劉 震，張永波，牛建杰，郭海燕??

(1. 中國海洋大學工程學院，山東 青島 266100；2. 青島國家海洋科學研究中心，山東 青島 266071)

鋼懸鏈線立管成本低、對浮體運動及高溫高壓環(huán)境的適應性強，被認為是最適合應用于深水油氣開發(fā)的海洋立管；但其在頂部浮體和海洋環(huán)境的作用下會產(chǎn)生大幅度和大角度的運動，具有較強的幾何非線性[1]。傳統(tǒng)的求解方法如線性彈簧法、懸鏈線方程法、準靜力法等不能較好處理立管在大變形情況下的非線性動力學問題。細長柔性桿模型用彈性桿的軸線位置來描述桿的位置,可以較好地解決立管的大變形問題[2]。Nordgren[3]用有限差分近似和半顯式積分給出了有限振幅運動問題的細長柔性桿模型分析方法；Garrett[4]用有限單元法求解了不可伸縮的細長柔性桿模型問題，并進行了靜力分析和動力分析；Paulling等[5]考慮桿的軸向伸長，進一步發(fā)展了柔性桿模型。以上研究都沒有考慮內(nèi)流的作用，目前尚未見到用細長柔性桿模型模擬海洋立管時考慮內(nèi)流影響的研究報道。

近年來，內(nèi)流對立管動力特性的影響已經(jīng)引起國內(nèi)外學者的重視。Wu等[6]采用奇異攝動技術(shù)研究內(nèi)流對頂張力立管動力特性的影響，發(fā)現(xiàn)內(nèi)流會減弱頂部張力的作用，但當頂部張力較大時，內(nèi)流的影響很小，當頂部張力較小時，內(nèi)流的影響變得較為明顯。 Paidoussis[7]研究了輸流管道的動力學和穩(wěn)定性問題，發(fā)現(xiàn)內(nèi)部流體高速定常流動時，立管會發(fā)生彎曲和振顫。郭海燕等[8-9]利用有限單元法研究頂張力立管在內(nèi)流、海流和波浪作用下的側(cè)向變形和動力特性，發(fā)現(xiàn)內(nèi)流流速的增加會增大立管的變形和應力，同時會降低立管的固有頻率，但當內(nèi)流流速較小時，其影響較小。目前對于考慮內(nèi)流作用的海洋立管動力特性的研究多集中于頂張力立管這種剛性立管，對鋼懸鏈線立管這種大變形的柔性立管考慮較少。Vandiver等[10]將鋼懸鏈線立管等效成頂張力立管，頂張力立管的長度即鋼懸鏈線立管的弧長，將鋼懸鏈線立管的軸向張力線性化，并沿管長施加，然后用有限單元法及簡化方法推導固有頻率和振型，這種等效轉(zhuǎn)換的方法比較繁瑣，且存在一定的誤差。Orcina公司[11]編制的商業(yè)軟件OrcaFlex可以分析鋼懸鏈線立管在內(nèi)流作用下的動力特性，但該軟件對立管模型的建立采用了集中質(zhì)量法。本文考慮內(nèi)流的作用,利用柔性桿模型建立鋼懸鏈線立管的動力學模型，采用有限元法分析內(nèi)流對鋼懸鏈線立管動力特性的影響。

1 計算模型

1.1柔性桿模型

柔性桿模型如圖1所示，桿的位形由桿軸線位置表示，即空間曲線r(s,t)。

考慮內(nèi)流作用的微元體平衡方程可由動量守恒獲得：

(1)

式中：F為軸線上的合力；q為立管單位長度施加的外力；ρ和mf分別為立管和內(nèi)流單位長度的質(zhì)量。

忽略轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的影響，由動量矩守恒得：

M′+r′×F+m=0。

(2)

圖1 柔性桿模型示意圖Fig.1 Diagram of slender rods

式中：M為軸線上的合力矩；m為單位長度的外力矩。通常立管、錨線等細長結(jié)構(gòu)物可以忽略扭矩和分布外力矩，則M=r′×EIr″,m=0。EI為抗彎剛度。

如果柔性桿可伸長且伸長量為小量，則變形條件：

(3)

式中：λ=F·r′+(EIr″)′·r′；EA為抗拉剛度。則桿的運動方程為：

(4)

1.2 荷載分析

海洋立管處于復雜的海洋環(huán)境中，受到自身重力和周圍流體的作用。

q=w+Fs+Fd。

(5)

式中：w、Fs、Fd分別為立管單位長度受到的重力、水靜力和水動力。

Fs=B+(Pr′)′。

(6)

式中：B為立管單位長度受到的浮力；P為管內(nèi)外壓強差。

水動力利用Morison方程計算[12]：

(7)

式中：ρw為海水密度；D為立管外徑；Ca為附加質(zhì)量系數(shù)；CD為拖曳力系數(shù)；V為水流速度。

鋼懸鏈立管內(nèi)部通過高溫高壓的油氣時，氣液兩相段塞流的模擬非常復雜。為了簡單起見，本文采用細長體活塞流模型來模擬內(nèi)流作用，即假設立管內(nèi)部流體為一具有無限柔性的細長狀柱體，其斷面上每一點都具有相同的流速v，這樣內(nèi)流對立管微元體的作用力為[13]：

(8)

式中：第一項為慣性力；第二項為科氏力；第三項為內(nèi)流保持與立管相同的曲率引起的作用力。

1.3 有限元離散

代入荷載作用力，將運動方程和變形條件寫成張量形式:

(9)

(10)

ri(s,t)=Al(s)Uil(t)。

(11)

(12)

最終得到立管運動方程的矩陣形式：

(14)

1.4 模態(tài)分析

為描述模態(tài)振型與鋼懸鏈線立管位形之間的相對位置關(guān)系，首先求解立管在重力、內(nèi)流等荷載作用下的位形[14]，即圖2、3、4中黑色實線表示的曲線。舍去鋼懸鏈線立管運動方程中的慣性力項和阻尼力項，則

(15)

采用Newton-Raphson法求解非線性方程，將所有單元集成并施加邊界條件，通過迭代計算，即可求解未知量U、λ，進而求得鋼懸鏈線立管的位形。

忽略鋼懸鏈線立管運動方程中的阻尼力項和荷載項，得：

(16)

將方程的解U=φeiωt代入運動方程，得到特征值問題：

(17)

式中：ω為立管的固有頻率；{φ}為相應的模態(tài)。

2 立管動力特性分析

2.1 模型驗證

基于以上考慮內(nèi)流作用的細長柔性桿模型，本文用Matlab編寫了鋼懸鏈線立管的計算分析程序SCRModal，并對鋼懸鏈線輸流立管進行了分析計算。算例參數(shù)如下；立管密度為7 850 kg/m3，彈性模量2.07×1011Pa，海水密度為1 025 kg/m3，內(nèi)部流體密度為998 kg/m3,立管內(nèi)、外徑分別為0.20和0.26 m，立管總長1 040 m，頂部偏移190 m，水深1 000 m。

為了驗證模型的準確性，將本文計算得到的鋼懸鏈線立管的前六階固有頻率與相同參數(shù)條件下商業(yè)軟件OrcaFlex的計算結(jié)果進行對比，結(jié)果如表1。

表1 立管固有頻率計算結(jié)果比較Table 1 Comparison of natural frequencies

Note：①Results of OrcaFlex；②Results of this paper；③First order frequencys；④Second frequencys；⑤Third order frequencys；⑥Forth order frequencys；⑦Fifth order frequencys；⑧Sixth order frequencys

從以上比較結(jié)果可以看出，本文模型與OrcaFlex的計算結(jié)果吻合較好。

2.2 動力特性分析

應用上述算例，探討內(nèi)流流速、頂張力和管內(nèi)頂端壓強對鋼懸鏈線立管動力特性的影響。為了更好地描述模態(tài)振型與鋼懸鏈線立管位形之間的相對位置關(guān)系，對立管模態(tài)位移的增加量進行放大，放大倍數(shù)10 000，然后與上一迭代步的位移相加，得到放大的立管模態(tài)。

2.2.1 內(nèi)流流速的影響 根據(jù)實際工程，內(nèi)流流速分別取5、10、15 m/s，計算鋼懸鏈線立管的前六階固有頻率列成表2；將前三階模態(tài)繪成圖2。

表2 內(nèi)流流速變化時立管固有頻率Table 2 Natural frequencies with different internal fluid velocities

Note：①Internal fluid velocity；②First order frequencys；③Second frequencys；④Third order frequencys；⑤Forth order frequencys；⑥Fifth order frequencys；⑦Sixth order frequencys

(a.一階模態(tài) b.二階模態(tài) c.三階模態(tài)。a.First order mode；b.Second order mode；c.Third order mode.)

圖2 內(nèi)流流速變化時立管模態(tài)
Fig.2 Mode shapes with different internal fluid velocities

從表中可以看出，隨著內(nèi)流流速的增加，鋼懸鏈線立管的固有頻率降低，雖然實際海洋工程中立管內(nèi)流的流速不會很高，但隨著內(nèi)流流速的增加，立管的固有頻率可能降低到“鎖振”頻率范圍，使得立管產(chǎn)生動力放大，所以立管內(nèi)流流速對鋼懸鏈線立管固有頻率的影響應引起足夠重視。

內(nèi)流流速的改變不僅會影響立管的固有頻率，還會影響立管的模態(tài)形狀。從圖中可以看出，隨著內(nèi)流流速的增加，模態(tài)有下沉趨勢，高階模態(tài)反轉(zhuǎn)點向立管底端移動。隨著模態(tài)數(shù)的增加，這種變化更加明顯。

2.2.2 頂張力的影響 頂張力分別取1 547、1 687、1 828 kN，計算鋼懸鏈線立管的前十五階固有頻率和前三階模態(tài)并繪成圖3。

從圖中可以看出，隨著頂張力的增加，鋼懸鏈線立管的固有頻率增加。這是由于頂張力的增加引起立管各單元的有效張力增加，立管剛度隨之增加，固有頻率因此增加。隨著頂張力的增加，高階模態(tài)的反轉(zhuǎn)點向立管頂部移動。

(a.固有頻率 b.一階模態(tài) c.二階模態(tài) d.三階模態(tài)。a.Natural frequencys；b.First order mode；c.Second order mode；d.Third order mode.)

圖3 頂張力變化時立管固有頻率和模態(tài)
Fig.3 Natural frequencies and mode shapes with different top tension

2.2.3 管內(nèi)頂端壓強的影響 管內(nèi)頂端壓強分別取0、20、50 MPa，計算鋼懸鏈線立管的前六階固有頻率列成表3；將前三階模態(tài)繪成圖4。

從表3中可以看出，隨著管內(nèi)頂端壓強的增加，立管的固有頻率有所降低，但是變化不大。從圖4中可以看出，立管的模態(tài)有下沉趨勢，隨著模態(tài)數(shù)的增加，這一現(xiàn)象更加明顯。這是由于管內(nèi)頂端壓強的增大引起立管的軸向張力減小，由管內(nèi)張力和曲率引起的幾何剛度矩陣隨之減小，越是高階模態(tài)，這種影響越明顯。深水環(huán)境下的鋼懸鏈線立管能達到幾千米長，且相比淺水環(huán)境，深水環(huán)境更容易激發(fā)鋼懸鏈線立管的高階模態(tài)，所以對處于深水環(huán)境的鋼懸鏈線立管，應該更加重視管內(nèi)頂端壓強對其動力特性的影響。

表3 管內(nèi)頂端壓強變化時立管固有頻率

Note：①Internal top end pressure；②First order frequencys；③Second frequencys；④Third order frequencys；⑤Forth order frequencys；⑥Fifth order frequencys；⑦Sixth order frequencys

(a.一階模態(tài) b.二階模態(tài) c.三階模態(tài)。a.First order mode；b.Second order mode；c.Third order mode.)

圖4 管內(nèi)頂端壓強變化時立管模態(tài)
Fig.4 Mode shapes with different internal top pressure

3 結(jié)論

本文以鋼懸鏈線立管為研究對象，考慮立管軸向變形和內(nèi)流作用的影響，采用細長柔性桿模型建立管內(nèi)流體荷載和管外海洋環(huán)境荷載共同作用下鋼懸鏈線立管的運動方程，運用有限元法求解，從而計算分析立管的動力特性, 探討其在不同內(nèi)流流速、頂張力和管內(nèi)頂端壓強等條件下的變化規(guī)律。研究結(jié)果表明：

(1)隨著內(nèi)流流速的增加，鋼懸鏈線立管的固有頻率降低，高階模態(tài)的反轉(zhuǎn)點向立管底端移動。

(2)隨著頂張力的增加，鋼懸鏈線立管的固有頻率增加，高階模態(tài)的反轉(zhuǎn)點向立管頂部移動。

(3)隨著管內(nèi)頂端壓強的增加，鋼懸鏈線立管的固有頻率有所降低。

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