范國良， 李愛平， 劉雪梅， 徐立云

(同濟大學(xué) 機械與能源工程學(xué)院，上海 201804)

隨著制造系統(tǒng)復(fù)雜程度的不斷加深，制造環(huán)境中大量不確定因素增加了生產(chǎn)線規(guī)劃和決策的難度[1].操作人員疲勞、設(shè)備維護不及時，零部件缺陷等會引起作業(yè)時間波動，并影響生產(chǎn)線平衡方案執(zhí)行的有效性[2].因此，必須對系統(tǒng)運行過程中的不確定因素進行定量化評價，對生產(chǎn)線平衡方案進行多目標優(yōu)化，提高制造系統(tǒng)應(yīng)對內(nèi)外部環(huán)境動態(tài)變化的魯棒性.

生產(chǎn)線平衡是一種實現(xiàn)勞動生產(chǎn)率、設(shè)備利用率和滿足市場需求三者間平衡的過程[3].在實際生產(chǎn)過程中，以作業(yè)時間確定為假設(shè)得到的平衡方案會受諸多不確定因素的干擾，作業(yè)時間出現(xiàn)波動，導(dǎo)致制造系統(tǒng)難以維持穩(wěn)定有序的生產(chǎn)過程.國內(nèi)外學(xué)者針對此問題進行了一系列研究.目前，主要的研究方法有概率論方法(正態(tài)分布為代表)、復(fù)雜性方法(信息熵為代表)、基于仿真的方法等.Saif等[2]，Dong等[4]，?zcan等[5]，Nazarian等[6]都針對作業(yè)時間波動的隨機型裝配線，假設(shè)實際作業(yè)時間服從正態(tài)分布，以分布函數(shù)的相關(guān)參數(shù)描述作業(yè)時間受不確定因素的影響程度，得到的平衡方案具有較高的魯棒性.另外，諸多學(xué)者在概率論方法的基礎(chǔ)上，將生產(chǎn)成本、物流穩(wěn)定性和生產(chǎn)效率等過程指標作為優(yōu)化目標或約束，以降低不確定因素對系統(tǒng)運行過程的影響.Cakir等考慮作業(yè)時間波動因素，建立了以最小平滑指數(shù)和最小化設(shè)計成本為目標的優(yōu)化模型[7].劉儼后等提出描述工位在給定完工率下最小投產(chǎn)間隔的完工率節(jié)拍的概念，并建立裝配線平衡模型[8].唐秋華等為減少因操作工時波動引起的生產(chǎn)效率損失或生產(chǎn)秩序中斷，提出基于物流運輸特性的U型裝配優(yōu)先關(guān)系約束條件，以保證入口和出口線上的物流順行[9].復(fù)雜性理論作為測度不確定性的有效方法，被廣泛應(yīng)用于衡量制造系統(tǒng)設(shè)計、規(guī)劃和運行過程中的多種不確定因素[10].Efthymiou等應(yīng)用Lempel-Ziv方法度量制造過程中的不可預(yù)測性因素，通過分析產(chǎn)出量的波動測度制造系統(tǒng)的復(fù)雜度[11].何非、饒運清等提出了裝配關(guān)系復(fù)雜性的度量方法，并應(yīng)用到裝配線動態(tài)平衡中，以最小裝配關(guān)系復(fù)雜性差異度為優(yōu)化目標，降低了各工作站的錯誤發(fā)生率和總完工時間[12].

綜上所述，現(xiàn)有針對作業(yè)時間不確定的生產(chǎn)線平衡研究在一定程度上降低了作業(yè)時間不確定對平衡方案的影響.但是，仍存在以下問題需要深入研究：①將作業(yè)時間波動假設(shè)為服從正態(tài)分布具有一定的局限.不同類型工位服從的分布不同，所以，這一類方法的通用性仍需完善.②制造系統(tǒng)的復(fù)雜性研究缺乏作業(yè)時間不確定性的度量方法.從操作和工位狀態(tài)角度定量評價不確定因素對作業(yè)時間波動的影響程度，才能建立生產(chǎn)工藝與平衡方案有效性之間的聯(lián)系，進而指導(dǎo)隨機型生產(chǎn)線的優(yōu)化.

本文基于信息熵提出作業(yè)元素、工作站復(fù)雜性測度方法，基于Lempel-Ziv算法測度整線復(fù)雜度.進而建立以平衡率最高、復(fù)雜度均衡指數(shù)最小和整線復(fù)雜度最小的平衡優(yōu)化模型.平衡生產(chǎn)線節(jié)拍保證效率的前提下，均衡各工作站復(fù)雜度來控制作業(yè)時間波動在系統(tǒng)內(nèi)部的影響范圍.同時，通過降低系統(tǒng)整線復(fù)雜度，減少不確定因素對生產(chǎn)線生產(chǎn)流程的影響，最終達到優(yōu)化系統(tǒng)運行的目的.

1 考慮復(fù)雜性的生產(chǎn)線平衡模型

1.1 作業(yè)時間波動的不確定因素分析

生產(chǎn)線平衡是指對給定的傳輸速度和作業(yè)總量，如何盡可能均衡地將裝配作業(yè)分配給沿線各工作站，而又不違反各作業(yè)元素執(zhí)行先后順序的限制，并保證各工作站的總作業(yè)時間不超過規(guī)定的周期[13].即以各工作站的工作時間為出發(fā)點進行研究，目的是最大化生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率[14]，所以平衡率高是生產(chǎn)線平衡優(yōu)化首先要保證的前提.

然而，實際的生產(chǎn)環(huán)境中，生產(chǎn)操作會受產(chǎn)品缺陷、設(shè)備故障和人員疲勞等不確定因素的影響，繼而出現(xiàn)操作失誤及作業(yè)時間波動等問題.如果同一工作站出現(xiàn)失誤的幾率偏大，將引起后續(xù)工作站操作延遲的連鎖反應(yīng).復(fù)雜度高的工作站作業(yè)時間波動程度更高，若干復(fù)雜的作業(yè)元素分配到同一工作站時，盡管節(jié)拍平衡，但該工作站負荷仍然很重.那么，需要從操作失誤率出發(fā)，量化作業(yè)元素復(fù)雜度和工作站復(fù)雜度，進一步以工作站復(fù)雜度均衡為指標建立優(yōu)化目標，以避免因復(fù)雜度累積出現(xiàn)瓶頸工作站.

另外，工作站狀態(tài)的波動將影響生產(chǎn)過程的穩(wěn)定性，直接關(guān)系到產(chǎn)品生產(chǎn)過程中的偏差累積.需要從系統(tǒng)角度定量評價工作站狀態(tài)差異對整線運行狀態(tài)的影響程度，進一步優(yōu)化和控制系統(tǒng)整線復(fù)雜度，才能夠降低工作站常見突發(fā)事件和生產(chǎn)擾動對正常生產(chǎn)流程的影響.

因此，生產(chǎn)線平衡優(yōu)化模型需同時考慮以下3個優(yōu)化目標：①平衡率最高，保證生產(chǎn)效率；②復(fù)雜度均衡指數(shù)最小，降低各工作站操作的復(fù)雜度差異；③整線復(fù)雜度最小，控制工作站狀態(tài)波動對整線運行狀態(tài)的影響，確保生產(chǎn)線整體生產(chǎn)過程的穩(wěn)定有序.綜上分析，可按圖1所示流程建立生產(chǎn)線平衡優(yōu)化模型，求解平衡率最高，各工作站復(fù)雜度最均衡和整線復(fù)雜度最低的作業(yè)元素最優(yōu)劃分方案.

圖1 復(fù)雜性測度及生產(chǎn)線平衡流程圖Fig.1 Complexity measurement and balancingflow chart of production line

1.2 基于信息熵的過程復(fù)雜性測度

確定系統(tǒng)復(fù)雜程度的通用測度是難以實現(xiàn)的，不同復(fù)雜性特征影響系統(tǒng)復(fù)雜度的機制不同，所以對于確定的問題要給出具有針對性的測度方法.目前，復(fù)雜性測度主要利用信息論及熵度量等方法對制造系統(tǒng)中的復(fù)雜性特征進行分解和定量化分析.信息論認為信息的概念與概率是緊密聯(lián)系的，概率小的事件提供的信息比概率較大事件發(fā)生時提供的信息價值要大.將這一概念定量化也可以表述為信息消除的不確定性越大，所包含的信息量也越大[15].在生產(chǎn)過程中，操作失誤等小概率的不確定因素包含的信息量比正常生產(chǎn)過程包含的信息量大，將增大工作站復(fù)雜度和整線復(fù)雜度.基于此可以通過測得各作業(yè)元素的狀態(tài)及失誤率，定義作業(yè)元素復(fù)雜度，并進一步定義工作站復(fù)雜度，來定量化評價各工作站的復(fù)雜程度，為生產(chǎn)線平衡實現(xiàn)各工位復(fù)雜度均衡化奠定基礎(chǔ).

測得各作業(yè)元素的失誤率P(xi)，根據(jù)信息熵定義作業(yè)元素復(fù)雜度hi為

hi=-P(xi)logrP(xi)

(1)

工作站復(fù)雜度的表達式為

(2)

式中：i為作業(yè)元素編號；hi為第i個作業(yè)元素的復(fù)雜度；P(xi)為第i個作業(yè)元素的失誤率；xi為第i個作業(yè)元素；r為復(fù)雜度單位，當r=2時，復(fù)雜度的單位為比特(bit)；Hm為第m個工作站的復(fù)雜度，m為工作站編號；km為第m個工作站包含的作業(yè)元素.

從復(fù)雜性測度的角度，以操作失誤轉(zhuǎn)化的信息量來描述系統(tǒng)復(fù)雜度可直接反映系統(tǒng)受多種不確定因素影響的程度.適用于不同類型操作，具有一定的通用性.以此對過程復(fù)雜度和整線復(fù)雜度進行研究，并應(yīng)用于生產(chǎn)線平衡中，能夠提高生產(chǎn)系統(tǒng)的適應(yīng)能力和抗干擾能力.

1.3 基于Lempel-Ziv算法的整線復(fù)雜性測度

產(chǎn)品經(jīng)過一系列的工作站進行生產(chǎn)操作最終成為成品，每個工作站的狀態(tài)直接影響產(chǎn)品的生產(chǎn)質(zhì)量，而產(chǎn)品依次流經(jīng)各工作站可以等同為一段時間序列.待作業(yè)元素分配至各工作站后，由作業(yè)元素的失誤率核算各工作站的可用度.通過各工作站的可用度計算得到的整線復(fù)雜度可以表示產(chǎn)品自上線到下線過程保持完全正確狀態(tài)的復(fù)雜程度，也能夠反映生產(chǎn)線整線的穩(wěn)健狀態(tài)和可靠程度，所以應(yīng)用針對時間序列的Lempel-Ziv算法測度整線復(fù)雜度.

1.3.1工作站可用度計算

工作站可用度表示任一時刻工作站處于正常工作狀態(tài)的概率，由工作站可用度測度得到的整線復(fù)雜度可以評價整線狀態(tài).由作業(yè)元素失誤率計算各工作站可用度為

(3)

式中：Pm為第m工作站的可用度.

1.3.2粗?；?/p>

設(shè)工作站可用度為序列P={P1,P2,…,PM}，M為工作站總數(shù)，粗?；褪菍⑵渲貥?gòu)為[0,1]序列S={s1,s2,…,sM}，以便計算相應(yīng)復(fù)雜度.

首先，求得序列P的平均值為

(4)

1.3.3整線Lempel-Ziv復(fù)雜度求解

計算序列S={s1,s2,…,sM}的復(fù)雜度，具體流程如圖2所示.

(1) 初始化c(M)=1構(gòu)造S、Q、SQ、SQP序列，S和Q代表兩個子序列，SQ為Q排在S后由S和Q組成的序列，SQP為SQ去掉最后一個元素后的序列；

(2) 設(shè)S=s1,s2,…,sl，Q=sl+1，SQP=s1,s2,…,sl，判斷Q是否為SQP的子串，若是，則S不變；

(3) 更新Q=sl+1,sl+2，SQP=s1,s2,…,sl+1，若否，則S=SQ，Q=sl+3，且c(M)=c(M)+1；

(4) 按步驟(2)和步驟(3)循環(huán)至S的最后一位為止，輸出c(M)整線Lempel-Ziv復(fù)雜度.

圖2 Lempel-Ziv復(fù)雜度計算流程Fig.2 The flow chart of Lempel-Ziv complexitycalculation

1.3.4整線復(fù)雜度歸一化

為使整線復(fù)雜度具有可比性，對復(fù)雜度進行歸一化處理.Lempel等證明了對屬于[0,1]的序列幾乎所有的c(M)都會趨向于一定值[16].序列S的長度為M，序列中不同元素的種類為α，則

(5)

式中：M→∞，εM→0，c(M)取上限.

(6)

計算歸一化復(fù)雜度有

(7)

式中：cLZ(M)為反映生產(chǎn)線整線復(fù)雜程度的歸一化度量.絕對簡單系統(tǒng)的復(fù)雜度應(yīng)該為0，隨機系統(tǒng)的復(fù)雜度最大，定義為1.

信息熵是與狀態(tài)和概率緊密聯(lián)系的，適用于描述作業(yè)時間波動，又不局限于特定的分布，對不同類型工作站有一定通用性.Lempel-Ziv算法則側(cè)重于反映狀態(tài)之間的變化速率，即各工作站狀態(tài)的無序程度，可以反饋生產(chǎn)線在當前性能狀態(tài)下的穩(wěn)定保持能力.兩者是相得益彰的復(fù)雜性測度方法，能更準確刻畫不確定因素對生產(chǎn)線性能的影響程度.

1.4 生產(chǎn)線平衡模型的建立

設(shè)一生產(chǎn)任務(wù)由n個作業(yè)元素組成，待分配到M個工作站，作業(yè)元素之間遵循優(yōu)先關(guān)系約束.為提高生產(chǎn)效率，均衡各工作站復(fù)雜度和降低整線復(fù)雜度，以平衡率最大、復(fù)雜度均衡指數(shù)最小和整線復(fù)雜度最小為目標建立平衡優(yōu)化模型，即

(8)

(9)

Minw(x)=MincLZ(M)

(10)

約束條件為

式中：f(x)為平衡率；g(x)為工作站復(fù)雜度均衡指數(shù)；cLZ(M)為整線復(fù)雜度；ti為第i個作業(yè)元素的作業(yè)時間；n為作業(yè)元素總個數(shù)；M為工作站總數(shù)；Tm為第m個工作站分配的作業(yè)元素作業(yè)時間之和；C為生產(chǎn)線預(yù)設(shè)工作節(jié)拍；j、l、y、z為作業(yè)元素的編號，xj、xl、xy、xz為第j、l、y和z個作業(yè)元素；E為作業(yè)元素集；N為優(yōu)先矩陣.

2 算法設(shè)計

為求解優(yōu)化模型，采用遺傳算法并對優(yōu)化策略進行改進，圖3所示為遺傳算法求解流程圖.

圖3 改進的遺傳算法流程圖Fig.3 The flow chart of improved genetic algorithm

具體優(yōu)化策略如下：

(1) 將優(yōu)先關(guān)系轉(zhuǎn)化為優(yōu)先矩陣，并定義初始參數(shù)，如初始種群規(guī)模、交叉概率、變異概率等，以實數(shù)編碼方式生成染色體.

(2) 采用考慮作業(yè)元素優(yōu)先關(guān)系和約束條件的種群初始化策略.生成優(yōu)先級別最高的作業(yè)元素集，并隨機排序放入染色體，刪掉已分配作業(yè)元素，再次選取待分配元素中優(yōu)先級別最高的作業(yè)元素集，隨機排序放入染色體后部，如此反復(fù)直至所有作業(yè)元素分配完，生成一條染色體，循環(huán)生成一定數(shù)量的初始種群.

(3) 分配作業(yè)元素至工作站.首先從初始種群中選取染色體，并按基因順序依次分配作業(yè)元素至工作站，當工作站滿，則開啟新工作站，繼續(xù)按基因順序分配染色體中未分配的作業(yè)元素至新工作站，如此循環(huán)依次將所有作業(yè)元素分配完畢，最終輸出作業(yè)元素劃分.

(4) 采用預(yù)先判別約束條件的交叉變異策略.交叉操作首先選取父染色體和母染色體，隨機生成小于n的隨機數(shù)d，則從第d位開始，父染色體的后半部分基因按母染色體中的基因順序排列，母染色體的后半部分基因按父染色體中的基因順序排列.變異操作首先選取父代染色體，隨機生成小于n的隨機數(shù)e，從第e位開始，后半部分采用初始化種群方法生成.交叉操作后子代的順序繼承了父代和母代順序，所以仍然滿足約束條件.變異操作按初始化方法生成，子代也滿足約束條件.

(5) 建立適應(yīng)度函數(shù)，編制計算機程序進行迭代求解多目標優(yōu)化模型，最終得到滿足適應(yīng)度函數(shù)收斂精度的解，即平衡率最大，復(fù)雜度均衡指數(shù)最小和整線復(fù)雜度最小的作業(yè)元素最優(yōu)劃分.

適應(yīng)度函數(shù)的表達式為

(11)

3 實例驗證

某車企的發(fā)動機裝配線包含109項作業(yè)元素、相應(yīng)作業(yè)時間及失誤率如表1所示.目標是根據(jù)生產(chǎn)計劃將整線節(jié)拍控制在22 s以內(nèi)，尋求最大平衡率、均衡各工作站的復(fù)雜度并降低整線復(fù)雜度.

表1 作業(yè)元素的作業(yè)時間及失誤率Tab.1 Operating time and failure rate of operations

作業(yè)元素遵循的優(yōu)先關(guān)系約束由優(yōu)先關(guān)系圖表示，如圖4所示.數(shù)字表示作業(yè)元素序號，箭頭連接兩個作業(yè)元素，箭頭所指作業(yè)元素為緊后作業(yè)元素，箭頭之前的作業(yè)元素為緊前作業(yè)元素.根據(jù)優(yōu)先關(guān)系圖生成優(yōu)先矩陣，可以讀入到可執(zhí)行程序進行運算.

3.1 求解作業(yè)元素最優(yōu)劃分

在MATLAB2013a中編制求解程序，以適應(yīng)度值收斂至0.000 1的精度為終止條件，輸出作業(yè)元素最優(yōu)劃分及各工作站復(fù)雜度，輸出最優(yōu)解，見表2.整線平衡率為0.931 5，復(fù)雜度均衡指數(shù)為0.137 1.

歸一化過程序列長度應(yīng)為無限大，實際采集的序列不可能為無限大.所以，有限序列的復(fù)雜度會被高估，甚至出現(xiàn)大于1的情況[17].本文采用的歸一化過程是對兩個等長序列進行比較，兩個序列的評價尺度是相同的，所以計算結(jié)果不作為絕對復(fù)雜度來評價，而作為相對復(fù)雜度來比較序列復(fù)雜度的大小是正確可靠的.優(yōu)化后整線復(fù)雜度為1.25 bit.

根據(jù)求解結(jié)果，各工作站的作業(yè)時間具備較均衡的分布，整線節(jié)拍控制在22 s以內(nèi).各工作站復(fù)雜度分布較均勻，總體在保證整線具有最高平衡率的情況下，各工作站的復(fù)雜度得到了平衡.能夠避免由于工作站復(fù)雜程度不均，導(dǎo)致某些工作站失誤率較高，頻繁出現(xiàn)產(chǎn)品不合格下線的情況，最終提高了裝配線的魯棒性和穩(wěn)定性，達到維持裝配線穩(wěn)定有序生產(chǎn)，有效應(yīng)對裝配過程中的干擾因素和突發(fā)狀況的目的.

圖4 優(yōu)先關(guān)系Fig.4 Precedence relations表2 優(yōu)化后作業(yè)元素劃分方案Tab.2 Allocation results after optimization

m包含作業(yè)元素t(s)Hm11-2-3-4-5-6-7-819.70.17952919.40.1532310-11-12-13-1422.00.1782415-16-17-18-19-20-21-2221.30.1738523-24-25-26-27-28-29-3019.40.1659631-32-33-34-35-36-37-38-39-40-41-4221.00.1894743-44-45-46-47-48-49-50-5221.10.2036851-53-54-55-56-57-5817.80.1680959-60-61-62-6421.40.19971063-65-66-6719.60.15461168-69-70-71-72-73-7421.90.21011275-76-77-78-79-80-81-82-83-84-86-8719.30.18301385-88-89-90-91-9220.50.19751493-94-95-96-9721.30.18021598-99-100-101-102-103-104-10521.60.180916106-107-108-10919.10.1621

3.2 生產(chǎn)線平衡方案的對比

在不考慮復(fù)雜度的情況下，以平衡率最高為目標進行平衡，得到的作業(yè)元素劃分方案如表3所示.

計算得到平衡方案的整線平衡率為0.931 5，復(fù)雜度均衡指數(shù)為0.382 8，整線復(fù)雜度為1.5 bit.

3.3 結(jié)果分析與討論

優(yōu)化前后各工作站作業(yè)時間分布對比如圖5所示.優(yōu)化前后各工作站復(fù)雜度分布對比如圖6所示.表4為優(yōu)化前后平衡方案的整線平衡率、復(fù)雜度均衡指數(shù)和整線復(fù)雜度.

生產(chǎn)線平衡通常以提高生產(chǎn)效率為目標，未考慮復(fù)雜度影響的平衡能夠?qū)崿F(xiàn)較高的平衡率.考慮復(fù)雜度進行的生產(chǎn)線平衡在尋求復(fù)雜度均衡指數(shù)最小和整線復(fù)雜度最小的同時，也能夠保證平衡率不降低，平衡率達到0.931 5.

表3 優(yōu)化前作業(yè)元素劃分Tab.3 Allocation result of operations beforeoptimization

圖5 各工作站作業(yè)時間分布對比Fig.5 Comparison of the workstations operation time

圖6 各工作站復(fù)雜度分布對比Fig.6 Comparison of the workstations complexity表4 優(yōu)化前后效果對比Tab.4 Comparison of the optimization performance

優(yōu)化效果對比整線平衡率復(fù)雜度均衡指數(shù)整線復(fù)雜度/bit優(yōu)化前0.93150.38281.50優(yōu)化后0.93150.13711.25優(yōu)化效果064.18%16.67%

優(yōu)化前未考慮復(fù)雜度的影響，雖然平衡方案具有較高平衡率，第12、13工位復(fù)雜度偏離整線平均水平較大，復(fù)雜度均衡指數(shù)為0.382 8，表明各工作站負荷嚴重不均.優(yōu)化后各工作站復(fù)雜度較均衡，復(fù)雜度均衡指數(shù)為0.137 1，優(yōu)化效果明顯，降低64.18%.

基于所提整線復(fù)雜性測度方法計算優(yōu)化前后的整線復(fù)雜度.優(yōu)化后整線復(fù)雜度為1.25 bit，比優(yōu)化前降低16.67%，明顯降低了裝配線的整線復(fù)雜度.

針對作業(yè)時間波動的隨機型裝配線，基于信息熵的過程復(fù)雜性測度和基于Lempel-Ziv算法的整線復(fù)雜性測度應(yīng)用到生產(chǎn)線平衡中，同時以平衡率最高、復(fù)雜度均衡指數(shù)最小和整線復(fù)雜度最小為目標進行的生產(chǎn)線平衡優(yōu)化，能夠輸出同時具備生產(chǎn)效率較高、各工位負荷差異最小和整線復(fù)雜度最小的平衡方案，對生產(chǎn)線生產(chǎn)決策具有很好的指導(dǎo)作用.

4 結(jié)論

(1) 針對生產(chǎn)線生產(chǎn)過程中的不確定因素，提出了過程和整線復(fù)雜性測度方法.基于信息熵理論對作業(yè)元素復(fù)雜度和工作站復(fù)雜度進行定義，基于Lempel-Ziv算法測度了生產(chǎn)線整線復(fù)雜度.以平衡率最大、復(fù)雜度均衡指數(shù)最小和整線復(fù)雜度最小為目標構(gòu)建多目標優(yōu)化模型，通過改進遺傳算法求解得到了作業(yè)元素最優(yōu)劃分方案.

(2) 實例驗證表明，與未考慮復(fù)雜性的平衡方案進行對比，本文方法得到的平衡方案保證最高平衡率的同時，均衡了各工作站復(fù)雜度，整線復(fù)雜度明顯降低.該方法從操作失誤率角度出發(fā)，不同于以概率分布形式描述作業(yè)時間波動狀況，可適用于不同類型工作站.另外，從系統(tǒng)角度降低了工作站狀態(tài)差異對正常生產(chǎn)流程的干擾.

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