許龍飛， 羅 丹， 周 渭， 白麗娜， 李智奇， 苗 苗

(西安電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710071)

一種全面響應(yīng)時(shí)間的頻率穩(wěn)定度測(cè)量

許龍飛， 羅 丹， 周 渭， 白麗娜， 李智奇， 苗 苗

(西安電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710071)

為從本質(zhì)上反映不同頻率源的頻率穩(wěn)定度隨響應(yīng)時(shí)間的變化規(guī)律，提出了一種可以測(cè)量全面響應(yīng)時(shí)間的頻率穩(wěn)定度的方法．該方法在數(shù)字環(huán)境下，應(yīng)用數(shù)字邊沿效應(yīng)抑制量化誤差，并結(jié)合數(shù)字雙混頻時(shí)差法測(cè)量信號(hào)間的相位差，通過相位差得到全面的頻率穩(wěn)定度指標(biāo)．實(shí)驗(yàn)證明，該方法在自校的條件下，100ns的頻率穩(wěn)定度能夠達(dá)到10-5，秒級(jí)穩(wěn)定度能夠達(dá)到10-12，一天的頻率穩(wěn)定度能夠達(dá)到10-16．

數(shù)字化;量化誤差;雙混頻時(shí)差;頻率穩(wěn)定度

頻率穩(wěn)定度按照響應(yīng)時(shí)間的大小分為瞬態(tài)頻率穩(wěn)定度[1]、短期頻率穩(wěn)定度和長(zhǎng)期頻率穩(wěn)定度．傳統(tǒng)的頻率穩(wěn)定度測(cè)量方法有很多，例如有通過相位差測(cè)量的相位重合法、時(shí)間間隔測(cè)量和雙混頻時(shí)差法，有通過頻率測(cè)量的差拍法、頻差倍增法以及模擬內(nèi)插法等[2-5]．這些測(cè)量方法大都基于閘門計(jì)數(shù)，只能測(cè)量毫秒及以上的頻率穩(wěn)定度，并且大都在模擬的環(huán)境通過計(jì)數(shù)閘門進(jìn)行測(cè)量，雖然能達(dá)到一定的測(cè)量精度，但是存在單點(diǎn)過零檢測(cè)對(duì)噪聲較為敏感、對(duì)線路性能要求嚴(yán)格以及線路分辨率有限等問題，并且由于計(jì)數(shù)閘門無法太短，導(dǎo)致無法得到其更短時(shí)間的頻率穩(wěn)定度指標(biāo)，而這些更短時(shí)間的頻率穩(wěn)定度的測(cè)量對(duì)于頻率源的抖動(dòng)、實(shí)時(shí)短期不穩(wěn)定度以及遠(yuǎn)端相位噪聲的描述具有重要的作用．針對(duì)這些情況，筆者提出了在數(shù)字平臺(tái)下進(jìn)行相位差測(cè)量的方法，將模擬信號(hào)通過模/數(shù)轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)變成數(shù)字信號(hào)，對(duì)模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的采樣時(shí)鐘頻率進(jìn)行控制，使得到的數(shù)字信號(hào)具有數(shù)字模糊區(qū)，應(yīng)用數(shù)字邊沿效應(yīng)抑制量化誤差，并結(jié)合雙混頻時(shí)差算法得到信號(hào)間的相位差，進(jìn)而得到頻率穩(wěn)定度．將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)之后，用的是鑒相算法，能得到信號(hào)間的相位差，彌補(bǔ)了模擬平臺(tái)下計(jì)數(shù)閘門無法太短的不足，因此能夠得到更加全面的頻率穩(wěn)定度．對(duì)頻率源全面的頻率穩(wěn)定度隨響應(yīng)時(shí)間的變化規(guī)律掌握，可以從本質(zhì)上區(qū)分頻率源的相位或者頻率控制，這也是對(duì)頻率源進(jìn)行改進(jìn)所必須要掌握的技術(shù)．

圖1 c=1時(shí)兩信號(hào)的相位變化關(guān)系

1 信號(hào)間的特殊相位關(guān)系

設(shè)兩信號(hào)的頻率分別為fA和fB，其中fB=cfA+ Δf(Δf?fA)，隨著時(shí)間的延伸，兩信號(hào)間的相位關(guān)系有特殊的變化規(guī)律．c=1 時(shí)兩信號(hào)的相位差的變化規(guī)律如圖1所示．

圖1中Δt表示兩信號(hào)之間的相位差，Δt=TA-TB；Tmin為兩信號(hào)的最小公倍數(shù)周期[6]．假設(shè)圖中初始時(shí)刻兩信號(hào)的上升沿完全重合，以后每經(jīng)過一個(gè)TA，兩者的上升沿之間的距離會(huì)相對(duì)變化Δt，即兩者之間的相位差會(huì)增加或減少Δt，經(jīng)過1個(gè)Tmin后，兩者之間的相位差累積成一個(gè)周期TB，這時(shí)兩比對(duì)信號(hào)的上升沿又會(huì)重新完全重合，并重復(fù)之前的變化規(guī)律．

若c≠1，則可將cfA看成一個(gè)整體，其變化規(guī)律可以歸結(jié)到c=1的情況．

2 數(shù)字邊沿效應(yīng)和量化誤差的抑制

將信號(hào)間的特殊相位關(guān)系運(yùn)用到模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的采樣過程中，經(jīng)過簡(jiǎn)單的處理，能抑制很大一部分量化誤差．模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的采樣分為過采樣和欠采樣，這里只詳述欠采樣．過采樣的原理和欠采樣的類似．

設(shè)模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的位數(shù)為N位，測(cè)量量程為Ucc，則模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的分辨率為Ucc/ (2N-1)．設(shè)模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的輸入信號(hào)y(t)=Ucsin(2πfAt+β(t))，采樣頻率為fB(fB=fA+ Δf，Δf?fA)．模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的采樣過程如下:

y(nTB)=Ucsin(2πfAnTB+β(nTB)) ,

(1)

其中，TB為采樣周期，TB=1/fB，n=1，2，3…．將fB=fA+Δf代入式(1)中，得到

(2)

(3)

從式(3)中可以看出，模/數(shù)轉(zhuǎn)換器輸入的是頻率為fA的信號(hào)，經(jīng)過模/數(shù)轉(zhuǎn)換器量化后，輸出的是頻率為Δf(Δf=fB-fA)的信號(hào)，這樣模/數(shù)轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于輸入為fA和fB的數(shù)字化的混頻器和低通濾波器．

結(jié)合信號(hào)間的特殊相位關(guān)系和模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的采樣過程，每經(jīng)過一個(gè)模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的輸入信號(hào)周期TA，采樣時(shí)鐘信號(hào)和模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的輸入信號(hào)的上升沿會(huì)相對(duì)拉開Δt，所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)采樣點(diǎn)之間的幅度增加Δu，Δu的大小為

Δu=y((m+1)TB)-y(mTB) ,

(4)

其中，m為大于零的正整數(shù)．式(4)化簡(jiǎn)得到

Δu=y(mTB+TA-Δt)-y(mTB)=y(mTB-Δt)-y(mTB) ．

(5)

圖2 數(shù)字模糊區(qū)

如果Δu

圖2中的橫軸表示模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的模擬輸入，縱軸表示模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的數(shù)字輸出．由圖2可知，每個(gè)數(shù)字模糊區(qū)由許多個(gè)等間隔的量化值相同的點(diǎn)組成，每個(gè)模糊區(qū)中間都存在一個(gè)與真值相差最小的點(diǎn)．同一個(gè)數(shù)字模糊區(qū)中每?jī)蓚€(gè)相鄰點(diǎn)之間的實(shí)際幅度大小相差Δu，因此，可以對(duì)模糊區(qū)中的點(diǎn)依次標(biāo)號(hào)，模糊區(qū)的邊沿標(biāo)號(hào)為1，其他依次增加，以這樣的方式補(bǔ)償來提高模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的分辨率．或者直接取邊沿(跳變的點(diǎn))，加上一個(gè)固定的補(bǔ)償，這就是數(shù)字邊沿效應(yīng)．利用數(shù)字邊沿可以取到真實(shí)值或者接近真實(shí)值的點(diǎn)，從而抑制量化誤差．這樣得到的數(shù)字信號(hào)雖然頻率與原信號(hào)不同，但是幅度與原信號(hào)一樣，僅僅是在橫坐標(biāo)上相差一個(gè)倍數(shù)．如果將所有的點(diǎn)按照量化值依次重新進(jìn)行排列，則可恢復(fù)出原信號(hào)．

在短期和長(zhǎng)期頻率穩(wěn)定度的測(cè)量中，并不需要取所有的采樣點(diǎn)進(jìn)行量化誤差的處理，而是根據(jù)信號(hào)間最小公倍數(shù)周期的大小只取信號(hào)過零點(diǎn)附近的采樣點(diǎn)進(jìn)行處理，原因是計(jì)算頻率穩(wěn)定度并不需要每個(gè)采樣點(diǎn)的相位差，并且過零點(diǎn)區(qū)域的點(diǎn)不僅僅可以消除線性誤差，而且在過零點(diǎn)區(qū)域的點(diǎn)的變化斜率最大， 模/數(shù)轉(zhuǎn)換器所對(duì)應(yīng)的相位分辨率最高．而在瞬態(tài)穩(wěn)定度的測(cè)量過程中，可以使Δf盡量小，這樣就能保證在信號(hào)過零點(diǎn)附近有更多的采樣點(diǎn)．

3 頻率穩(wěn)定度測(cè)量系統(tǒng)

傳統(tǒng)的數(shù)字雙混頻時(shí)差方法中存在數(shù)字混頻[7-8]、抽取濾波、直接數(shù)字合成器(Directed Digital Synthesizer，DDS)和鑒相等算法，處理流程十分復(fù)雜，而且會(huì)有精度損失．文中對(duì)雙混頻時(shí)差進(jìn)行了改進(jìn)，直接在模/數(shù)轉(zhuǎn)換器采樣過程中應(yīng)用特殊頻率信號(hào)間的特殊相位規(guī)律進(jìn)行量化和量化誤差處理，然后直接鑒相，得到信號(hào)間的相位差，系統(tǒng)如圖3所示．圖3中主要分為模擬部分和數(shù)字部分，模擬部分主要是模/數(shù)轉(zhuǎn)換器輸入通道的設(shè)計(jì)，主要實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波和采樣以及消除噪聲干擾．在印制板走線上設(shè)計(jì)成差分對(duì)，布局上各通道之間相互對(duì)稱，可以降低噪聲干擾．?dāng)?shù)字部分的算法在現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列(Field Programmable Gate Array，F(xiàn)PGA)和單片機(jī)中實(shí)現(xiàn)．模/數(shù)轉(zhuǎn)換器輸出的數(shù)字信號(hào)先經(jīng)過一個(gè)擬高斯濾波器[9]，主要是消除一部分模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的隨機(jī)噪聲，然后利用數(shù)字邊沿效應(yīng)進(jìn)行量化誤差的抑制．象限判斷用一個(gè)一定長(zhǎng)度的先進(jìn)先出的隊(duì)列實(shí)現(xiàn)，判斷隊(duì)列兩頭和中間數(shù)據(jù)的大小來判斷數(shù)據(jù)的象限．反正弦鑒相算法用查找表實(shí)現(xiàn)，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)只取過零點(diǎn)區(qū)域的采樣點(diǎn)，因此可節(jié)約FPGA很大一部分邏輯資源．鑒相之后得到的是信號(hào)的角度，然后利用雙混頻時(shí)差原理得到兩信號(hào)之間的相位差，發(fā)送給單片機(jī)進(jìn)行頻率穩(wěn)定度的計(jì)算．根據(jù)前面所述，模/數(shù)轉(zhuǎn)換器可以作為一個(gè)數(shù)字化的混頻器和低通濾波器，因此，圖中的數(shù)字部分實(shí)際上是一個(gè)中介源為采樣時(shí)鐘的數(shù)字化的雙混頻時(shí)差系統(tǒng)．

圖3 頻率穩(wěn)定度測(cè)量系統(tǒng)

假設(shè)被測(cè)信號(hào)yx(t)=Axsin(2πf0t+βx(t))，參考信號(hào)y0(t)=A0sin(2πf0t+β0(t))，時(shí)鐘采樣頻率fs=f0+ Δf(Δf?f0)，根據(jù)上面所述，模/數(shù)轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于數(shù)字化的混頻器和低通濾波器，經(jīng)過模/數(shù)轉(zhuǎn)換器采樣之后，模/數(shù)轉(zhuǎn)換器輸出頻率為Δf的數(shù)字信號(hào)，其瞬時(shí)相位分別為

(6)

根據(jù)雙混頻時(shí)差原理，得到被測(cè)信號(hào)和參考信號(hào)的相位差為

(7)

其中，Xx0為被測(cè)信號(hào)和參考信號(hào)之間的相位差，Xx0b為兩模/數(shù)轉(zhuǎn)換器輸出數(shù)字信號(hào)間的相位差，φx和φ0分別為被測(cè)信號(hào)和參考信號(hào)的瞬時(shí)相位，φxb和φ0b分別兩模/數(shù)轉(zhuǎn)換器輸出的數(shù)字信號(hào)的瞬時(shí)相位．

4 實(shí)驗(yàn)論證和誤差分析

實(shí)驗(yàn)采取圖3中的方案，模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的分辨率為16 bit，以8607-BE 10 MHz OCXO晶振作為羅德史瓦茨SMB100A信號(hào)發(fā)生器的外部參考輸入，羅德史瓦茨SMB100A信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生 (10 MHz+ 10 Hz) 頻率的信號(hào)，作為 模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的時(shí)鐘信號(hào)fs，1 s 以下的頻率穩(wěn)定度用銣鐘輸出 10 MHz 信號(hào)作為被測(cè)信號(hào)，用8607-BE OCXO晶振輸出的 10 MHz 信號(hào)作為參考信號(hào)；1 s 以上的頻率穩(wěn)定度用銫鐘輸出 10 MHz 信號(hào)作為參考信號(hào)，用銣鐘輸出 10 MHz 作為被測(cè)信號(hào)，模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的采樣時(shí)鐘不變．實(shí)驗(yàn)開始時(shí)，先分別利用特殊頻率信號(hào)間的特殊相位規(guī)律測(cè)出被測(cè)信號(hào)和參考信號(hào)的幅度，并儲(chǔ)存；然后利用數(shù)字模糊區(qū)的邊沿抑制量化誤差，用雙混頻時(shí)差法測(cè)出信號(hào)間的相位差，得到的頻率穩(wěn)定度曲線如圖4所示．

圖4中縱坐標(biāo)表示頻率穩(wěn)定度，用阿倫方差表示．?dāng)?shù)據(jù)處理用計(jì)算頻率穩(wěn)定度的專用軟件stable32進(jìn)行．從圖4可以看出，100 ns 的穩(wěn)定度能夠達(dá)到 2.92× 10-5，1 s 的穩(wěn)定度能到達(dá) 1.82× 10-11．圖4中銣原子鐘的頻率穩(wěn)定度曲線在 100 ns 和數(shù)十毫秒之間隨取樣時(shí)間呈 1/τ規(guī)律變化，數(shù)十毫秒以上的頻率穩(wěn)定度變化規(guī)律隨著取樣時(shí)間就靠向了 1/τ1/2的變化規(guī)律．這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中所用銣原子鐘中的晶體振蕩器本身的頻率穩(wěn)定度是按照 1/τ的規(guī)律變化的，但是銣原子鐘存在一個(gè)調(diào)制信號(hào)，由于物理部分的鎖頻作用，在數(shù)十毫秒以上的頻率穩(wěn)定度變化規(guī)律隨著取樣時(shí)間就靠向了 1/τ1/2的規(guī)律變化．

圖4 銣鐘的頻率穩(wěn)定度圖圖5 高穩(wěn)晶振自校頻率穩(wěn)定度圖

以8607-BE 10 MHz OCXO晶振作為泰克信號(hào)發(fā)生器的外部參考輸入，泰克信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生 (10 MHz+ 10 Hz) 頻率的信號(hào)，作為模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog to Digital Converter，ADC)的時(shí)鐘信號(hào)fs，參考信號(hào)和被測(cè)信號(hào)都采用8607-BE 10 MHz OCXO晶振輸出的 10 MHz 頻率信號(hào)，得到的結(jié)果如圖5所示．

圖5的數(shù)據(jù)處理用計(jì)算頻率穩(wěn)定度的專用軟件stable32進(jìn)行．在長(zhǎng)期比對(duì)中，一天的頻率穩(wěn)定度能到達(dá) 4.38× 10-16，并且隨取樣時(shí)間呈 1/τ規(guī)律變化．

5 結(jié) 束 語(yǔ)

文中描述了一種數(shù)字的全面的頻率穩(wěn)定度測(cè)量方法，該方法結(jié)合了數(shù)字雙混頻時(shí)差和數(shù)字邊沿效應(yīng)的特點(diǎn)，使用低速、低分辨率的模/數(shù)轉(zhuǎn)換器實(shí)現(xiàn)高精度的測(cè)量，并且隨著所用模/數(shù)轉(zhuǎn)換器分辨率的提高，測(cè)量精度也會(huì)有一定的提高．經(jīng)過實(shí)驗(yàn)證明，這種方法測(cè)得的瞬態(tài)穩(wěn)定度能夠達(dá)到 10-5/100 ns ，短期穩(wěn)定度能夠達(dá)到 10-12/s，長(zhǎng)期穩(wěn)定度能夠達(dá)到10-16/d．

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Methodofacomprehensiveresponsetimeoffrequencystability

XULongfei，LUODan，ZHOUWei，BAILina，LIZhiqi，MIAOMiao

(School of Mechano-electronic Engineering, Xidian Univ., Xi’an 710071, China)

To reveal the change of the frequency stability of a different frequency source with the response time in essence, a method of measuring the comprehensive response time of frequency stability is proposed. In the digital environment, the digital edge effect is used to inhibit the quantization error, combined with the digital double mixing time difference method to measure the phase difference between the signals, by which the comprehensive frequency stability index is obtained. In experiments, the frequency source realizes the frequency stability of a more comprehensive change rule over time. Experiment proves that the method under the condition of self-calibration, transient frequency stability can be 10-5/100 ns, that short-term frequency stability can be 1012/s, and that frequency stability for a long time can be 1016a day.

digital;quantization error;double mixing time difference;frequency stability

2017-03-04

時(shí)間：2017-06-29

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11773022)；陜西省重大科技成果轉(zhuǎn)化引導(dǎo)專項(xiàng)資助項(xiàng)目(2015KTCG-01)

許龍飛(1990-)，男，西安電子科技大學(xué)碩士研究生，E-mail: 18710849321@163.com．

http://kns.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20170629.1734.026.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2018.01.013

TM935.12

A

1001-2400(2018)01-0072-04

(編輯： 齊淑娟)