張霄月 楊帆 郭雪巖

摘 要： 為了研究自由表面渦流動(dòng)規(guī)律，采用Fluent軟件對(duì)這一層流流動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)值模擬。計(jì)算中運(yùn)用流體體積（VOF）模型處理汽水交界面，得到了自由表面渦的流動(dòng)結(jié)構(gòu)和演化過程，旋渦發(fā)展?fàn)顟B(tài)與渦量之間的關(guān)系。在自由表面渦形成過程中，流體中心區(qū)域的渦量隨時(shí)間不斷增大。當(dāng)渦量達(dá)到一定程度時(shí)，自由液面處開始出現(xiàn)旋渦，并不斷向下延伸直至達(dá)到穩(wěn)定。同時(shí)得到了渦核半徑、渦核半徑處最大切向速度、渦核處環(huán)量、渦核內(nèi)切面速度梯度以及流場(chǎng)中各個(gè)速度分量隨高度和時(shí)間的變化規(guī)律。計(jì)算結(jié)果為了解自由表面渦流動(dòng)現(xiàn)象提供了一定的參考。

關(guān)鍵詞： 自由表面渦； 層流； 渦量； 速度分量

中圖分類號(hào)： TH 311 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Numerical Simulation of Free Surface

Vortex Flow Phenomenon

ZHANG Xiaoyue， YANG Fan， GUO Xueyan

（School of Energy and Power Engineering， University of Shanghai for

Science & Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： In order to study the free surface vortex flow，the Fluent program package was used to simulate the laminar flow.Volume of fluid（VOF） model was applied to deal with the interface，and the structure of the vortex flow was obtained.In the process of free surface vortex formation，the velocity in the central regions of the fluid increases with time.When the velocity reaches a certain degree，the free surface vortex forms.The results reveal the relationship between the vorticity and evolution of the vortex，the vortex core radius，the maximum tangential velocity，the circulation of the vortex core，the velocity gradient in the vortex core，as well as the evolution law of the velocity components along with height and time.The calculation results are of valuable reference for the investigation of the free surface vortex.

Keywords： free surface vortex； laminar； vorticity； velocity components

自由表面渦是自然界中常見的現(xiàn)象，多出現(xiàn)在水泵吸水池內(nèi)和水工建筑物進(jìn)水口處。當(dāng)進(jìn)口上方的渦量強(qiáng)度達(dá)到某一臨界值或自由液面高度低于所謂的臨界淹沒深度時(shí)，自由表面渦便會(huì)發(fā)展成攜物旋渦或形成氣芯，并最終發(fā)展成吸氣旋渦。這些旋渦的存在會(huì)導(dǎo)致離心泵的空化、振動(dòng)，甚至降低整個(gè)泵站的效率。因此研究吸水池入水口處的流動(dòng)規(guī)律，以及自由表面渦的形成原因具有重要的意義。

前人對(duì)此現(xiàn)象已進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)研究。由于自然界中出現(xiàn)此流動(dòng)現(xiàn)象的場(chǎng)合種類繁多，為簡(jiǎn)便起見，學(xué)者們多采用側(cè)面流入、底部排出的圓桶狀容器，對(duì)其內(nèi)部出現(xiàn)的自由表面渦流動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)。在這一實(shí)驗(yàn)裝置中，定義流動(dòng)的徑向雷諾數(shù)Rer=Q/（hν），出口雷諾數(shù)Reo=ud/ν，其中：Q為出口流量；h為水面高度；u為出口流速；d為排水口直徑；ν為動(dòng)力黏度。Monji等[1]在徑向雷諾數(shù)為300～600之間研究了溫度、徑向雷諾數(shù)、水面高度和表面張力等對(duì)氣芯長(zhǎng)度的影響。Fernandezferia等[2]研究了出口雷諾數(shù)在750～1 900之間圓柱形容器中高徑比對(duì)流場(chǎng)中徑向速度和切向速度的影響，并由實(shí)驗(yàn)得到了旋渦形成時(shí)的出口臨界雷諾數(shù)介于1 300～1 400。對(duì)于自由表面渦流動(dòng)，流場(chǎng)中切向速度沿著徑向呈現(xiàn)先增大后減小的分布，一般將切向速度最大處定義為渦核邊界。Huang等[3]在實(shí)驗(yàn)中采用從頂部吸水的方式形成自由表面渦現(xiàn)象，并將不同顏色染料注入水中觀察渦核內(nèi)的結(jié)構(gòu)，得到了一種類分層流的雙胞渦分布，且層與層之間的流體沒有明顯的相互摻混，可以認(rèn)為是一個(gè)比較典型的層流流動(dòng)現(xiàn)象。雖然前人對(duì)不同雷諾數(shù)下形成的流場(chǎng)進(jìn)行了細(xì)致的分析，但尚未就此流動(dòng)現(xiàn)象中臨界雷諾數(shù)的數(shù)值達(dá)成一致。

在理論研究中，Einstein等[4]討論了自由表面渦在層流和湍流兩種狀態(tài)下的N-S方程。Odgaard[5]和Stepanyants等[6]在層流基礎(chǔ)上得到了基于N-S方程的臨界淹沒深度公式，并與Odgaard的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)當(dāng)水面高度大于0.5 m時(shí)兩者的臨界淹沒深度公式計(jì)算值均與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較吻合。Burgers等[7-9]也在層流N-S方程基礎(chǔ)上提出了多種渦模型。

能源研究與信息2018年 第34卷

第1期張霄月，等：自由表面渦流動(dòng)現(xiàn)象的數(shù)值模擬

近年來，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)值模擬在研究流體流動(dòng)方面得到了大量的應(yīng)用。趙永志等[10]采用雷諾應(yīng)力湍流模型對(duì)自由表面旋渦進(jìn)行了數(shù)值模擬，運(yùn)用流體體積（VOF）模型處理自由界面問題，給出了旋渦自由液面的變化過程。陳云良[11]則采用RNG k-ε模型和標(biāo)準(zhǔn)k-ε分別模擬自由表面渦，獲得了水面處的多圈螺旋結(jié)構(gòu)。叢國(guó)輝等[12]分別采用標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型、RNG k-ε模型和Realizable k-ε模型對(duì)此現(xiàn)象進(jìn)行模擬。雖然上述學(xué)者在計(jì)算中引入了多種湍流模型，但在計(jì)算前均未明確給出自由表面渦的流動(dòng)狀態(tài)是湍流的依據(jù)。從目前所掌握的文獻(xiàn)來看，尚沒有將自由表面渦視為層流流動(dòng)并對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬的報(bào)道，因此本文對(duì)此進(jìn)行了一次嘗試。

此外，在自由表面渦的實(shí)驗(yàn)中，盡管邊緣入口處的速度非常小，但由于流場(chǎng)的特殊流動(dòng)結(jié)構(gòu)，在渦核中心處也會(huì)產(chǎn)生非常大的切向速度，導(dǎo)致中心流體處的剪切應(yīng)力變大，使流動(dòng)失穩(wěn)。因此，若要明晰自由表面渦的流動(dòng)機(jī)理，必須首先了解渦核處的流動(dòng)狀態(tài)。本文模擬自由表面渦流動(dòng)，以獲得旋渦發(fā)展?fàn)顟B(tài)與渦量之間的關(guān)系。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 多相流模型

VOF模型常用來處理具有明顯交界面的多相流問題。具體方法就是在整個(gè)流場(chǎng)中定義一個(gè)體積分?jǐn)?shù)函數(shù)αx。假設(shè)每個(gè)網(wǎng)格中第一相的體積分?jǐn)?shù)為α1，若α1=0，則該網(wǎng)內(nèi)不含第一相，若α1=1，則該網(wǎng)格內(nèi)只含第一項(xiàng)，若0<α1<1，則該網(wǎng)格內(nèi)含有兩相交界面。因此，只要確定了網(wǎng)格中的體積分?jǐn)?shù)，就能明確求出不同相的流體所對(duì)應(yīng)的位置及相間分布。

體積分?jǐn)?shù)通過連續(xù)性方程求解，即

1ρnt（αnρn）+·（αnρnu→n）=

Sn+∑np=1（mln-mnl）（1）

式中：ρn為第n相流體的密度；αn為第n相的體積分?jǐn)?shù)；u→n為第n相的速度矢量；mln為第n相流體流入第l相流體中的質(zhì)量；mnl為第l相流體流入第n相流體中的質(zhì)量；Sn為源項(xiàng)，如果多相流體間沒有特殊的質(zhì)量輸運(yùn)，該項(xiàng)一般為0；t為時(shí)間。

1.2 計(jì)算區(qū)域、邊界條件和初始條件

本文計(jì)算域?yàn)楦叨萀=50 mm、半徑R=40 mm的圓柱形容器，容器底部有直徑d=4 mm的排水口，排水口高度1 mm。為了消除數(shù)值計(jì)算在邊界上的非物理性，在出口與底部間做一個(gè)45°的倒角。容器中水位H始終穩(wěn)定在44 mm，容器繞z軸作等角速度旋轉(zhuǎn)。計(jì)算模型如圖1所示，其中，Ω為容器旋轉(zhuǎn)角速度。

模型采用非穩(wěn)態(tài)基于壓力的求解方式，壓力速

圖1 計(jì)算模型

Fig.1 Calculation model

度耦合方法采用SIMPLE算法，并利用PRESTO方法進(jìn)行壓力離散，時(shí)間步長(zhǎng)為0.000 1 s，殘差控制在10-5數(shù)量級(jí)。整個(gè)計(jì)算域網(wǎng)格數(shù)量為266萬，Ω=1.26 r·s-1，進(jìn)口流速為0.004 5 m·s-1，盆池上方為等壓力入口，入口壓力Pi=0 Pa，出口邊界條件為壓力出口，出口壓力Po=-10 000 Pa，操作壓力為一個(gè)大氣壓。

2 計(jì)算結(jié)果及分析

2.1 流動(dòng)特征

2.1.1 氣芯長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化

在數(shù)值模擬中，經(jīng)計(jì)算得出由平穩(wěn)液面發(fā)展至有明顯氣芯生成約需8 s，此后氣芯長(zhǎng)度趨于穩(wěn)定。自由表面渦隨時(shí)間的演化過程如圖2所示。由圖中可知：2 s時(shí)，水面保持較平穩(wěn)的狀態(tài)；2.5 s時(shí)水面略微下陷；3 s時(shí)水面有明顯凹陷，氣芯開始產(chǎn)生，直至8 s時(shí)形成明顯穩(wěn)定的氣芯；8～10 s時(shí)氣芯長(zhǎng)度基本穩(wěn)定。圖3為氣芯長(zhǎng)度l隨時(shí)間的變化。

圖2 自由表面渦隨時(shí)間的演化過程

Fig.2 Development of free surface vortex

2.1.2 多圈螺旋特性

陳云良[11]通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)立軸旋渦具有多圈螺旋流特性，如圖4（a）所示，表現(xiàn)為流體質(zhì)點(diǎn)在從水面向水下運(yùn)動(dòng)的過程中，圍繞渦軸旋轉(zhuǎn)十余圈，在進(jìn)水口附近變?yōu)檩S向流動(dòng)。本文模擬中也得到了類似的結(jié)果，如圖4（b）所示。由圖4中可知，旋渦流場(chǎng)的多圈螺旋流特性隨淹沒深度變化呈現(xiàn)上密下疏的狀態(tài)。這是由于越接近出水口軸向速度越大，對(duì)螺旋流產(chǎn)生了一定的拉伸作用。

2.2 流場(chǎng)參量變化

2.2.1 渦量隨時(shí)間的變化

圖5為流動(dòng)過程中渦量發(fā)展過程，并顯示了渦量為100 s-1處的等值面。從圖中可看到，渦量最初聚集在氣液交界面及排水口處。氣液交界面的渦量不斷向中心處聚集，當(dāng)達(dá)到一定強(qiáng)度時(shí)，中心處的局部壓力小于附近的壓力，使得自由液面中心處形成凹陷。與此同時(shí)，自由液面與盆池壁面處產(chǎn)生的渦量源源不斷地向內(nèi)補(bǔ)充。盆池底部由于徑向射流而產(chǎn)生旋渦，由于排水口為較大負(fù)壓（Po=-10 000 Pa），因此會(huì)產(chǎn)生較大的旋轉(zhuǎn)速度，從而形成較大的渦量。底部渦量向上延伸，最終與在自由液面中心處不斷向下延伸的渦量匯聚，軸線處的渦量不斷增大，因此可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的

圖3 氣芯長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化

Fig.3 Evolution of the core length with time

圖4 多圈螺旋現(xiàn)象

Fig.4 Spirals phenomenon

圖5 流動(dòng)過程中渦量發(fā)展過程

Fig.5 Development of the vorticity

氣芯。圖6為中心軸線處渦量隨時(shí)間的變化。由圖中可知，軸線處的渦量隨時(shí)間增大而增大，并在氣芯穩(wěn)定時(shí)趨于穩(wěn)定。在距底部5 mm范圍內(nèi)渦量減小得最快，并在軸線中間部分基本保持定值，但在氣芯尖端附近增大。在本文算例中，可以看到氣芯開始形成時(shí)氣芯下方的渦量在1 000 s-1左右。因此可認(rèn)為自由表面渦只有在中心軸線處渦量積累到一定程度時(shí)才能形成氣芯。

圖6 中心軸線處渦量隨時(shí)間的變化

Fig.6 Development of the vorticity in the middle position

2.2.2 流場(chǎng)內(nèi)速度分量隨時(shí)間的變化

圖7為2～8 s速度分量的變化，圖中：υz為軸向速度；υθ為切向速度；υr為徑向速度；r為渦核半徑；所取位置為距底部20 mm處。渦核區(qū)域外的軸向速度在氣芯開始形成后基本不變。在6 s后，軸向速度由渦核內(nèi)向中心處逐漸減小，同時(shí)徑向速度變大。這是由于氣芯的向下延伸對(duì)下方流體流動(dòng)產(chǎn)生了阻礙作用。在氣芯形成過程中切向速度逐漸增大，且在2～4 s時(shí)即在表面略有凹陷的階段速度增大得最快，而徑向速度基本無變化。

2.2.3 渦核內(nèi)流體流動(dòng)狀態(tài)

由于渦核內(nèi)的流動(dòng)是流體從層流轉(zhuǎn)捩為湍流的根源，因此本文分析了渦核內(nèi)的流場(chǎng)，包括渦核半徑、渦核半徑處切向速度、渦核處環(huán)量和渦核內(nèi)速度梯度。圖8為渦核半徑隨時(shí)間的變化。3 s時(shí)氣芯開始形成。從圖8中可看出，一旦出現(xiàn)氣芯則渦核半徑減小，且直至氣芯穩(wěn)定，渦核半徑基本無變化，此外，渦核半徑并不受氣芯深入的影響。在同一時(shí)刻，渦核半徑隨高度的增大而增大，且在接近氣水交界面時(shí)突然增大。

圖9為不同高度上的切向速度最大值υθ，max，即渦核邊界處切向速度隨時(shí)間的變化。從圖中可知，在2～6 s時(shí)，渦核處切向速度增大得最快，并在6～10 s時(shí)保持平穩(wěn)，且越靠近底部渦核速度越大。

圖7 2～8 s速度分量變化

Fig.7 Changes of the velocity components

in the range from 2 s to 8 s

圖10為渦核處環(huán)量隨時(shí)間和高度的變化。由圖中可看出：在氣芯開始形成時(shí)，即3 s左右，渦核處環(huán)量較小；在氣芯深入到流場(chǎng)中部時(shí)，渦核處環(huán)量基本不變；在高度方向上環(huán)量隨著高度增加先減小后增大，這與底部排水口和水面中心處的渦量聚集有關(guān)。

圖8 渦核半徑隨時(shí)間的變化

Fig.8 Evolution of the vortex core radius with time

圖9 不同高度上切向速度最大值隨時(shí)間的變化

Fig.9 Evolution of the maximum tangential

velocity at different heights with time

圖10 渦核處環(huán)量隨時(shí)間和高度的變化

Fig.10 Evolution of the circulation in the vortex

core with time and height

圖11（a）為10 s時(shí)渦核內(nèi)切向速度梯度隨高度的變化。距底部5 mm處切向速度梯度減小得最快，但在10～20 mm處基本不變。圖11（b）為氣芯形成后渦核內(nèi)切向速度梯度隨時(shí)間的變化。隨著時(shí)間的增大，速度梯度減小得越來越快，直至7～8 s時(shí)達(dá)到穩(wěn)定。

圖11 渦核內(nèi)切向速度梯度的變化

Fig.11 Evolution of the tangential velocity gradient

in the vortex core

2.2.4 10 s時(shí)速度分量隨高度的變化

在10 s時(shí)，流動(dòng)基本已達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，這是一個(gè)較有代表性的狀態(tài)，因此本文對(duì)該時(shí)刻的流動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分析，以研究盆池渦的典型流動(dòng)特征。z=20 mm、z=10 mm和z=1 mm分別代表距底部20、10、1 mm，y方向指從軸線到盆池邊緣的截線。圖12（a）、（b）分別為距底部10、20 mm處的切向速度云圖。由于計(jì)算模型外圍進(jìn)水的均勻性，流場(chǎng)的流動(dòng)分布十分對(duì)稱。由圖12中可知，10 mm處渦核速度明顯比20 mm處的大。圖13為靠近底部流體的三個(gè)速度分量的變化。在渦核內(nèi)，流體在黏性作用下

圖12 10 s時(shí)距底部不同高度的切向速度云圖

Fig.12 Contours of the tangential velocity at 10 s

圖13 10 s時(shí)速度分量

Fig.13 Velocity components at 10 s

近似作等角速度剛體旋轉(zhuǎn)，而在渦核外切向速度近似為勢(shì)流點(diǎn)渦的速度分布。切向速度與軸向速度均隨著深度的增加而變大，并在底部薄層附近急劇增加。徑向速度在底部薄層上方基本無變化，在薄層附近時(shí)徑向速度從邊緣到中心處逐漸增大，在排水口附近處逐漸被軸向速度代替因而慢慢減小，直至消失。唐洪武等[15]采用粒子圖像測(cè)速（PIV）測(cè)量旋渦的結(jié)果表明，當(dāng)出現(xiàn)吸氣旋渦時(shí)，切向速度較大，軸向速度在離開出口邊界較小的范圍后其值較小，可忽略，而徑向速度較大并隨半徑減小而增大，越接近底部速度越大，向心流的大部分流體集中在離底部很近的薄層內(nèi)。

3 結(jié) 論

（1） 采用Fluent軟件對(duì)自由表面渦進(jìn)行了模擬，得到了氣芯生成、演化的過程及多圈螺旋流動(dòng)現(xiàn)象。

（2） 得到了各個(gè)速度分量隨時(shí)間的變化，以及氣芯穩(wěn)定后各速度分量的變化?？偟膩碚f，切向速度和軸向速度受氣芯存在與否的影響較大，而徑向速度受其影響不大。

（3） 得到了渦核半徑、渦核處切向速度、渦核處環(huán)量、以及渦核內(nèi)切向速度梯度隨時(shí)間和高度的變化規(guī)律，這為進(jìn)一步掌握渦核結(jié)構(gòu)以及了解自由表面渦流動(dòng)現(xiàn)象提供了一定的參考。

參考文獻(xiàn)：

[1] MONJI H，SHINOZAKI T，KAMIDE H，et al.Effect of experimental conditions on gas core length and downward velocity of free surface vortex in cylindrical vessel[J].Journal of Engineering for Gas Turbines and Power，2010，132（1）：012901.

[2] FERNANDEZFERIA R，SANMIGUELROJAS E.On the appearance of swirl in a confined sink flow[J].Physics of Fluids，2000，12（11）：3082-3085.

[3] HUANG S L，CHEN H C，CHU C C，et al.On the transition process of a swirling vortex generated in a rotating tank.[J].Experiments of Fluids，2008，45（2）：267-282.

[4] EINSTEIN H A ，LI H.Steady vortex flow in a real fluid[J].La Houille Blanche，1955（4）：483-496.

[5] ODGAARD A J.Freesurface aircore vortex[J].Journal of Hydraulic Engineering，1986，112（7）：610-620.

[6] STEPANYANTS Y A，YEOH G H.Stationary bathtub vortices and a critical regime of liquid discharge[J].Journal of Fluid Mechanics，2008，604（1）：77-98.

[7] BURGERS J M.A mathematical model illustrating the theory of turbulence[J].Advances in Applied Mechanics，1948，1：171-199.

[8] RANKINE W J M.A manual of applied physics[M].10th ed.London：Charles Griffin and Company，1882：663.

[9] SULLIVAN R D.A twocell vortex solution of the NavierStokes equations[J].Journal of the Aero/Space Sciences，1959，26（11）：767-768.

[10] 趙永志，顧兆林，郁永章，等.盆池渦渦動(dòng)過程數(shù)值研究[J].水利學(xué)報(bào)，2002，12：1-6.

[11] 陳云良.進(jìn)水口前立軸旋渦水力特性的研究[D].成都：四川大學(xué)，2006.

[12] 叢國(guó)輝，王福軍.湍流模型在泵站進(jìn)水池漩渦模擬中的適用性研究[J].農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2008，24（6）：31-35.

[13] LEVI E.Experiments on unstable vortices[J].Journal of the Engineering Mechanics Division，1972，98（3）：539-559.

[14] YUKIMOTO S，NIINO H，NOGUCHI T，et al.Structure of a bathtub vortex：Importance of the bottom boundary layer[J].Theoretical and Computational Fluid Dynamics，2010，24（1）：323-327.

[15] 唐洪武，徐夕榮，張志軍.粒子圖象測(cè)速技術(shù)及其在垂直進(jìn)水口漩渦流場(chǎng)中的應(yīng)用[J].水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展，1999，14（1）：128-134.