牛治東， 吳光強,2

(1. 同濟大學 汽車學院， 上海 201804； 2.東京大學 生產(chǎn)技術(shù)研究所， 東京 153-8505)

預(yù)測是在掌握相關(guān)信息的基礎(chǔ)上，運用相關(guān)領(lǐng)域的定性或定量的方法，研究事物未來發(fā)展及其運行規(guī)律，并對其各主要素的變動趨勢做出估計描述與分析的一門學科[1]?；煦缋碚摫砻?，即使系統(tǒng)初始狀態(tài)條件的細微差別，系統(tǒng)演化也可能導致顯著差異，因而對混沌系統(tǒng)的長期演化結(jié)果是不可預(yù)測的，但由于混沌運動是由確定系統(tǒng)的內(nèi)在特性所引起的，短期行為又是完全確定的，即可預(yù)測[2]。

對混沌時間序列預(yù)測方面的研究，文獻[3]對時間序列觀測數(shù)據(jù)進行處理，計算出最大Lyapunov指數(shù)，得到最大可預(yù)報時間尺度，并建立人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測預(yù)報混沌時間序列的模型，驗證了該預(yù)測方法。文獻[4]討論了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測在非線性動力學系統(tǒng)建模中的作用，利用反向傳播學習規(guī)則去訓練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和預(yù)測誤差，研究表明基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時間序列預(yù)測能反應(yīng)系統(tǒng)的動力學性能，并利用最大Lyapunov指數(shù)和相關(guān)維等作為一個近似工具驗證預(yù)測模型的準確性。文獻[5]提出了利用徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型對混沌時間序列相空間重構(gòu)的兩個關(guān)鍵參數(shù)-延遲時間和嵌入維數(shù)進行聯(lián)合估計的方法，并以Lorenz系統(tǒng)為例進行數(shù)值分析，驗證了方法的有效性。文獻[6]提出了基于混沌徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的汽油機瞬態(tài)工況油膜參數(shù)預(yù)測模型，證明了汽油機油路系統(tǒng)時間序列具有非線性混沌特性，對試驗測定的數(shù)據(jù)進行相空間重構(gòu)，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對重構(gòu)后的數(shù)據(jù)進行訓練和預(yù)測，并利用數(shù)值方法驗證了混沌RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型具有較強的非線性預(yù)測能力。

本文基于某款電動汽車實車試驗測得的時間序列進行分析，研究振動信號的混沌特性，并采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型對混沌時間序列進行了預(yù)測。首先，對電動汽車實車試驗數(shù)據(jù)進行提取，確定作為分析對象的時間序列范圍。其次，利用龐加萊截面、功率譜和最大Lyapunov指數(shù)等方法發(fā)現(xiàn)了電池底部中心和右前輪心垂向加速度時間序列具有混沌特性。最后，對右前輪心垂向混沌時間序列進行相空間重構(gòu)，利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型對重構(gòu)后的相空間進行訓練和預(yù)測，發(fā)現(xiàn)利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型對混沌時間序列進行預(yù)測時，具有較強的預(yù)測能力。

1 混沌時間序列分析基礎(chǔ)

混沌運動具有三個明顯的特征[7]：①對初始條件的極端敏感依懶性；②非周期性表明混沌的非線性和無序性；③存在奇異吸引子。

對混沌時間序列分析的主要判別方法有：龐加萊截面；Lyapunov指數(shù)；功率譜；分形和分維；奇異吸引子；熵；關(guān)聯(lián)維等。

混沌時間序列的預(yù)測方法主要有：全域法、局域法、加權(quán)零階局域法、加權(quán)一階局域法、基于李雅普諾夫指數(shù)的預(yù)測方法、小波分析、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等[8]。其中，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法適用于處理復雜系統(tǒng)的非線性關(guān)系，對數(shù)據(jù)量的要求不高。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法結(jié)合了小波變換良好的時頻局域化性質(zhì)、聚焦特性，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學習、自適應(yīng)、容錯性，因而具有較強的逼近和容錯能力。因為混沌時間序列具有對初值的敏感依賴性和非線性等特性，且通過試驗采集到的數(shù)據(jù)量有限，為了對時間序列達到較好的預(yù)測效果，所以，本文采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對混沌時間序列進行預(yù)測。

本文利用功率譜、龐加萊截面和最大Lyapunov指數(shù)來分析時間序列的混沌特性。并用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型對混沌時間序列進行預(yù)測。下面分別介紹利用Wolf方法計算最大Lyapunov指數(shù)和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型的相關(guān)知識。

1.1 Wolf方法計算最大Lyapunov指數(shù)

為了得到最大Lyapunov指數(shù)，1985年，Wolf等[9]提出了軌跡跟蹤法，隨后Rosenstein等[10]進行了改進。從單變量的時間序列提取Lyapunov指數(shù)的方法是基于時間序列的重構(gòu)相空間。Wolf等提出了直接基于相軌線、相平面、相體積等的演化來估計Lyapunov指數(shù)。這類方法統(tǒng)稱為Wolf方法。

設(shè)混沌時間序列x1，x2，…，xn，…，嵌入維數(shù)m，時間延遲τ，則重構(gòu)相空間

Y(ti)=(x(ti),x(ti+τ)),…,x(ti+(m-1)τ)

繼續(xù)上述的過程，直至Y(t)到達時間序列的終點N，這時追蹤演化過程總的迭代次數(shù)為M，則最大的Lyapunov指數(shù)為

(1)

1.2 混沌時間序列的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種以BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，把小波基函數(shù)作為隱含層節(jié)點的傳遞函數(shù)，信號前向傳播同時誤差反向傳播的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的一般計算流程如圖1所示。

圖1 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的一般流程 Fig.1 Wavelet neural network prediction general process

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值參數(shù)修正采用梯度修正法，修正輸入輸出層權(quán)值和小波基函數(shù)的參數(shù)，從而使小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測輸出不斷逼近期望輸出[11]。

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu) Fig.2 Wavelet neural network topological structure

圖2中，X1,X2, …,XK是小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入?yún)?shù)，Y1小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測輸出，ωij和ωj為小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值。

(2)

式中：h(j)為隱含層第j個節(jié)點輸出值；ωij為輸入層與輸出層之間的連接權(quán)值；hj為小波基函數(shù)；bj為小波基函數(shù)hj的平移因子；aj為小波基函數(shù)hj的伸縮因子；l為隱含層節(jié)點數(shù)。

輸出層的計算公式為

(3)

本文采用的小波基函數(shù)為Morlet母小波基函數(shù)，數(shù)學公式為

y=cos(1.75x)e-x2/2

(4)

2 電動汽車試驗

實車在中等比利時路面上行駛時采集信號，采集右前輪心垂向、電池底部中心三向加速度信號。如圖3、圖4所示，中等比利時路面及右前輪垂向和電池底部中心三向加速度傳感器安裝位置。采樣頻率512 Hz，對信號進行采集時，車速穩(wěn)定在40 km/h。

圖3 試驗用中等比利時路面 Fig.3 Test of medium-Belgian pavement

圖4 右前輪心垂向與電池底部中心三向加速度傳感器 Fig.4 Vertical of right front wheel center and three direction of battery bottom center acceleration sensor

因?qū)嵻囋囼灁?shù)據(jù)量較大，本文選取右前輪心垂向和電池底部中心垂向的振動加速度信號進行分析。因試驗條件限值，試驗路面不連續(xù)，試驗時，試驗前幾秒，車速不穩(wěn)定，所以選取15～45 s的數(shù)據(jù)進行處理和分析。如圖5、6所示。

圖5 右前輪心垂向加速度信號 Fig.5 Vertical acceleration signal of right front wheel

圖6 電池底部中心垂向加速度信號 Fig.6 Vertical acceleration signal of battery bottom center

3 混沌時間序列的特性分析

3.1 時頻分析

實車試驗采集到的信號為非平穩(wěn)信號，對信號進行時頻分析時，采用短時傅里葉變換。如圖7、8所示。發(fā)現(xiàn)兩個信號的能量主要集中在10 Hz附近。

圖7 右前輪心垂向功率譜密度與時頻圖 Fig.7 Power spectrum density and time frequency diagram of vertical right front wheel

圖8 電池底部中心垂向功率譜密度與時頻圖 Fig.8 Power spectrum density and time frequency diagram of vertical battery bottom center

3.2 三維相圖與龐加萊截面

兩個振動信號的三維相圖和龐加萊截面，如圖9、10所示。從圖9、10中可以看出，右前輪心垂向與電池底部中心垂向的相圖為一些雜亂無章的曲線，龐加萊截面均為一些成片的密集的點集。

圖9 右前輪心垂向相圖與龐加萊截面 Fig.9 Phase diagram and Poincare sections of vertical right front wheel

圖10 電池底部中心垂向相圖與龐加萊截面 Fig.10 Phase diagram and Poincare sections of vertical battery bottom center

3.3 最大Lyapunov指數(shù)

首先利用互信息量法計算延遲時間，Cao法計算嵌入維。選擇合適的延遲時間及最小嵌入維，利用Wolf方法計算最大Lyapunov指數(shù)。

計算時間延遲的主要方法有自相關(guān)法、平均位移法和互信息量法等。其中，互信息量法[12]是估計重構(gòu)相空間延遲的一種有效方法，它包含了時間序列的非線性特征。計算時間延遲，如圖11、12所示。

圖11 右前輪心垂向時間序列延遲時間 Fig.11 Time delay of vertical right front wheel center

圖12 電池底部中心垂向時間序列延遲時間 Fig.12 Time delay of vertical battery bottom center

計算嵌入維的主要方法有：C-C方法、虛假鄰點法和Cao法等。利用Cao法[13]計算最小嵌入維數(shù)，只需知道延遲時間和較小的數(shù)據(jù)量就能求得嵌入維數(shù)，并且能有效區(qū)分隨機信號和確定信號。本文選用Cao法計算嵌入維，如圖13、14所示。

圖13 右前輪心垂向時間序列嵌入維 Fig.13 Embedding dimension of vertical right front wheel

圖14 電池底部中心垂向時間序列嵌入維 Fig.14 Embedding dimension of vertical battery bottom

根據(jù)圖11、圖12選擇兩個信號的延遲時間為：10、12。根據(jù)圖13、圖14選擇兩個信號的最小嵌入維：11、9。根據(jù)選擇的延遲時間和最小嵌入維，利用Wolf方法計算右前輪心垂向和電池底部中心垂向振動加速度信號時間序列的最大李雅普諾夫指數(shù)分別為：0.000 073 087、0.001 3。表明兩處信號的時間序列具有混沌動力學特性。

4 混沌時間序列的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測

采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型對右前輪心垂向加速度混沌時間序列進行預(yù)測。根據(jù)右前輪心垂向加速度時間序列的延遲時間和嵌入維數(shù)，進行相空間重構(gòu)。相空間重構(gòu)是一種基于有限的實測數(shù)據(jù)進行重構(gòu)吸引子，從而進行系統(tǒng)動力學研究的方法。本文對一維時間序列進行相空間重構(gòu)，得到多維相空間信號，利用重構(gòu)后的相空間對混沌時間序列進行預(yù)測。目前，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層節(jié)點數(shù)的確定一般采用試湊法，即不斷改變輸入層節(jié)點數(shù)，直到達到模型精度要求，但該方法這樣帶來的不利因素是計算量的增大，而且不利于建立動態(tài)的預(yù)測模型。有研究表明：輸入層的個數(shù)為混沌時間序列的重構(gòu)相空間的飽和嵌入維數(shù)為最佳。

本文選取35～43 s之間的振動加速度時間序列進行分析。右前輪心垂向振動加速度時間序列如圖15所示。

圖15 右前輪心垂涎振動加速度 Fig.15 Acceleration of vertical right front wheel

在圖15中，為一維時間序列，時間共8 s，4 096個數(shù)據(jù)樣本點。選取前7 s，共3 584個數(shù)據(jù)點作為訓練數(shù)據(jù)，后1 s，共512個數(shù)據(jù)點作為測試數(shù)據(jù)，以驗證小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型的預(yù)測效果。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型的輸入層節(jié)點數(shù)等于右前輪心垂向混沌時間序列的最小嵌入維數(shù)。預(yù)測結(jié)果如圖16所示，預(yù)測誤差如圖17所示?？梢钥闯?，利用小波神網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型對混沌時間序列具有較高的預(yù)測能力。

圖16 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果 Fig.16 Prediction results of wavelet neural network

圖17 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測誤差 Fig.17 Prediction error of wavelet neural network

5 結(jié) 論

(1) 電動汽車在中等比利時路面進行實車試驗，對試驗數(shù)據(jù)進行提取，確定了作為分析對象的時間序列范圍。

(2) 對信號進行了時頻分析，并利用龐加萊截面、三維相圖和最大Lyapunov指數(shù)等數(shù)值分析方法對加速度信號進行分析，發(fā)現(xiàn)了電池底部中心垂向和右前輪心垂向加速度時間序列具有混沌特性。

(3) 對右前輪心垂向加速度混沌時間序列進行相空間重構(gòu)，利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對重構(gòu)后的數(shù)據(jù)進行訓練和預(yù)測。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型對混沌時間序列進行預(yù)測時，具有較強的預(yù)測能力。

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