅述。當(dāng)四點接觸(見圖2(c))時，系統(tǒng)保持平衡狀態(tài)有四個力F1,F2,F3,F4未知，通過力和轉(zhuǎn)矩的平衡只能得到三個方程式，需要額外添加一個協(xié)調(diào)方程，其含義為左右嚙合線的接觸變形量之和相等。

(8)

式中：b為各接觸點接觸橢圓的長軸長;F為各接觸點的法向作用力。

圖2 剃齒嚙合狀態(tài)及力學(xué)模型 Fig.2 Meshing state in shaving andmechanical model

解出三種嚙合狀態(tài)下的法向作用力后，可求得相應(yīng)的彈性變形壓縮量δe[11]。

(9)

考慮齒形中凹誤差出現(xiàn)在工件齒輪齒面節(jié)圓附近，而齒面接觸點所受的彎曲應(yīng)力要比接觸應(yīng)力小得多，故只對齒輪進行接觸分析。根據(jù)AGMA標(biāo)準(zhǔn)給出斜齒輪齒面接觸應(yīng)力計算公式為[12]

(10)

式中： 實際載荷系數(shù)KH=KAKVKHαKHβ。

剃齒過程的剃削力主要由徑向進給量確定[13]，不同的徑向力會對剃齒造成不同的剃削變形。徑向力的值一般在700～2 000 N之間，選取四種不同徑向力700 N，1 100 N，1 500 N和2 000 N 作用下，利用上述方法對右齒廓進行嚙合接觸分析，由靜力學(xué)分析求出每種狀態(tài)下的法向作用力，然后由式(9)、式(10) 確定右齒廓任意曲率半徑的變形量及接觸應(yīng)力值。分別得到不同載荷條件下的嚙合接觸特性曲線如圖3所示。

圖3表明，在齒廓有效剃削段的左右嚙合線上，刀齒接觸點數(shù)變化為4(AB段)-3(BC段)-2(CD段)-3(DE段)-4(EF段)-3(FG段)，其中兩點接觸段(CD)作用時間最長。在不同載荷徑向力下，工件齒輪齒面接觸應(yīng)力和變形量變化趨勢大體一致，其大小隨徑向力的增大而增大，實際上由于系統(tǒng)隨機誤差的存在，變形量曲線變化并不會跟隨接觸應(yīng)力的變化。此外，齒根部EG段所受的應(yīng)力較之齒頂部AC段更大，所形成的變形量也更大，造成相應(yīng)的齒形誤差也越大，這與工程實踐中觀察的結(jié)果相一致。三點接觸段BC的應(yīng)力和變形量較之四點接觸段AB下降，其原因在于AB段對應(yīng)圖2(b)中的F2，而DE段和FG段對應(yīng)F1和F3，徑向力Fr從四點接觸向三點接觸變化時，大部分作用力由F1和F3平衡。兩點接觸段CD接觸齒對數(shù)減小，重合度減小，法向作用力增大，故接觸應(yīng)力和變形量也隨之急劇增大。節(jié)圓附近的三點接觸段DE出現(xiàn)了應(yīng)力和變形量的峰值，其值與兩點接觸的CD段大致相等，但在該區(qū)域內(nèi)為三點接觸，左右齒面受力不平衡，當(dāng)徑向力足夠大時，該區(qū)域會比CD段更容易出現(xiàn)塑性變形。隨著剃齒低周嚙合，塑性變形量不斷累積，齒形誤差復(fù)映，DE段最終會在齒廓上表現(xiàn)為明顯的中凹誤差現(xiàn)象。

圖3 不同徑向力下剃齒嚙合接觸特性曲線 Fig.3 Meshing contact characteristic curve under different loading condition in shaving

2 彈塑性變形分區(qū)

研究剃齒加工過程中兩齒面間的彈性極限，利用齒面開始進入完全塑性變形階段時的臨界載荷與齒面完全彈性變形時的臨界載荷之間的關(guān)系，確定兩齒面開始進入塑性變形階段時的臨界應(yīng)力值，以接觸應(yīng)力為量綱來劃分齒廓任意曲率半徑的彈塑性變形區(qū)域。

2.1 彈塑性分析

在剃齒加工初期，剃齒刀和工件齒輪嚙合接觸點的法向作用力較小，其接觸應(yīng)力在彈性范圍內(nèi)，加工完成后彈性變形會因作用力的消失而恢復(fù)。隨著剃削過程的進行，徑向力會隨著進給量的增大而增大，接觸點的法向作用力也會隨之變大。當(dāng)法向力足夠大時，接觸點所受的應(yīng)力σ≥σs時，刀齒間的接觸應(yīng)力超過彈性極限，開始進入屈服階段。由于彈性強度的準(zhǔn)確測量極為困難，通常以產(chǎn)生0.005%～0.05% 的殘余變形所對應(yīng)的應(yīng)力作為彈性極限，其數(shù)值上與屈服強度非常接近，在工程應(yīng)用中常不做區(qū)分，故可選取材料的屈服極限作為材料從彈性變形進入塑性變形的理論判據(jù)。已知工件齒輪材料的屈服強度為≥835 MPa，為了保證工程安全性，這里取最小值835 MPa作為判斷剃齒過程中是否發(fā)生塑性變形的理論應(yīng)力數(shù)值。如圖3所示，當(dāng)徑向力Fr=1 500 N時，齒廓兩點接觸段CD、三點接觸段DE和局部四點接觸段EF 的應(yīng)力達到835 MPa以上，認為這些區(qū)域?qū)⒊霈F(xiàn)塑性變形。

2.2 不同徑向力下彈塑性變形分區(qū)

隨著剃削低周運動，塑性變形因不能恢復(fù)而誤差復(fù)映在齒面上，最終會在剃齒加工完成后形成齒面誤差，可見塑性變形區(qū)域的存在會直接引起齒形中凹誤差。在齒廓上精確劃分出彈塑性變形區(qū)域?qū)ο邪颊`差影響有著重要的指導(dǎo)意義。

工件齒輪在上述力學(xué)模型中作為理想彈性體來分析，所計算的變形量也按照彈性階段處理，考慮到晶體內(nèi)部的位錯運動，連續(xù)的法向力會使該接觸點處出現(xiàn)屈服現(xiàn)象，顯然理論計算的變形量與實際的塑性變形量存在著較大的誤差，故采用接觸應(yīng)力作為量綱來對齒廓的接觸區(qū)域進行彈塑性區(qū)域的劃分。不同徑向力下劃分的彈塑性變形區(qū)域，如圖4所示。

圖4 接觸應(yīng)力為量綱的彈塑性變形區(qū)分 Fig.4 Elastoplastic deformation region by contact stress

圖4可知，在不同徑向力的作用下，兩點區(qū)域的CD段和節(jié)圓附近的三點區(qū)域(DE段)在剃齒過程中最先出現(xiàn)塑性變形，且隨著徑向力的增大塑性變形區(qū)域逐漸擴大到齒根部位的三點接觸區(qū)域(FG段)和四點接觸區(qū)域(EF段)，可見徑向力增大會加劇中凹誤差的出現(xiàn)。而齒面中凹誤差最容易在節(jié)圓附近累積，若能優(yōu)化剃齒參數(shù)來減小該區(qū)域的受力，就能縮小塑性變形區(qū)域，進而從根本上減小中凹誤差量。

3 有限元仿真及理論計算對比

3.1 有限元分析前處理

剃齒刀和齒輪的幾何形狀、邊界條件和載荷均符合旋轉(zhuǎn)周期結(jié)構(gòu)的要求，即模型的位移關(guān)于中心軸呈周期性對稱布置，可選取局部模型來代替整體模型。Celik[14]驗證比較了整體模型和局部模型的應(yīng)力應(yīng)變結(jié)果，兩者的計算誤差僅在2%以內(nèi)，故局部模型代替整體模型可滿足工程應(yīng)用。當(dāng)重合度小于2的刀齒嚙合時，至多有5個齒參與嚙合，同時為避免邊緣剛體耦合約束對計算結(jié)果的影響，對刀齒各截取五個輪齒進行分析。

3.2 不同徑向力下的接觸應(yīng)力及彈塑性變形分區(qū)

選取與力學(xué)模型一致的四種徑向力，對其分別進行仿真及數(shù)據(jù)處理，接觸應(yīng)力仿真結(jié)果如圖5所示。在圖3中每一嚙合狀態(tài)的變化都會引起接觸特性的突變現(xiàn)象，而圖5中，在實際剃削中會存在一個過渡區(qū)，使傳動平穩(wěn)進行。

圖5 不同徑向力下接觸應(yīng)力曲線及齒廓彈塑性變形分區(qū) Fig.5 Contact stress curve under different loading and partition of elastoplastic deformation

圖5表明，螺旋剃齒刀的接觸狀態(tài)因載荷條件的不同而不同，彈塑性區(qū)域也會隨之變化，載荷越大塑性區(qū)域也越大。當(dāng)徑向力Fr=700 N時，兩種方法計算的最大誤差為9.77%。其原因為：剃削加工初始狀態(tài)時，切削力小，剃前齒面誤差、安裝誤差等其他系統(tǒng)誤差影響大，針對齒面接觸特性，這些誤差無法應(yīng)用AGMA標(biāo)準(zhǔn)來計算。而工件齒輪進入有效剃削階段，剃削力增大，齒面上開始出現(xiàn)塑性變形，兩種方法計算的誤差變大，且隨徑向力增大而增大，誤差分別為12.63%、15.05% 和19.18%，其偏差原因有很多：當(dāng)徑向力增大時，刀齒嚙合的重合度改變，嚙合狀態(tài)發(fā)生變化，故法向作用力和接觸應(yīng)力也隨之變化；剃齒過程中，工件齒輪循環(huán)次數(shù)在105以下，處于低周疲勞階段，而根據(jù)AGMA標(biāo)準(zhǔn)計算的接觸力結(jié)果不能很好的反映其疲勞誤差復(fù)映等。對比理論計算結(jié)果，兩種方法劃分的彈塑性區(qū)域及發(fā)展規(guī)律大體一致，且FEM法計算劃分的塑性變形區(qū)域比按AGMA 標(biāo)準(zhǔn)計算劃分的區(qū)域較大。其誤差主要是因為Abaqus有限元軟件應(yīng)用準(zhǔn)靜態(tài)動態(tài)來仿真，故系統(tǒng)動態(tài)質(zhì)量導(dǎo)致輪齒仿真變形會大于理論計算變形[15]。根據(jù)LTCA分析結(jié)果，三點嚙合段DE是塑性變形最大的區(qū)域，而仿真結(jié)果在該段齒廓中并不是變形的峰值，只出現(xiàn)一個區(qū)域極大值，其原因是：DE段嚙合到EF段，嚙合狀態(tài)變化較大，為保證有限元收斂，仿真過程中需要作用時間較長的過渡區(qū)來實現(xiàn)，而DE段轉(zhuǎn)角僅為0.76°，過渡區(qū)使得三點接觸應(yīng)力作用時間太短，故只出現(xiàn)一個局部極大值。

4 剃齒試驗對比與分析

不同徑向力可由不同的剃削用量來確定，控制其他工藝參數(shù)不變，采用不同的徑向進給量就可以得到大致的徑向力大小[13]。選用YW4232剃齒機加載不同的進給量對同一工件齒輪參數(shù)進行試剃，再應(yīng)用萬能齒輪測量儀GM 3040a對剃后齒輪進行齒形齒向的檢測。不同徑向力的剃齒齒形圖如圖6所示。

圖6 不同徑向力的齒形試驗圖 Fig.6 Test diagram of gear profile with different loading

圖6表明，該剃齒參數(shù)下，工件齒輪節(jié)圓附近均出現(xiàn)不同程度地凹陷，且隨著徑向力增大，齒形中凹誤差量增大，與圖3接觸特性曲線變化一致，證明了該理論接觸特性曲線分析齒形中凹誤差的正確性。對比圖3、圖5可知，其理論計算及有限元法接觸特性曲線和圖6中齒形圖變化軌跡基本一致，但是在齒形圖上存在凸出區(qū)域，即實際齒形凸出于標(biāo)準(zhǔn)漸開線，而AGMA標(biāo)準(zhǔn)計算及FEM計算只存在凹陷誤差。其原因為：理論計算僅僅是在標(biāo)準(zhǔn)漸開線上進行彈塑性分析，故只會形成相應(yīng)凹陷，而實際工況復(fù)雜，剃前齒形誤差的存在及讓刀現(xiàn)象使接觸區(qū)域周圍形成擠壓而產(chǎn)生凸出變形。圖6(a),圖6(d)的齒形較之圖6(b),圖6(c)齒形存在局部波動，原因如下：當(dāng)徑向進給量過小，導(dǎo)致刀齒不能切入金屬層，只能擠壓金屬表面，不能糾正剃齒誤差；進給量過大則會過度切除金屬，從而破壞原有的精度，故導(dǎo)致齒形的波動。此外，隨著徑向力的增大，其齒形誤差曲線變化一致，且齒形誤差先隨之變大，如圖6(a),圖6(b),圖6(c)，當(dāng)徑向力足夠大時，齒形誤差不再單調(diào)變大，而是出現(xiàn)振蕩，如圖6(c),圖6(d)所示，其原因為：工件齒輪齒形誤差會影響剃齒傳動性能，傳動不平穩(wěn)又會進一步影響其接觸特性，導(dǎo)致齒形誤差變化不一致。

5 結(jié) 論

針對剃齒嚙合的力學(xué)特性，利用LTCA技術(shù)分析剃齒嚙合接觸特性，并依據(jù)彈塑性理論對齒廓任意曲率半徑劃分變形區(qū)域，通過有限元法和剃齒試驗來驗證理論研究，其主要結(jié)論如下：

(1) 推導(dǎo)了齒輪雙自由度嚙合時，嚙合接觸由點接觸向線接觸蛻變的條件i21/i″=p1/cosΣ，使嚙合受力更加均衡，傳動更加平穩(wěn)，此蛻變公式可以推廣到任意兩軸齒輪運動。

(2) 通過LTCA技術(shù)對剃齒嚙合進行接觸狀態(tài)分析，給出了不同徑向力Fr條件下的剃齒嚙合接觸特性曲線。結(jié)果表明：隨著徑向力的增大，接觸應(yīng)力及變形量隨之增大；齒根部接觸應(yīng)力和變形均比齒頂部大；接觸應(yīng)力和變形量的峰值出現(xiàn)在節(jié)圓附近，表明這些區(qū)域最容易出現(xiàn)中凹現(xiàn)象。

(3) 利用有限元法分析了不同徑向力下齒面接觸狀態(tài)，計算結(jié)果與AGMA計算比較可知，在剃齒加工初期徑向力(700 N)和切削力較小時，兩種方法計算的誤差達9.77%。而當(dāng)徑向力逐漸增大偏差呈非線性增大，兩者計算結(jié)果最大偏差分別為12.63%(1 100 N)、15.05%(1 500 N)和19.18%(2 000 N)。

(4) 根據(jù)AGMA標(biāo)準(zhǔn)和FEM法計算的接觸應(yīng)力值，分別對齒廓進行彈塑性區(qū)域劃分，比較結(jié)果一致，塑性變形區(qū)域隨徑向力增大而增大，且從節(jié)圓附近向齒頂和齒根擴展。仿真結(jié)果表明彈塑性變形區(qū)域劃分有效。

(5) 剃齒試驗表明，在不同徑向力條件下均出現(xiàn)不同程度的中凹誤差現(xiàn)象，并隨著徑向力的增大而增大，驗證了剃齒嚙合接觸特性分析齒形中凹誤差的正確性。且剃齒嚙合間的傳動特性會直接影響到齒面成形質(zhì)量。

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