張 銳

(駐馬店職業(yè)技術(shù)學院信息工程系,河南 駐馬店 463000)

無線傳感網(wǎng)絡WSNs(Wireless Sensor Networks)被廣泛應用于收集環(huán)境數(shù)據(jù),如溫度、濕度和氣壓等。這些數(shù)據(jù)與位置信息息息相關(guān),無準確位置的數(shù)據(jù)沒有實用價值。據(jù)此,位置信息成為WSNs多項應用的關(guān)鍵。因此,定位成為WSNs應用的基本技術(shù),也成為WSNs研究熱點[1]。

作為新的信號抽樣理論,壓縮感知CS(Compressive Sensing)[2-3]能夠利用少數(shù)的抽樣值恢復稀疏信號。由于目標數(shù)有限(一般較少),可利用CS算法,并結(jié)合少的抽樣值進行目標位置估計。文獻[4-8]就提出基于CS的定位算法。這些算法將連續(xù)物理空間劃分離散網(wǎng)格。在估計目標位置時,它們先假定所有目標均準確地落在預定的網(wǎng)格上,再將測量的信號值代表網(wǎng)格點,最后利用表示系數(shù)對這些目標位置進行編碼。因此,定位過程可看成重構(gòu)稀疏表示系數(shù)的過程。

然而,假設所有目標均準確地落在預定的網(wǎng)格上,這種假設不切實際。換而言之,物理空間是連續(xù)的,而抽樣后的網(wǎng)格是離散的。此外,在WSNs中是無法提前預測目標數(shù)量和它們的位置。

此外,這些基于CS的目標定位算法的復雜度是無法預計的。由于網(wǎng)格極度密集,算法的復雜度非常大。因此,這些算法一定存在假設與實際情況間的不匹配問題?，F(xiàn)存的研究表明,這些不匹配極大地降低CS算法的性能[9-11]。

與傳統(tǒng)的基于CS的目標定位算法不同,本文提出基于變分貝葉斯期望最大化的目標定位VBEM-TL(Variational Bayesian Expectation Maximization-based Target Localization)算法。VBEM-TL算法先利用一階泰勒擴展系數(shù)建立稀疏近似模型,然后引用變分貝葉斯期望最大化(Variational Bayesian Expectation Maximization,VBEM)算法重構(gòu)稀疏矢量,最后估計目標位置。

實驗數(shù)據(jù)表明,提出的VBEM-TL算法能夠有效地降低定位誤差。

1 網(wǎng)絡模型與問題描述

1.1 網(wǎng)絡模型

考慮在二維區(qū)域內(nèi)進行多目標定位問題。每個目標攜帶了無線發(fā)射設備,進而它能周期地廣播信號。而二維區(qū)域內(nèi)一些傳感節(jié)點測量來自目標信號的接收信號強度RSS(Received Signal Strength)。實際上,傳感節(jié)點所接收的信號是來自多個目標信號的疊加。據(jù)于此事實,將每個RSS值看成多個不同目標信號之和。

因此,第m個傳感節(jié)點所接收的RSS值可表示為:

(1)

式中:αk、εk分別表示發(fā)射功率和加性噪聲。而f(tm,θk)表示能量衰減函數(shù),其由環(huán)境決定。

對式(1)進行矢量-矩陣表述,如式(2)所示:

z=D(Θ)·α+ε

(2)

式中:z=[z1,z2,…,zM]T,α=[α1,α2,…,αK]T。ε=[ε1,ε2,…,εM]T,D(Θ)=[d(θ1),…,d(θK)]。而d(θk)=[f(t1,θk),…f(tM,θk)]T。

1.2 問題描述

(3)

式中:w=[ω1,…,ωN]T表示表示系數(shù)。

由于目標數(shù)遠遠小于網(wǎng)格點數(shù),這個表示系數(shù)w是稀疏矢量。如果第k個目標落在于第i個網(wǎng)格點,則ωi=ak,否則ωi=0。因此,定位問題就可轉(zhuǎn)化為稀疏重構(gòu)問題。

2 VBEM-TL算法

整個VBEM-TL定位算法由3個部分過程,首先依據(jù)一階泰勒級數(shù)(Taylor)展開算法建立稀疏模型,然后再依據(jù)VBEM算法重構(gòu)稀疏矢量,最后依據(jù)重構(gòu)的稀疏矢量估計目標位置,如圖1所示。

圖1 VBEM-TL定位算法的流程框圖

2.1 稀疏近似模型

(4)

因此,D(Θ)和測量矢量z的近似值,可表示為:

(5)

(6)

式(6)所示的近似信號模型,可表述為:

(7)

令v=Λw∈R2N×1,式(7)的稀疏近似模型可以寫成為:

(8)

接下來,利用變分貝葉斯期望最大化VBEM(Variational Bayesian Expectation Maximization)[12]算法重構(gòu)矢量w和v。將w和v作為兩個統(tǒng)計變量,再利用VBEM算法將w和v更新成為latent 變量。

2.2 表示系數(shù)的更新

利用VBEM算法重構(gòu)矢量w和v的模型如圖2所示。

圖2 VBEM的模型

依據(jù)這個模型,VBEM-TL算法引用矢量w的先驗知識去推導稀疏矢量。令αi表示矢量w的第i個元素的先驗逆變量。因此,矢量w的先驗分布可表示為:

(9)

式中:α=[α1,α2,…,αN]T,A=diag(α)。

由于Gamma分布是高斯分布的共軛,可利用Gamma分布表述矢量α。因此,矢量α的先驗分布定義為:

(10)

式中:Gamma(·|a,b)表示關(guān)于參數(shù)a、b的Gamma分布。

(11)

依據(jù)式(11),可得變量λn的取值范圍:

(12)

(13)

式中:B=4Δ-2diag(α?12×1)。

類似地,假定測量噪聲是獨立、高斯分布,且均值為零,方差為β-1,如式(14)所示:

(14)

并且:p(β;c,d)=Gamma(β|c,d)。

依據(jù)式(8)和式(14),可得關(guān)系函數(shù):

(15)

利用VBEM算法,可分別得到矢量w、ν、α和β的后驗分布,分別如下所示:

lnq(w) =〈lnp(z,w,v,α,β)〉q(v)q(α)q(β)+C1

=〈lnp(z|w,v,β)p(w|a)〉q(v)q(α)q(β)+C1

(16)

lnq(v) =〈lnp(z,w,v,α,β)〉q(w)q(α)q(β)+C2

=〈lnp(z|w,v,β)p(v|a)〉q(w)q(α)q(β)+C2

(17)

lnq(α) =〈lnp(z,w,v,α,β)〉q(w)q(α)q(β)+C3

=〈lnp(w|α)p(v|α)p(α))〉q(w)q(v)+C3

(18)

lnq(β) =〈lnp(z,w,v,α,β)〉q(w)q(α)q(β)+C4

=〈lnp(z|w),v,β)p(β)〉q(w)q(v)+C4

(19)

式中:C1、C2、C3和C4分別表示常數(shù)。

因此,可得:

q(w)=N(w|μw,∑w)

(20)

q(v)=N(v|μv,∑v)

(21)

(22)

(23)

式中:

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

2.3 重構(gòu)稀疏過程

利用上述推導結(jié)果,可以對表示系數(shù)sw和v進行更新,算法1的偽代碼如圖3所示。

圖3 重構(gòu)稀疏的偽代碼

然后,計算第k+1次迭代值rk+1:

(32)

再計算第k次與第k+1次迭代值的差Δr:

Δr←|rk+1-rk|

(33)

通過不斷地迭代,直到誤差Δr滿足:

Δr=|rk-rk-1|≤η

(34)

2.4 定位算法

(35)

(36)

式中:δ為較小的稀疏門限。而Ik表示最靠近第k個目標的網(wǎng)格點的估計值的下標。

3 性能仿真

3.1 仿真環(huán)境

考慮面積為90 m×90 m的二維區(qū)域,且K個目標和M個傳感節(jié)點隨機分布于此二維區(qū)域。將此區(qū)域劃分N個均勻的網(wǎng)格。同時,設定η=10-6、δ=0.8,而a1=a2…=aK=100 mW。

為了更好地分析VBEM-TL的性能,選擇BP(Basic Pursuit)和正交匹配搜索OMP(Orthogonal Matching Pursuit)和貝葉斯壓縮感知BCS(Bayesian Compressive Sensing)進行同步仿真,并進行性能比較。

3.2 數(shù)值分析

首先分析在無噪聲,且K=4,M=25和N=100環(huán)境下,VBEM-TL算法的定位準確性。

從圖4可知,BP算法的定位誤差最大,而VBEM-TL算法的定位誤差最低,它所估計的目標位置貼近其真實位置。而其他算法所估計的目標位置與真實位置還存在距離。這些數(shù)據(jù)表明,提出的VBEM-TL算法能夠準確地估計目標位置。

圖4 4個目標定位示意圖

圖5 信噪比對定位性能的影響

接下來,分析在噪聲環(huán)境下,VBEM-TL算法的定位性能。實驗環(huán)境為:K=3,M=25和N=100,信噪比SNR從0至40 dB變化,估計的目標數(shù)和平均定位誤差隨信噪比SNR的變化曲線如圖5所示。

圖5(a)表示了信噪比SNR從0至40 dB變化時,所估計的目標數(shù)的平均值。而圖5(b)表示了信噪比SNR從0至40 dB變化時,所估計的目標數(shù)的平均定位誤差。從圖5(a)可知,SNR的增加,有利于定位性能的提高。而圖5(b)數(shù)據(jù)表明,提出的VBEM-TL算法的平均定位誤差最低,并且隨著SNR的提高,VBEM-TL算法的性能越好。

最后,分析傳感節(jié)點數(shù)對定位性能的影響。實驗環(huán)境為:K=5,SNR=25 dB和N=256,M從50至64變化。估計的目標數(shù)和平均定位誤差隨隨節(jié)點數(shù)M的變化曲線如圖6所示。

圖6 傳感節(jié)點數(shù)對定位性能的影響

從圖6可知,傳感節(jié)點數(shù)M的增加有利于定位準確性的提高,原因在于稀疏重構(gòu)準確率正比于M。更為重要的時,相比BP、OMP和BCS相比,VBEM-TL算法的定位性能得到有效地提高。原因在于VBEM-TL算法能夠準確地重構(gòu)稀疏矩陣。

4 總結(jié)

本文針對無線傳感網(wǎng)絡中目標定位問題,提出基于變分貝葉斯期望最大化的目標定位VBEM-TL算法。

VBEM-TL算法先利用VBEM重構(gòu)稀疏矢量,再追蹤目標位置。實驗數(shù)據(jù)表明,提出的VBEM-TL能夠有效地估計目標位置。

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