王敏文， 王忠明， 鄭曙昕， 王 迪， 楊 業(yè)， 劉臥龍， 王百川，王茂成， 張 輝, 閆逸花， 呂 偉， 邱孟通， 邢慶子

(1. 強脈沖輻射環(huán)境模擬與效應國家重點實驗室， 西安 710024； 2. 西北核技術(shù)研究所， 西安 710024；3. 清華大學 工程物理系， 北京 100084)

束流的相空間分布是粒子加速器的關(guān)鍵參數(shù)，在西安200 MeV質(zhì)子應用裝置(Xi’an 200 MeV Proton Application Facility, XiPAF)調(diào)試過程中，相空間分布的測量是比較加速器物理模型與實際模型的偏差及預測沿線束流包絡分布的重要基礎(chǔ)。三截面法和四極鐵掃描法是被廣泛應用的相空間分布間接測量方法[1-2]，通過測量3個截面重建束流相空間分布，具有對束流影響小、測量速度快的特點。由于三截面法和四極鐵掃描法僅利用束流的均方根尺寸進行反推，只能得到束流相空間分布的Twiss參數(shù)。對束流分布做適當假設(shè)，可得到束流的相空間分布，但由于元件的非線性及空間電荷力等的影響，實際束流分布往往不是理想的高斯分布，束流相空間分布難以通過假設(shè)束流分布獲得。為此，Hock等在不考慮非線性力的情況下，推導得到測量截面為待測相空間沿θ方向的投影，θ由待測點到截面探測器的傳輸矩陣決定[3]。因此，通過改變傳輸矩陣得到待測相空間沿不同方向的投影，結(jié)合斷層重建技術(shù)可實現(xiàn)束流相空間分布的測量。在此基礎(chǔ)上， Dimov等提出基于多粒子模擬的相空間重建方法，通過不斷改變重建處的粒子分布，使模擬截面與測量截面趨于一致，實現(xiàn)了包含空間電荷力等非線性力影響的相空間重建[4]。本文采用基于多個1維截面迭代重建相空間方法，開展XiPAF直線段2維相空間的測量，并將該方法擴展應用到同步環(huán)縱向相空間分布的測量，為XiPAF的調(diào)試提供了有力支撐。

1 相空間迭代重建方法

傳統(tǒng)基于1維截面重建束流2維相空間的方法多應用于空間電荷效應可忽略或空間電荷力可線性化近似的情況，此時，粒子沿束線的運動軌跡描述為

(1)

其中，M為重建點到截面探測器處的傳輸矩陣。

推導可得在截面探測器處測量的截面分布p(x)與待重建相空間分布ρ(x,x0′)的關(guān)系為[5]

(2)

p(x)=?f(x,x0,x0′)ρ(x0,x0′)dx0dx0′

(3)

其中，f(x,x0,x0′)為從重建處到截面測量處的非線性傳輸函數(shù)，跟束流相空間分布ρ(x0,x0′)有關(guān)。因此，必須采用迭代的方法才可能根據(jù)多個p(x)求出ρ(x0,x0′)。假設(shè)，束流的水平和垂直方向相空間相互獨立，迭代重建的思路是比較多個測量與模擬的截面，然后根據(jù)截面比較結(jié)果對重建點的相空間分布進行修正，直到模擬截面與測量截面趨于一致。具體迭代方法為：

1) 準備多組不同磁鐵參數(shù)下或不同位置處測量的水平和垂直離散截面(以6組為例)。

2) 產(chǎn)生一個發(fā)射度遠大于設(shè)計值的初始橫向相空間分布，由于只重建束流橫向相空間分布，初始束流縱向分布采用設(shè)計值。

3) 以初始相空間分布作為輸入，利用基于PIC方法的多粒子動力學仿真軟件分別模擬計算6組參數(shù)條件下截面探測器處的束流1維截面。

4) 由于束流的水平和垂直相空間分布是獨立的，重建也是獨立的，本文僅描述束流水平方向相空間分布的重建，垂直相空間分布重建類似。將測量截面按照面積為1進行歸一化，并將模擬截面按照實際測量分辨率進行離散化，逐個比較6個測量與模擬截面，若模擬的粒子處于對應測量截面范圍內(nèi)，則該粒子對測量截面是有貢獻的，稱為有效粒子。找出每個模擬截面中的有效粒子集，取6個模擬截面有效粒子集的交集，即對每個測量截面均有貢獻的粒子，作為最終的有效粒子集。

5) 逐個比較6個測量截面與僅包含有效粒子的模擬截面，用測量截面的幅度除以對應位置處模擬截面中的粒子數(shù)作為這些粒子在該截面的權(quán)重因子，將粒子在6個截面的權(quán)重因子求和作為該粒子最終的權(quán)重因子。

6) 通過粒子標識找到有效粒子在初始分布中的對應粒子，然后根據(jù)粒子的權(quán)重因子重新生成迭代分布。具體方法是根據(jù)粒子的權(quán)重因子和迭代分布的總粒子數(shù)N，在以該粒子的相空間坐標(x0,x0′)為中心、邊長為d的正方形范圍內(nèi)隨機添加N個粒子，其中d為重建步長，一般取測量截面的分辨率。

7) 利用新的初始粒子分布再次進行迭代，直到模擬截面與測量截面之間的偏差趨于收斂。

本文選用TraceWin進行束流橫向動力學模擬，利用Python調(diào)用TraceWin實現(xiàn)交互，然后編寫腳本進行截面的比較處理和初始粒子分布的重生成，實現(xiàn)了迭代過程的自動化。

2 直線加速器橫向相空間重建

為驗證上述迭代重建方法及研究測量截面位置對于相空間分布重建結(jié)果的影響，以圖1所示直線段束線為例開展了數(shù)值仿真實驗。該束線含5塊四極鐵(Q1,Q2,Q3,Q4,Q5)，重建中通過調(diào)整5塊四極鐵參數(shù)得到不同相移下的截面，利用這些截面和第1節(jié)提出的方法可重建束線起點處束流2維相空間分布。

圖1 數(shù)值仿真實驗束線布局Fig.1 Layout of the beamline for numerical experiment

測量截面的位置與待重建相空間分布的投影角度相關(guān)。文獻[6]指出可用束流Betatron相移來對應相空間分布的投影角度，束流的Betatron相移對應于歸一化相空間中相圖的旋轉(zhuǎn)角度，且在歸一化相空間中的角度均勻采樣映射到幾何相空間就變成了沿相橢圓長軸方向附近的采樣，可獲得更多有效采樣信息[3]。因此，使各測量截面對應的相移應盡量均勻，有利于得到更多有效投影信息，提高重建相空間分布的精度。

為驗證上述結(jié)論，數(shù)值仿真實驗選取了表1所列的3組截面進行重建。

表1 不同組參數(shù)下各截面對應的相移Tab.1 Phase advances to different profiles

其中，G1和G2 6個截面對應相移在180°范圍內(nèi)均勻分布，但初始相移不同；G3 6個截面對應相移則僅在50°范圍內(nèi)均勻分布。橫向相空間分布重建可2個方向同時進行，也可單方向獨立進行，為便于描述，僅以水平方向的相空間分布重建為例。為符合實際測量情況，重建中截面的分辨率設(shè)置為0.1 mm。初始相空間分布均采用大發(fā)射度的均勻分布，重建截面的相對偏差隨著迭代次數(shù)的變化，如圖2所示。由圖2可見，經(jīng)過約10次迭代后，3組截面的偏差均達到收斂。

(a) G1

重建截面的相對偏差定義為

(4)

收斂后得到的重建相空間分布與參考相空間分布的比較，如圖3所示。由圖3可見，利用G1和G2截面較好地重建了束流2維相空間分布；G3截面由于相移分布范圍較小，重建的結(jié)果存在較大偏差。表2為重建與參考相空間分布Twiss參數(shù)的比較。由表2可見，G1和G2重建結(jié)果的相對偏差在4%以內(nèi)，G3重建結(jié)果的相對偏差達到了50%。模擬結(jié)果表明，為實現(xiàn)較好的相空間分布重建質(zhì)量，測量截面的相移應在180°范圍內(nèi)盡量均勻分布。

(a) Reference

在XiPAF直線段開展了基于1維截面重建束流2維相空間分布的束流實驗，并與發(fā)射度儀直接測量結(jié)果進行了對比，主要目的是測量漂移管加速器 (interdigit H-mode drift tube linac，IHDTL) 出口的束流參數(shù)。圖4為XiPAF直線注入器的調(diào)試布局，在IHDTL后布置有3塊四極鐵用于束流橫向匹配，四極鐵后是1臺雙狹縫發(fā)射度儀，可測量束流截面，也可測量束流的相空間分布，因此2種方法的測量結(jié)果可以相互校驗。與仿真過程類似，實驗中通過調(diào)整3塊四極鐵參數(shù)使從IHDTL出口到截面探測器處束流的相移基本在180°內(nèi)均勻分布，表3為XiPAF 1維截面重建發(fā)射度實驗中束流水平和垂直方向各6組磁鐵參數(shù)對應的相移。

表2 重建與參考相空間分布的Twiss參數(shù)對比Tab.2 Comparison of Twiss parameters between reconstructed and reference phase spaces

圖4 XiPAF直線段調(diào)試布局Fig.4 Layout of XiPAF linac

表3 XiPAF 1維截面重建發(fā)射度實驗中束流水平和垂直方向各6組磁鐵參數(shù)對應的相移Tab.3 Phase andvances corresponding to six groups of magnet parameters in the transerse directions in 1-D profile reconstruction emittance experiment at XiPAF

由于水平方向和垂直方向相空間分布測量時使用的四極鐵參數(shù)不同，因此分別對水平和垂直相空間分布進行單獨重建。重建水平方向相空間分布時，水平方向初始相空間分布為大發(fā)射度均勻分布的相空間分布，垂直方向初始相空間分布使用發(fā)射度儀測量得到的相空間分布，垂直方向相空間分布重建時亦然。由于狹縫寬度為0.1 mm，因此重建中截面測量分辨率也取為0.1 mm。重建截面與模擬截面的相對偏差隨迭代次數(shù)的變化關(guān)系如圖5所示。由圖5可見，在約10次迭代以后，截面相對偏差趨于收斂。15次迭代后重建得到的IHDTL出口相空間分布，如圖6所示。

(a) x direction

(a) x direction

為驗證重建相空間的準確性，將發(fā)射度儀直接測量的結(jié)果反推得到IHDTL出口相空間分布，如圖7所示。重建與發(fā)射度儀直接測量得到的IHDTL出口相空間Twiss參數(shù)的比較列于表4。除βy外，相對偏差均在±10%以內(nèi)。發(fā)射度儀自身對于Twiss參數(shù)的測量偏差為±10%，由表4可見，2種方法的測量結(jié)果是相符的。

(a) x direction

表4 截面重建與發(fā)射度儀測量的IHDTL出口相空間Twiss參數(shù)的對比Tab.4 Comparison of reconstructed and measuredphase spaces at outlet of IHDTL

3 同步環(huán)縱向相空間重建

在質(zhì)子同步環(huán)中，當空間電荷效應可忽略時，粒子的縱向運動可表示為[8]

(5)

其中，En和φn分別為第n圈粒子能量和相位；V為高頻腔峰值腔壓；Es和φs分別為同步能量和同步相位；h為諧波數(shù)；η為滑向因子；vnor為歸一化速度；E0為粒子靜止能量。由式(5)可見，縱向運動具有明顯的非線性，且粒子偏離同步粒子越遠，非線性越嚴重。因此，基于線性假設(shè)的斷層重建方法不再適用。1節(jié)提出的迭代重建算法對于動力學計算過程沒有任何限制，因此，將模擬束流橫向運動的動力學程序替換為描述粒子縱向運動的式(5)，該迭代重建方法可應用到束流縱向相空間分布的測量。

在XiPAF中，采用快束流變壓器(fast current transformer, FCT)[9]測量束流的逐圈縱向分布。根據(jù)動力學計算，環(huán)內(nèi)束團均方根長度最小為8.5 ns，對應信號帶寬在60 MHz以內(nèi)，選擇帶寬為700 MHz的FCT進行束流縱向分布的測量。在儲存不加速模式下，測量多圈束流包絡，如圖8所示。

圖8 儲存不加速模式下，測量的多圈束流縱向包絡Fig.8 Measured multi-turn longitudinal profiles in storage mode

由于XiPAF同步環(huán)的縱向工作點較小，因此粒子需要繞環(huán)近1 000圈才能完成一次縱向振蕩，為減少迭代算法的計算量，每隔50圈選取一個縱向截面，總計選取20個截面進行重建。重建與計算的俘獲完成后束流的縱向相空間分布對比，如圖9所示。

(a) Reconstructed phase space

由圖9可見，由于儲存不加速模式下僅對束流進行俘獲而不加速，粒子分布幾乎充滿了整個相空間。表5為測量與模擬的縱向相空間分布Twiss參數(shù)比較。由表5可見，相對偏差在20%以內(nèi)，驗證了該方法的有效性。在束流加速到60 MeV平頂時，應用該方法重建得到的束流縱向相空間分布，如圖10所示。

表5 測量與模擬的縱向相空間Twiss參數(shù)比較Tab.5 Comparison of the Twiss parameters ofreconstructed and simulated longitudinal phase spaces

圖10 束流加速到60 MeV平頂時，重建得到的束流縱向相空間分布Fig.10 Reconstructed longitudinal phase spaceat 60 MeV beam flattop

4 結(jié)論

本文實現(xiàn)了一種基于多個截面重建束流相空間分布的迭代重建方法，與傳統(tǒng)的三截面或四極鐵掃描方法僅能在線性運動假設(shè)下測量束流的Twiss參數(shù)相比，該方法可應用于強空間電荷效應或非線性縱向運動等情況下束流相空間分布的測量，獲得更多的束流信息。該方法成功應用于XiPAF直線段出口的束流水平方向2維相空間和同步環(huán)縱向相空間的重建，為加速器的調(diào)試提供了有力保障。