胡育旭

(浙江省杭州市江干區(qū)杭州師范大學(xué)東城中學(xué) 310019)

本刊2016年第7期程志南老師的文章《探討添線法構(gòu)造“A”、“X”型相似圖形解“燕尾”形問題》(下稱文1)，筆者拜讀后受益匪淺，被程志南老師嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真、勤于思考的精神所感動(dòng).三角形相似的性質(zhì)主要用于解決證明線段的比例以及求線段的長(zhǎng)問題，但有些線段比例問題不能直接求得，往往需要通過添加平行線，構(gòu)造相似三角形才得以解決.程志南老師在文1中分析了“A”、“X”型相似三角形的位置特征，并給出了過特殊分點(diǎn)添設(shè)平行線才能達(dá)到解題的目的，否則不能鋪設(shè)由條件到結(jié)論的“路”.筆者認(rèn)為這種方法并不是解這類“燕尾”形問題的本質(zhì)，并且文1所提的“無用的平行輔助線”其實(shí)也能達(dá)到解題的目的，現(xiàn)作一些澄清，并給出此類問題的通法，不當(dāng)之處，請(qǐng)同仁批評(píng)指正.

一、原題呈現(xiàn)，感悟解法

例1 如圖1，已知直線FD與△ABC的邊BC相交于D，與AC相交于E，與BA的延長(zhǎng)線相交于F，且BD=CD，求證：AE·FB=EC·FA.

但程志南老師在文1中同時(shí)指出過點(diǎn)D、E、F這三個(gè)點(diǎn)所做平行線(圖3)是無用的.筆者進(jìn)一步的探究發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上下面6幅圖也是可以證明結(jié)論AE·FB=EC·FA的.

二、再添平行，新增六法

三、刪去花絮，探究本質(zhì)

根據(jù)上述方法，筆者發(fā)現(xiàn)文1中所提的“先根據(jù)比例關(guān)系尋找特殊分點(diǎn)，再過特殊分點(diǎn)作平行線”這種方法并不是本質(zhì)的，實(shí)際上只要過圖1中的任何一點(diǎn)作線段的平行線，利用這兩個(gè)含有基本相似三角形的圖形，都可以解決所證結(jié)論.解題方法的本質(zhì)是：①直接利用上述兩個(gè)基本的相似三角形得到線段比例式；②當(dāng)不能直接利用相似三角形得到線段的比例式時(shí)，可以設(shè)其中某兩條線段的比值為k，再利用相似三角形中的線段比值代換求得另一組線段比值也為k，從而得到結(jié)論.下面再舉例說明.

例2 如圖10，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AC上的點(diǎn)，且BD=DC，AE∶EC=1∶2，連結(jié)AD、BE交于F，求：AF∶FD的值.

仿照上述方法過點(diǎn)A、B、C、D、E、F分別作平行線，由于每個(gè)點(diǎn)可以作兩條平行線，所以筆者得到16種證明方法，由于方法的類似，讀者可以自己嘗試解決.

四、學(xué)會(huì)解題，領(lǐng)會(huì)真諦

解題大師羅增儒教授指出“學(xué)會(huì)解題通常需要經(jīng)歷四個(gè)階段：簡(jiǎn)單模仿→變式練習(xí)→自發(fā)領(lǐng)悟→自覺分析”.筆者在拜讀文1時(shí)深受啟發(fā)，簡(jiǎn)單模仿過點(diǎn)A、B、C添加平行線的方法，領(lǐng)悟到解法并深信過點(diǎn)D、E、F添加平行線也可以得到所證結(jié)論，本著這樣的思考筆者得到了這類問題的通性通法，題目的本質(zhì)所在，那么這個(gè)問題是否可以再進(jìn)行一般化呢？如何變式練習(xí)呢？實(shí)際上問題可以進(jìn)行如下改編：

利用文中筆者所提方法，顯然可以求出結(jié)論.從特殊到一般是數(shù)學(xué)重要的思想方法，同時(shí)也是解題的重要指導(dǎo)思想，因此在教學(xué)的過程中筆者經(jīng)常給學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題變式的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在學(xué)會(huì)解題，領(lǐng)會(huì)變中的不變，解題的方法本質(zhì)所在.

參考文獻(xiàn)：

[1]程志南.探討添線法構(gòu)造“A”、“X”型相似圖形解“燕尾”形問題[J].數(shù)理化解題研究(初中版),2016(7):7-8.

[2]羅增儒,羅新兵.作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)的數(shù)學(xué)解題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2005(1):12-15.