高瑾，張平安，林園

（1.深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院；2.深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課教學(xué)部，廣東 深圳 518172）

作為當(dāng)前國(guó)際上關(guān)于工程技術(shù)教育認(rèn)證的“三大”互認(rèn)協(xié)議之一，《悉尼協(xié)議》主要針對(duì)接受三年制高等教育培養(yǎng)的“工程技術(shù)專(zhuān)家”認(rèn)證，即與我國(guó)的高職職業(yè)教育相對(duì)應(yīng)和銜接。《悉尼協(xié)議》有一套完整嚴(yán)格的認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)，包括培養(yǎng)目標(biāo)、學(xué)生、畢業(yè)要求、課程體系、師資隊(duì)伍、持續(xù)改進(jìn)、畢業(yè)生跟蹤反饋及社會(huì)評(píng)價(jià)等。雖然目前我國(guó)還未加入該協(xié)議，但是全面加入國(guó)際工程教育認(rèn)證、走國(guó)際化道路，是高職教育的發(fā)展趨勢(shì)和必經(jīng)之路。所以，《悉尼協(xié)議》對(duì)于我國(guó)的高等職業(yè)教育具有非常重要的參考意義和借鑒價(jià)值[1][2]。

高等數(shù)學(xué)是高職院校的基礎(chǔ)類(lèi)課程，不僅為后續(xù)專(zhuān)業(yè)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和推理能力，作為專(zhuān)業(yè)的支撐，為學(xué)生今后的發(fā)展起著重要作用。《悉尼協(xié)議》中要求學(xué)生具有“適用于本專(zhuān)業(yè)所屬子學(xué)科的、用于支撐分析和建模的、以概念為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)、數(shù)值分析、統(tǒng)計(jì)學(xué)及計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)的通識(shí)內(nèi)容”，另外要求課程體系必須“包含與本專(zhuān)業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)相適應(yīng)的數(shù)學(xué)與自然科學(xué)類(lèi)課程”[2]。但是數(shù)學(xué)類(lèi)課程難度相對(duì)較大，公式理論比較枯燥，對(duì)于高職院校的同學(xué)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)決定著他們的接受度和積極性都不是很高。另外，高職院校普遍開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)課的范圍較小，以我校2017級(jí)新生為例，僅有12個(gè)專(zhuān)業(yè)共計(jì)22個(gè)班次開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)課。這些現(xiàn)狀直接影響著數(shù)學(xué)類(lèi)課程的學(xué)習(xí)效果和普及范圍，與《悉尼協(xié)議》的要求也有著一定差距。

面對(duì)上述問(wèn)題，為更好適應(yīng)不斷發(fā)展的教育理念和高職教育“走出去”、“國(guó)際化”的要求，我們必須打破傳統(tǒng)思維，對(duì)高等數(shù)學(xué)課程進(jìn)行改革?？梢試L試通過(guò)案例教學(xué)，創(chuàng)新教學(xué)模式，使數(shù)學(xué)課更多地與應(yīng)用相結(jié)合、與專(zhuān)業(yè)相結(jié)合、與生活相結(jié)合，利用新媒體條件，使學(xué)生從“學(xué)數(shù)學(xué)”到“做數(shù)學(xué)”再到“用數(shù)學(xué)”。從教學(xué)模式、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段甚至教學(xué)評(píng)價(jià)等方面，進(jìn)行改革創(chuàng)新，并且逐步對(duì)數(shù)學(xué)課程開(kāi)展的范圍進(jìn)行推廣和普及。這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程甚至專(zhuān)業(yè)課程的興趣，較好完成數(shù)學(xué)課程的教學(xué)任務(wù)，而且可以緊跟我校教育理念，與高職教育培養(yǎng)目標(biāo)和我校人才培養(yǎng)理念相一致，與《悉尼協(xié)議》要求相一致，培養(yǎng)出適應(yīng)社會(huì)發(fā)展和國(guó)際接軌的應(yīng)用型人才。

本文從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式的改革出發(fā)，對(duì)基于應(yīng)用和創(chuàng)新的高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)做一些討論，以下從應(yīng)用、專(zhuān)業(yè)、生活方面舉幾個(gè)典型的案例：

1 案例與應(yīng)用相結(jié)合

在高數(shù)課程中，導(dǎo)數(shù)是很重要的概念，是微分與積分的基礎(chǔ)。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用其中一項(xiàng)是求可導(dǎo)函數(shù)的極值和最大最小值。在講述如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求極值和最大最小值時(shí)，我們往往會(huì)給出若干定理、定義和步驟，通常學(xué)生會(huì)云里霧里，做題的時(shí)候容易出錯(cuò)。但是在實(shí)際問(wèn)題中，其實(shí)并沒(méi)有那么復(fù)雜，因?yàn)槿绻覀兠鞔_知道此問(wèn)題存在最大或最小值，并且在自變量的取值范圍內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)，就可以直接斷定該點(diǎn)處的函數(shù)值即為所求[3]。所以，講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時(shí)，可以多選取實(shí)際案例，讓學(xué)生輕松接受。例如，我們可以舉如下例子：

一個(gè)服裝商家有一款爆款外套，每件的價(jià)格為100元，每天的銷(xiāo)售量為100件，外套的成本為60元，現(xiàn)在商家想通過(guò)價(jià)格的增加來(lái)提高利潤(rùn)，經(jīng)過(guò)測(cè)試，這件外套每增加1元，銷(xiāo)量會(huì)下滑2%，那么商家究竟該怎樣做呢？

此問(wèn)題并沒(méi)有明確說(shuō)要求函數(shù)的最大最小值，這只是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題。這里就可以啟發(fā)同學(xué)們，進(jìn)行仔細(xì)分析。對(duì)于商家來(lái)說(shuō)，要追求的肯定是利益最大化，外套如果價(jià)格增加，銷(xiāo)量就會(huì)減少，如果價(jià)格減少，銷(xiāo)量就會(huì)增加。那么是否存在一個(gè)合適的值，可以使商家的利潤(rùn)最大呢？于是，此問(wèn)題就變成：外套的價(jià)格如何變化，可以使得商家的利潤(rùn)最大。要求出這個(gè)問(wèn)題，我們首先要表示出利潤(rùn)函數(shù)。

我們建立模型如下：

其中x表示價(jià)格的變化，S表示利潤(rùn)，是關(guān)于x的函數(shù)； ,cm和p是參數(shù)，分別表示原始價(jià)格，原始銷(xiāo)量和每件成本。將數(shù)值帶入化簡(jiǎn)可得：

所以問(wèn)題變成求一元函數(shù) S (x)的最大值。至此，我們將一個(gè)實(shí)際問(wèn)題變成了數(shù)學(xué)問(wèn)題。利用微分法可以求得當(dāng) x = 5 時(shí) S (x)取最大值4050。這是數(shù)學(xué)上的結(jié)果，將其帶回到實(shí)際問(wèn)題就能得出結(jié)論：將價(jià)格提高5元，可以得到最大利潤(rùn)4050元。

反觀此問(wèn)題，其實(shí)單獨(dú)就最后的函數(shù)來(lái)講，是非常簡(jiǎn)單的一元二次函數(shù)求極值問(wèn)題，學(xué)生很容易接受，也能夠自己動(dòng)手計(jì)算，在此計(jì)算過(guò)程中，如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值就會(huì)被進(jìn)一步熟悉記憶。另外，此問(wèn)題的解決還教會(huì)學(xué)生，如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如何從實(shí)際出發(fā)，將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際中。通過(guò)這樣的思考和討論，不僅僅有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和認(rèn)識(shí)，其應(yīng)用能力也得到增強(qiáng)。

2 案例與專(zhuān)業(yè)相結(jié)合

在講常微分方程時(shí)，很多時(shí)候我們注重的是求解，如何求一個(gè)常微分方程的通解、特解。學(xué)生往往面對(duì)著一個(gè)個(gè)方程糾結(jié)于計(jì)算的技巧，他們并不知道這個(gè)方程有何用，有何背景。其實(shí)，在工程技術(shù)和自然現(xiàn)象的研究中，很多問(wèn)題最后的數(shù)學(xué)模型是微分方程，最終會(huì)歸結(jié)為微分方程的求解。選取合適的案例來(lái)講述常微分方程，不僅可以讓學(xué)生了解其用途，更可以加深理解。微分方程案例教學(xué)主要思路為：分析實(shí)際問(wèn)題，結(jié)合數(shù)學(xué)理論建立相應(yīng)的微分方程和初始條件，求解方程（求出通解，根據(jù)初始條件確定特解）。例如對(duì)于環(huán)境工程專(zhuān)業(yè)學(xué)生，可以舉以下例子[4]：

人們經(jīng)常要研究一個(gè)種群數(shù)量的變化趨勢(shì)，例如世界或者某國(guó)人口，一片森林里的樹(shù)木，或者一片草原上的野兔等。我們首先可以考慮一種最簡(jiǎn)單的情況，就是增長(zhǎng)率不變的指數(shù)增長(zhǎng)模型。我們以野兔的繁殖生長(zhǎng)為例：記野兔數(shù)量為 x (t)，是一個(gè)關(guān)于時(shí)間 t(t ≥ 0 )的函數(shù)，設(shè)初始時(shí)刻野兔數(shù)量為=表 r x示,x(單 0)位=x時(shí)間內(nèi) x (t)的增量。下面我們假0設(shè)野兔數(shù)量的增長(zhǎng)率恒定，記為 r(r ＞ 0 )，關(guān)于t時(shí)刻的野兔數(shù)量 x (t)可以建立如下數(shù)學(xué)模型：

這是一個(gè)簡(jiǎn)單的一階常微分方程，可求得：

上式表明，野兔的數(shù)量是呈指數(shù)增長(zhǎng)，即指數(shù)增長(zhǎng)模型。

這個(gè)常微分方程的求解很簡(jiǎn)單，但是重要的是如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，幫助學(xué)生建立此模型。進(jìn)一步，可以啟發(fā)學(xué)生思考，指數(shù)增長(zhǎng)模型表明野兔數(shù)量將隨著時(shí)間以指數(shù)規(guī)律無(wú)限制增長(zhǎng)，但是實(shí)際上，隨著野兔數(shù)量的增加，草原上的食物等資源和環(huán)境勢(shì)必會(huì)對(duì)野兔的增長(zhǎng)起到限制的作用，所以事實(shí)上，野兔的數(shù)量是不會(huì)無(wú)限增加的。那么上述的指數(shù)增長(zhǎng)模型就有著局限性，會(huì)不會(huì)有更好的模型呢？可以簡(jiǎn)要介紹阻滯增長(zhǎng)模型——logistic模型，建議有興趣的同學(xué)進(jìn)一步探索。

相信引入這樣與專(zhuān)業(yè)相關(guān)的案例之后，會(huì)增加同學(xué)們學(xué)習(xí)的興趣，使他們不僅可以掌握求解微分方程的技巧，更可以了解微分方程的作用及現(xiàn)實(shí)意義。

3 案例與生活相結(jié)合

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)也是高等數(shù)學(xué)中比較重要的一個(gè)部分，其從數(shù)量化角度來(lái)研究不確定現(xiàn)象及其規(guī)律性，在科學(xué)研究、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及經(jīng)濟(jì)管理、現(xiàn)代工程等各個(gè)領(lǐng)域都有著重要和廣泛的應(yīng)用[3]。但是其具有的抽象理論卻比較難引起學(xué)生的興趣。那么在講課過(guò)程中，我們不妨多引入一些具有現(xiàn)實(shí)意義或是學(xué)生身邊的例子，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析研究，在探索的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的魅力和樂(lè)趣。例如可以舉如下例子：

一個(gè)班級(jí)共有40名同學(xué)，那么會(huì)有兩名同學(xué)生日相同嗎？至少有兩名同學(xué)生日相同的概率有多大呢？如果一個(gè)班級(jí)是50名同學(xué)呢？

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，可以先讓同學(xué)們進(jìn)行直觀感受，一般大家都會(huì)認(rèn)為生日相同的可能性較小。然后讓同學(xué)們?cè)诩埳蠈?xiě)下自己的生日，看看有沒(méi)有相同。當(dāng)同學(xué)們?cè)谟懻摳髯陨盏臅r(shí)候，可以引導(dǎo)他們思考這個(gè)問(wèn)題：求至少有兩名同學(xué)生日相同的概率比較困難，我們可以考慮其反面：40名同學(xué)生日各不相同，記為事件A。假設(shè)每名同學(xué)生日都是等可能性的，則他們生日各不相同的概率為：

上式可利用Matlab計(jì)算出結(jié)果，P(A)=0.1088，則1- P(A)=0.8912，即40名同學(xué)的班級(jí)中至少兩名同學(xué)生日相同的概率為89.12%。類(lèi)似，如果是50名同學(xué)，我們可以計(jì)算得到至少兩名同學(xué)生日相同的概率為97.04%。

這樣的結(jié)論和同學(xué)們的直接猜想差距非常大，結(jié)論接近于1，也就是說(shuō)，對(duì)于任意一個(gè)50名同學(xué)的班級(jí)，幾乎總會(huì)有至少兩名同學(xué)生日相同。

通過(guò)生活中類(lèi)似的例子，學(xué)生會(huì)覺(jué)得跟自己的直覺(jué)反差很大，新鮮有趣，從而在積極討論的過(guò)程中，學(xué)習(xí)到概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)和計(jì)算。

數(shù)學(xué)作為一種形式科學(xué)，其高度的抽象性使得大部分人難以理解其中的現(xiàn)實(shí)意義。尤其是高職學(xué)生，其對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)僅停留在“計(jì)算，求解”這個(gè)層次。然而，大到自然世界，小到生活細(xì)節(jié)，都或多或少受到數(shù)學(xué)規(guī)律的影響。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)不能把所學(xué)的知識(shí)與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題聯(lián)系在一起，那么這種教學(xué)效果就不能滿足《悉尼協(xié)議》的要求。而在教學(xué)中引入與應(yīng)用、專(zhuān)業(yè)及實(shí)際生活相關(guān)的案例，相對(duì)于枯燥的理論和計(jì)算，更能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。當(dāng)然，高等數(shù)學(xué)的課程改革和課程建設(shè)，并不僅靠一些案例就可以解決。整個(gè)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)模式、內(nèi)容、方法、手段和評(píng)價(jià)，都需要我們認(rèn)真去思考和改革；數(shù)學(xué)課程的開(kāi)設(shè)專(zhuān)業(yè)和范圍，也需要逐步推廣和普及。這樣才能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)課程的作用，更加貼近《悉尼協(xié)議》中課程體系的標(biāo)準(zhǔn)，更加與學(xué)校培養(yǎng)目標(biāo)相一致，為培養(yǎng)應(yīng)用型國(guó)際化高職技術(shù)人才服務(wù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉文華, 徐國(guó)慶.《悉尼協(xié)議》框架下高等職業(yè)教育發(fā)展策略探析-論我國(guó)職業(yè)教育的國(guó)際化[J].上海教育評(píng)估研究, 2016,(01) :16-19.

[2]王伯慶.參照《悉尼協(xié)議》開(kāi)展高職專(zhuān)業(yè)建設(shè)[J].江蘇教育,2014, 28(7):16-19.

[3]方曉華.高等數(shù)學(xué)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社, 2014.

[4]姜啟源, 謝金星, 葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社, 2011.