袁鵬亮

(1. 慶陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 能源工程系，甘肅 慶陽745000；2. 西北工業(yè)大學(xué) 電子信息學(xué)院，陜西 西安 710129)

陣列綜合是根據(jù)系統(tǒng)所要求的天線指標(biāo)、波束形狀等來求解天線的陣元間距、激勵幅度和相位等參數(shù)的過程.可以看出，陣列綜合是天線設(shè)計的逆向過程.在通信、射電天文望遠(yuǎn)鏡以及衛(wèi)星通信等應(yīng)用中，通常要求天線輻射的波束形狀具有主瓣寬度盡可能窄、旁瓣峰值電平(PSLL， peak sidelobe level)盡可能的低的特點，這樣的波束特點一方面可以減小降低對消工作過程中的環(huán)境噪聲及人為干擾，提高傳輸?shù)馁|(zhì)量和效率，另一方面，窄波束比寬波束更節(jié)省功率，方向性更好[1].

實現(xiàn)以上波束形狀一般有硬件和軟件兩種實現(xiàn)途徑.硬件實現(xiàn)不可避免的會抬高設(shè)備的復(fù)雜度和造價成本，于是一般采用軟件的方式.軟件的方式來做綜合天線陣列，大致有數(shù)值法和解析法兩類.解析法對于許多實際的工程問題來說過于復(fù)雜，且影響因素多是未知，解析求解精確值根本不可能實現(xiàn)，造成解析法的難以應(yīng)用.數(shù)值法隨著計算機技術(shù)的發(fā)展興起，尤其是算法研究的突飛猛進(jìn)，開始被陣列綜合廣泛采用.特別是對于參數(shù)要求不太高的情況，這使得工程應(yīng)用更為經(jīng)濟便利[2].

迄今為止，陣列綜合已經(jīng)有七十多年的研究歷史.多種隨機的、進(jìn)化型、單目標(biāo)和多目標(biāo)的算法陸陸續(xù)續(xù)被引入到研究當(dāng)中，例如，遺傳算法(GA，genetic algorithm)、粒子群算法(PSO，particle swarm algorithm)、差分進(jìn)化算法(DE，differential evolution algorithm)等.

在文獻(xiàn)[3]中，利用GA方法對16陣元均勻間距的線陣和16×16陣元的矩形平面陣進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化變量是激勵幅度，實現(xiàn)給定PSLL的方向圖綜合.與Taylor綜合方法相比，綜合相同的方向圖，速度有了提高.在文獻(xiàn)[4]中，采用GA算法對稀疏平面陣做了綜合，約束條件是陣元間距大于半波長.采用0°和90°方位的PSLL和作為適應(yīng)度目標(biāo)函數(shù).這里的陣元總數(shù)目為108，孔徑約束規(guī)格在9.5λ×4.5λ.

在文獻(xiàn)[5]中，引入PSO方法到稀布陣的綜合，考慮的是奇數(shù)陣元對稱線陣的陣元間距優(yōu)化，約束條件是獲得盡可能低的最大PSLL.在文中，將PSO算法的交叉、變異操作環(huán)節(jié)去除，改進(jìn)后的PSO算法更快，取得了比以前更好的優(yōu)化結(jié)果.不足之處在于優(yōu)化的陣列數(shù)目較小.

在協(xié)同搜索算法(harmony search algorithm)基礎(chǔ)上改進(jìn)的DE算法綜合線性非周期陣列見于文獻(xiàn)[6].通過在經(jīng)典的DE算法中加入?yún)?shù)選擇策略，結(jié)合了DE算法較好的區(qū)域搜索能力和協(xié)同搜索算法的好的搜索多樣性.該復(fù)合算法有較快的收斂速度，計算負(fù)荷也較小.

鯨算法WOA(Whale Optimization Algorithm)是一種最近提出的新的隨機仿生優(yōu)化算法[7]，在對單目標(biāo)的優(yōu)化上有較為明顯的效率優(yōu)勢.并且，優(yōu)化結(jié)果較好，也有較高尋優(yōu)命中率.本文就最大矩形平面陣的WOA綜合方法做了研究.

1 問題描述

1.1 陣列模型

現(xiàn)在我們考慮一個陣元數(shù)目為4N的可分離的矩形平面陣，陣列的陣元排列限定在2L×2H(L是矩形長，H是矩形寬)范圍.陣列的陣元表示采納球坐標(biāo)系(見圖1).每個陣元在坐標(biāo)系中的位置可以表示為(rn,θn,φn),陣元在XOY坐標(biāo)平面以原點對稱分布，那么其遠(yuǎn)場輻射方向圖為

圖1 天線陣的坐標(biāo)系統(tǒng)

(1)

在此，wn為激勵幅度，相應(yīng)的激勵相位φn，β=2π/λ為波數(shù)，λ是波長.若令

cosαn=sinθsinθncos(φ-φn)+cosθcosθn,θ∈[0,π],φ∈[0,2π].

(2)

假設(shè)陣元采用均勻等幅激勵，wn=1,φn=0.根據(jù)給定的陣列幾何形狀，則表達(dá)式(1)改寫為

(3)

根據(jù)(2)，當(dāng)φ=0，(3)的具體形式可以表示為

(4)

相似的，在φ=π/2，(3)的具體形式可以表示為

(5)

本文優(yōu)化的目標(biāo)是取得在PSLL最低時的陣列陣元的排布參數(shù)，取E(θ,0)與E(θ,π/2)的和最大值作為適應(yīng)度函數(shù)，那么，這里的約束性優(yōu)化問題就可以定義為

(6)

1.2 WOA算法

WOA算法是一種最近新提出的仿生優(yōu)化算法，其靈感來源于海洋中的座頭鯨的捕獵行為.該算法是基于隨機搜索來得到最優(yōu)解的，主體結(jié)構(gòu)包含三個組成部份：圍取目標(biāo)、螺旋形泡泡網(wǎng)反饋策略、搜索目標(biāo).算法主要流程見圖2.

圖2 WOA算法的流程圖

1.2.1 圍取目標(biāo)

初始化種群.若d為一個矢量，其表示為d={d1,d2,…,dn}.又令x=d，則

x=(x1,x2,…,xn)T,?xn∈R,
y=(θ1,θ2,…,θr)T,?θn∈Θs.

(7)

Θ2表示天線方向圖的旁瓣區(qū)域.在進(jìn)行優(yōu)化時，若初始種群規(guī)模設(shè)定為m，優(yōu)化變量個數(shù)為n，那么種群的維度就應(yīng)為m×n，具體可以表示為

(8)

現(xiàn)在我們可以令

若x(t)是當(dāng)前的優(yōu)化變量，x*(t)為本次迭代時的最優(yōu)解，其主要行為由以下表達(dá)來概括.

(9)

1.2.2 反饋策略

內(nèi)含兩個步驟:環(huán)縮小策略(circle shrinking mechinism，CSM)，螺旋上升策略(spiral upingmechinism，SUM).

為了模仿隨機性P取隨機值.當(dāng)p<0.5,選擇CSM來搜索可行解；否則，選擇SUM來搜索可行解.

(10)

1.2.3 搜索目標(biāo)

在自然界中座頭鯨的搜索隨機性主要取決于彼此間的具體位置.為此，這里利用A的隨機值來實現(xiàn)遠(yuǎn)離參考鯨當(dāng)前位置.其數(shù)學(xué)模型如下：

(11)

WOA算法主要的控制參數(shù)是A、C，控制參數(shù)相對較少，其優(yōu)點是計算速度快效率高，易于實現(xiàn).

2 仿真結(jié)果及討論

在此我們考慮一個對稱的矩形平面陣，陣元個數(shù)為108，孔徑約束規(guī)格為2L×2H=9.5λ×4.5λ.在， 取樣100，分辨率為0.9°.優(yōu)化變量的上下界分別設(shè)定為4.75、0.25，迭代最大次數(shù)選擇50次.

優(yōu)化得到的最優(yōu)解對應(yīng)的遠(yuǎn)場輻射方向圖如圖3所示，小圖為φ= 0°和90°的各自對應(yīng)的輻射方向圖，主圖為兩者副瓣區(qū)域電平值和的輻射方向圖.在文獻(xiàn)[4]中，本例的GA算法優(yōu)化得到的最優(yōu)適應(yīng)度值為-45.456 dB(φ= 0°平面的PSLL為-29. 597 dB,φ= 90°平面的PSLL為-15.859 dB).本文的WOA算法得到的單個方向圖中最大PSLL為-48.65 dB(φ=0°平面的PSLL為-20.29 dB,φ=90°平面的PSLL為-28.36 dB).與文獻(xiàn)[4]相比，在最優(yōu)適應(yīng)度值上降低了3 dB，φ=0°平面和φ=90°平面的PSLL都分布在-20 dB以上.圖4為優(yōu)化得到的陣元位置分布，可以看出，陣元隨機的分布在第一象限的平面.

圖3 最終優(yōu)化結(jié)果對應(yīng)的方向圖

圖4 陣元位置分布

為證實WOA方法的穩(wěn)健性，列出了最優(yōu)結(jié)果迭代過程的收斂曲線(圖5)，以及最后3次單獨運行的收斂曲線與平均收斂曲線的對比圖(圖6)，可以看出，WOA算法是有效且穩(wěn)健的.

3 結(jié)語

WOA算法作為一種新提出的算法，目前為止在陣列綜合中還沒有應(yīng)用.本文就WOA算法引入到最大稀布矩形平面陣的陣元位置的綜合，由于矩形平面陣在等幅激勵的情況下即是可分離的，可以等效為兩個維度上的線陣綜合，與WOA算法結(jié)合，不考慮互耦效應(yīng)和陣元間距約束的情況下，取得了較GA算法更優(yōu)的結(jié)果.WOA算法目前僅是一種只能優(yōu)化單目標(biāo)的算法框架，如何應(yīng)用于多目標(biāo)問題將是后續(xù)的可探討的問題.

圖5 最終得到的優(yōu)化結(jié)果的收斂曲線

圖6 單次與平均收斂曲線

參考文獻(xiàn)：

[1] 呂善偉.天線陣綜合[M].北京:北京航空學(xué)院出版社,1988.

[2] 袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法[M].北京:科學(xué)出版社, 1997.

[3] 邊 莉，車向前，楊國輝，等.基于遺傳算法的低副瓣陣列天線綜合[J].計算機應(yīng)用,2008, 28(7): 1 656-1 658.

[4] 陳客松,何子述.平面稀布天線陣列的優(yōu)化算法[J].電波科學(xué)學(xué)報, 2009, 24(2): 193-198.

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