，

(蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070)

目前的三相潮流計(jì)算大多是從單相潮流計(jì)算的基礎(chǔ)上拓展而來(lái)的。 從算法上來(lái)分主要有牛頓拉夫遜法、 隱式阻抗法[1]、 快速解耦法[2]及前推回代法[3]。 從數(shù)學(xué)上來(lái)看，可以認(rèn)為潮流計(jì)算就是通過(guò)迭代來(lái)求解多元非線性方程的問(wèn)題。 牛頓拉夫遜法是非常有效的解非線性方程的方法， 其求解方程的核心是逐次線性化過(guò)程[4]， 具有較好的收斂性， 因此成為目前廣泛采用的方法。 從三相處理方法上來(lái)分又可分為相分量法和序分量法[5]。 由于在配電網(wǎng)中會(huì)存在網(wǎng)絡(luò)參數(shù)不對(duì)稱(chēng)問(wèn)題， 使得序分量法解耦失效[6]， 因此需要采用相分量法來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

傳統(tǒng)的潮流計(jì)算只是將負(fù)荷等考慮為PQ節(jié)點(diǎn)， 將發(fā)電機(jī)等考慮為PV節(jié)點(diǎn)。 實(shí)際運(yùn)行中， 節(jié)點(diǎn)處負(fù)荷的變化使得電壓也產(chǎn)生改變， 負(fù)荷模型的不同使得系統(tǒng)的潮流分布也會(huì)發(fā)生改變[7]。 負(fù)荷模型的準(zhǔn)確性會(huì)直接影響仿真結(jié)果和規(guī)劃方案的有效性， 這點(diǎn)在電壓穩(wěn)定性方面尤為突出。 Taylor等[8]曾經(jīng)指出負(fù)荷穩(wěn)定性問(wèn)題是電壓穩(wěn)定性問(wèn)題的本質(zhì)所在。 在潮流計(jì)算中， 傳統(tǒng)的牛頓拉夫遜法在每次迭代時(shí)都需要重新形成并進(jìn)行一次雅克比矩陣的計(jì)算， 當(dāng)負(fù)荷為冪函數(shù)和多項(xiàng)式模型時(shí)[9]， 傳統(tǒng)的牛頓拉夫遜法就不再適用， 需要在考慮負(fù)荷類(lèi)型的同時(shí)對(duì)其算法進(jìn)行改進(jìn)， 從而減少迭代次數(shù)。

本文中針對(duì)配電網(wǎng)的特點(diǎn)，提出了一種考慮負(fù)荷特性的配電網(wǎng)三相潮流計(jì)算的牛頓拉夫遜法，該算法在傳統(tǒng)的牛頓拉夫頓法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，以適應(yīng)三相潮流計(jì)算，迭代時(shí)改變其雅克比矩陣以解決因三相造成的矩陣過(guò)于龐大的問(wèn)題，并將考慮了負(fù)荷類(lèi)型的多項(xiàng)式模型應(yīng)用到潮流計(jì)算中；最后通過(guò)對(duì)青海省黃化電網(wǎng)配電系統(tǒng)進(jìn)行算例分析，驗(yàn)證該算法的可行性。

1 配電系統(tǒng)的潮流計(jì)算模型

1.1 線路模型

配電網(wǎng)在實(shí)際運(yùn)行中存在負(fù)荷不對(duì)稱(chēng)的情況，從線路上來(lái)看相當(dāng)于向系統(tǒng)注入了不對(duì)稱(chēng)電流[10]。其三相線路模型如圖1所示。

分別為a相、 b相和c相的電流分別為a相、 b相和c相的電壓；Zaa、 Zbb、 Zcc分別為a相、b相和c相的自阻抗； Zab、 Zbc、 Zac分別為a相、 b相和c相間的互阻抗。圖1 配電線路三相模型

根據(jù)耦合電路互感原理，三相導(dǎo)線中通入電流會(huì)產(chǎn)生互感，則由網(wǎng)絡(luò)的互感互易性可知，

Zab=Zba，Zac=Zca，Zbc=Zcb

,

(1)

ΔVabc=ZabcIabc

，

(2)

(3)

當(dāng)配電線路網(wǎng)絡(luò)參數(shù)不對(duì)稱(chēng)時(shí)，可根據(jù)線路的單位相阻抗矩陣及線路長(zhǎng)度L求其線路模型Z1。計(jì)算公式為

Z1=L×Zabc。

(4)

1.2 變壓器模型

變壓器的三相模型較為復(fù)雜，根據(jù)相分量法分析可得到適用于配電網(wǎng)的三相簡(jiǎn)化模型，如圖2所示。其中變壓器的鐵損只與其容量和節(jié)點(diǎn)電壓有關(guān)[11]，可將其作為額外的功率，并聯(lián)在二次側(cè)上。變壓器的漏磁導(dǎo)納矩陣YT可由原始導(dǎo)納矩陣Y與節(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣A一起表示為YT=AT×Y×A，這里的導(dǎo)納矩陣也會(huì)因變壓器中不同的繞組連接方式而不同[12]。由此可得配電變壓器高壓側(cè)與低壓側(cè)的電壓、電流關(guān)系。

圖2 配電變壓器三相模型

1.3 負(fù)荷模型

傳統(tǒng)的潮流計(jì)算將負(fù)荷作為PQ節(jié)點(diǎn)來(lái)計(jì)算， 即所考慮的只是恒定功率負(fù)荷模型[13]， 并未考慮負(fù)荷電壓特性。 實(shí)際運(yùn)行中， 當(dāng)電壓發(fā)生變化時(shí)， 負(fù)荷也會(huì)發(fā)生改變， 系統(tǒng)潮流分布也會(huì)隨之改變[14-16]， 因此， 選用合適的負(fù)荷模型對(duì)潮流計(jì)算來(lái)說(shuō)至關(guān)重要。

負(fù)荷模型是綜合了負(fù)荷功率和負(fù)荷電流隨母線電壓或母線頻率變化而變化的數(shù)學(xué)表達(dá)式。一般認(rèn)為，在一定的頻率及電壓下的功率值即為負(fù)荷值，而實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行中，頻率相對(duì)穩(wěn)定，電壓的變化較大，因此可采用冪函數(shù)模型和多項(xiàng)式模型這2種考慮電壓靜特性的負(fù)荷模型來(lái)進(jìn)行計(jì)算[17]。

1.3.1 冪函數(shù)模型

(5)

式中：Pi0、Qi0和U0分別為穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)負(fù)荷的有功、 無(wú)功功率和負(fù)荷母線電壓；P、Q、Ui分別為有功功率、無(wú)功功率和負(fù)荷母線電壓的實(shí)際值；α、β為負(fù)荷的電壓特性指數(shù)。冪函數(shù)模型只有在電壓上下浮動(dòng)范圍較小的情況下才能適用[18]。

1.3.2 多項(xiàng)式模型

(6)

式中：ap(aq)、bp(bq)、cp(cq)為負(fù)荷有功功率(無(wú)功功率)的系數(shù),分別代表恒阻抗負(fù)荷、恒電流負(fù)荷、恒功率負(fù)荷各自所占的比例，系數(shù)之間滿足

(7)

多項(xiàng)式模型比冪函數(shù)模型的適應(yīng)性更強(qiáng)。 在實(shí)際應(yīng)用時(shí)， 往往根據(jù)具體需要， 選擇多項(xiàng)式模型的重要項(xiàng)派生出若干實(shí)用模型。 配電負(fù)荷可以為三相平衡或不平衡的接地星型負(fù)荷、 三相平衡或不平衡的不接地三角型負(fù)荷， 同時(shí)也可以為單相或兩相負(fù)荷。

2 負(fù)荷模型在潮流計(jì)算中的應(yīng)用

牛頓拉夫遜法是目前廣泛使用的求解電力系統(tǒng)潮流問(wèn)題的方法。傳統(tǒng)的牛頓拉夫遜法在計(jì)算時(shí)將節(jié)點(diǎn)分為平衡節(jié)點(diǎn)、PQ節(jié)點(diǎn)及PV節(jié)點(diǎn)，在配電網(wǎng)實(shí)際運(yùn)行中，負(fù)荷會(huì)隨著電壓變化而改變，因此，考慮到負(fù)荷電壓特性時(shí)，需要改變牛頓拉夫遜法潮流計(jì)算[19]中的變量。

對(duì)于一個(gè)n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，當(dāng)考慮負(fù)荷的電壓特性時(shí)，負(fù)荷功率采用式(6)所示的二次多項(xiàng)式形式來(lái)表示。在極坐標(biāo)下，對(duì)于PQ節(jié)點(diǎn)或PV節(jié)點(diǎn)都可以列出式(8)所示的有功功率不平衡量方程，對(duì)于PQ節(jié)點(diǎn)還可以再列出式(9)所示的無(wú)功功率不平衡量方程式。

(8)

(9)

式中:PiG和QiG為節(jié)點(diǎn)的發(fā)電機(jī)注入功率;Gij和Bij為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣中的元素;δij為節(jié)點(diǎn)間的相角差。

在n個(gè)節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中，由式(8)、(9)可以建立一個(gè)修正方程式

(10)

式中：ΔP和ΔQ為注入功率不平衡量矩陣；ΔU和Δδ分別為節(jié)點(diǎn)電壓不平衡量矩陣及電壓相角偏差量矩陣；H、N、J、L為雅克比矩陣中各元素的分塊矩陣。雅克比矩陣中各元素計(jì)算后分別為

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：Pi為節(jié)點(diǎn)處有功功率；Qi為節(jié)點(diǎn)處無(wú)功功率；

接下來(lái)解修正方程，再通過(guò)迭代計(jì)算系統(tǒng)潮流分布。同理，當(dāng)負(fù)荷功率采用式(5)所示的冪函數(shù)來(lái)表示時(shí)，也可通過(guò)上述過(guò)程求得功率平衡量和雅克比矩陣中的各元素。

3 改進(jìn)的牛頓拉夫遜法三相潮流計(jì)算

牛頓拉夫遜法在解潮流方程時(shí)需要形成龐大的雅克比矩陣，特別是在三相潮流計(jì)算時(shí)，由于配電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)多、負(fù)荷類(lèi)型復(fù)雜，每次迭代都需要對(duì)形成的雅克比矩陣進(jìn)行消去運(yùn)算，使得其運(yùn)算量增加，因此需要對(duì)其在雅克比矩陣運(yùn)算中進(jìn)行改進(jìn)。用牛頓拉夫遜法解三相潮流時(shí)，首先要計(jì)算功率不平衡量，即

ΔS=[ΔP, ΔQ]T=

(15)

式中：

(16)

i=1,2,…,n-1；k=a,b,c；m=a,b,c。此時(shí)，

傳統(tǒng)的牛頓拉夫遜法潮流計(jì)算都是要建立如式(10)所示的潮流方程式，然而，實(shí)際的配電網(wǎng)一般都是輻射型網(wǎng)絡(luò)方式，且線路上的功率都不高，為避免過(guò)于復(fù)雜的矩陣求逆過(guò)程，可以將雅克比矩陣中的元素簡(jiǎn)化[20]。

當(dāng)i≠j時(shí)，

(17)

(18)

(19)

(20)

當(dāng)i=j時(shí)，

(21)

(22)

(23)

(24)

由式(17)—(24)可以看出，矩陣中的H、N、J、L具有一定的對(duì)稱(chēng)性和稀疏性，因此可寫(xiě)成

H=ADhAT，N=ADnAT，J=ADjAT，L=ADlAT，

(25)

此時(shí)，若令所有線路方向均指向源節(jié)點(diǎn)，且在節(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)也將編號(hào)小的節(jié)點(diǎn)放在靠近源節(jié)點(diǎn)處，則由線路所形成的支路關(guān)聯(lián)矩陣A為上三角矩陣，其優(yōu)點(diǎn)是在計(jì)算時(shí)能夠完全解耦。在將雅克比矩陣分解后的計(jì)算中，原來(lái)的雅克比矩陣求逆將被簡(jiǎn)化為僅對(duì)含D的矩陣求逆，之后按照傳統(tǒng)的牛頓拉夫遜法解修正方程，進(jìn)入迭代，然后循環(huán)至合理精度范圍以內(nèi)。

4 算例分析

為了驗(yàn)證本文中所提方法的有效性， 以青海省黃化地區(qū)配電系統(tǒng)為例進(jìn)行分析， 編寫(xiě)了牛頓拉夫遜法三相潮流計(jì)算程序。

以黃化電網(wǎng)中的康三路為例， 康三路總長(zhǎng)度為8.5 km， 主干線供電導(dǎo)線截面積為95 mm2。全線共裝接22臺(tái)10/0.4 kV配電變壓器， 其中包括13臺(tái)公用變壓器、9臺(tái)專(zhuān)用變壓器。 公用變壓器為用戶聚居的村落供電， 主要為照明負(fù)荷； 專(zhuān)用變壓器為指定小型企業(yè)供電， 主要為動(dòng)力負(fù)荷。根據(jù)康三路的地理接線圖可模擬出康三路變壓器臺(tái)區(qū)分布如圖3所示。

圖3 康三路變壓器臺(tái)區(qū)分布圖

根據(jù)調(diào)研所得線路資料和負(fù)荷數(shù)據(jù)，采用MATLAB軟件對(duì)以上線路進(jìn)行潮流計(jì)算。其中，康揚(yáng)變電站作為1號(hào)平衡節(jié)點(diǎn)，沿線的22臺(tái)柱上變壓器作為2—23號(hào)節(jié)點(diǎn)。其節(jié)點(diǎn)編號(hào)由小到大排列，節(jié)點(diǎn)號(hào)越小，則代表距離康揚(yáng)變電站越近，反之越遠(yuǎn)。其相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。根據(jù)表中所提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行潮流計(jì)算，首先假設(shè)當(dāng)?shù)刎?fù)荷為恒功率負(fù)荷時(shí)，即負(fù)荷模型中的參數(shù)滿足如下關(guān)系：

(26)

此時(shí)，該地區(qū)潮流計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表1 康三路各節(jié)點(diǎn)負(fù)荷

續(xù)表

表2 恒功率負(fù)荷下康三路各節(jié)點(diǎn)電壓

從表2中可知，當(dāng)負(fù)荷為恒功率負(fù)荷時(shí)，康三路10 kV線路各節(jié)點(diǎn)電壓均合格，不存在電壓過(guò)低或過(guò)高的現(xiàn)象。其主要原因是各個(gè)10 kV變壓器容量大、負(fù)荷小，且線路長(zhǎng)度也在規(guī)定范圍內(nèi)，符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)。另外，此地區(qū)為少數(shù)民族聚集區(qū)，主要用電來(lái)自于居民的生產(chǎn)生活，其工業(yè)負(fù)荷很少，對(duì)電能質(zhì)量方面的危害也很小。雖然存在三相負(fù)荷不對(duì)稱(chēng)的情況，但其較小的節(jié)點(diǎn)負(fù)荷、較低的變壓器負(fù)載率使得各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的電壓仍然合格，滿足國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)。

對(duì)比傳統(tǒng)的牛頓拉夫遜算法，運(yùn)用改進(jìn)后的牛頓拉夫遜法對(duì)康三路進(jìn)行潮流計(jì)算在性能上也有所提高，如表3所示，改進(jìn)后的潮流計(jì)算無(wú)需對(duì)雅克比矩陣進(jìn)行計(jì)算，因此計(jì)算效率有所提高。

表3 2種算法性能對(duì)比

此外，利用改進(jìn)后的潮流算法，針對(duì)不同的負(fù)荷類(lèi)型進(jìn)行潮流分析，可以得出不同的負(fù)荷類(lèi)型對(duì)節(jié)點(diǎn)電壓的影響，以康三路A相為例進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果如圖4所示。從圖中可以看出，隨著恒阻抗及恒電流負(fù)荷的的增加，康三路2條支路節(jié)點(diǎn)電壓隨之升高；隨著恒功率負(fù)荷的增加，2條支路節(jié)點(diǎn)處的電壓會(huì)隨之降低；并且距離平衡節(jié)點(diǎn)比較遠(yuǎn)的節(jié)點(diǎn)，其電壓值更容易受到不同負(fù)荷類(lèi)型的影響而發(fā)生變化。其原因是當(dāng)電壓降低時(shí)，由式(6)可見(jiàn)，恒阻抗負(fù)荷比例大的消耗功率少， 恒電流負(fù)荷比例大的消耗的功率多，因此，在潮流計(jì)算中，對(duì)負(fù)荷類(lèi)型的考慮也是影響節(jié)點(diǎn)電壓及潮流分布的重要因素之一。

圖4 康三路不同負(fù)荷類(lèi)型的節(jié)點(diǎn)電壓

5 結(jié)論

本文中對(duì)傳統(tǒng)的牛頓拉夫遜法進(jìn)行了改進(jìn)，該方法簡(jiǎn)單實(shí)用，能適應(yīng)不同的負(fù)荷類(lèi)型，并且能進(jìn)行三相負(fù)荷不對(duì)稱(chēng)情況下的潮流計(jì)算。改進(jìn)的牛頓拉夫遜法在迭代時(shí)無(wú)需形成龐大的雅克比矩陣，提高了計(jì)算效率，仿真對(duì)比驗(yàn)證了該方法的可行性及有效性。

在考慮了負(fù)荷類(lèi)型后，改進(jìn)的牛頓拉夫遜法提高了潮流算法準(zhǔn)確性，更符合配電網(wǎng)實(shí)際運(yùn)行情況。黃化電網(wǎng)的測(cè)試案例表明：在相同的額定功率下，恒功率負(fù)荷時(shí)的系統(tǒng)電壓最低，隨著恒功率負(fù)荷比例的減少電壓逐漸升高，不同負(fù)荷類(lèi)型影響系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓。

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